第七章 图的基本概念1.ppt

1、2020/7/28，1，1，第7章图的基本概念、退出、图论是近年来发展迅速、应用广泛的一门新兴学科，解决了离散型的最优化问题。 它始于1736年欧拉(Euler解决的哥尼斯堡七桥问题)、迷宫问题、藏门博奕问题、棋盘上马的行走路线问题等一些数学男同性恋难题研究。 这些个的老难题，当时引起了众多学者的关注，在研究这些个问题的基础上，继续提出著名的四色猜想，哈磨粉机顿环游了世界数学难题。 1847年，kirchhoff(kirchhoff )用图论分析电路网络，这是图论最初应用于工程科学科学后，随着科学的发展，图论在解决运筹学、网络理论、信息论、控制论、博奕论及计算机科学等各种领域的问题时越来越大图

2、论是各种物理学科、工程科学领域、社会科学和经济问题的广泛应用，受到数学和工学界的特别重视。 例如：通讯网优化设置修订、交通网站合理版结构、生产组织健全结构和工程作业有效控制等问题，用图论方法解决非常方便，图论是修订机及其相关专业的重要基础课。 通过图论学习，可以打底子数据结构、数据库、执行操作系统、编译程序、自动智能等后续课程的学习。 在哥尼斯堡(Konigstberg，现在加里宁格勒)的城市有横贯全市的普雷格尔(Pregel )河，河上有2个岛，河上有7座桥与城市的各部分连接，如下图所示，每个假日城市居民都进行环城旅游不知不觉中，有人提出了以下问题，从某处出发，每一座过河的桥只能走一次，不能

3、修订“旅行”，以便通过七桥后可以重新回到原地。 哥尼斯堡七桥问题，哥尼斯堡七桥问题，反复试验和失败，人们对成功的可能性产生了疑问，推测问题是解不开的，但是没有人能说清其理由，所以好事者向年轻数学家欧拉(Euler )咨询，从一开始欧拉也是这个数学题情严格论证上述“七桥问题”，从而开拓了图论和拓扑分析学的思维方法和许多概念和理论，1736年被公认为图论学科的历史元年，欧拉作为图论和拓扑分析学之父受到尊敬。 如AT研究的呼吁图所示，约有2亿9千万个顶点和40亿个边。 伪图、有向简图、有向多重图、7.1无向图及有向图，什么是图？ 可以通过以某种方式用点和线刻划离散事物集合中的每一对事物之间的相关数学

4、模型来概括该图。 抽象的太难理解，所以有必要给出把图作为代数构造的定义。无向图的基本概念、无向图g :记作一个有序二元组(v，e )、G=(V，E) G的点集合： (例如在格拉夫(1)中的G=(V，2，3 ) vivj的情况下，将eij和vi (或vj )的关联次数称为1。 如果是vivj，则将eij和vi的关联次数称为2，如果vi不是eij的端点，则将eij和vi的关联次数称为0。 循环： 2个端点一致的边孤立点：与任何边都不相关的点，关联：将1个边的端点称为这边的关联邻接：将与同一边相关的端点称为邻接，2个边有共同的端点时，将这2个边称为邻接，分类，将G=V，e作为1个图1 )结点(|V(

5、G)|=n，则将g称为n次图。 (3)E(G)=、g称为西吉卜赛人普。|如果|V(G)|=0，则将g称为空图。 |V(G)|=1，则g为平凡图，|V(G)|=n，g为n次零图，2 )以同一对节点间的边数进行分类：平行边： (1)在位于无向图的(2)有向图中，存在多个与一对顶点相关联的有向边，并且这些边的起点与终点相同(即方向相同) 定义7.1.1图G=中，任2个节点间为1条边以下(有向图情况下，任2个节点间为1条同向弧以下)，任1个节点没有循环时，图g是被称为简单图的2个交点间为多条边(有向图情况下，2个交点间为多个同向弧) 3 )图边有无旁边(字母、数量)按特征分类：定义对7.1.2边或每个

6、弧赋予权重的图G=，称为加权图，标记为G=。 其中，w表示各边的权重的集合。 加权图在输油管道系统图中，是表示每单位时间流经管道的石油量的加权图等，在实际上有很多应用的城市街中，权利表示通行车辆的密度的空中交通图中，权利表示两城市的距离等。 4 )图的任意2个节点间边连结分类被有木有：定义7.1.3无向完全图：将g作为n次无向单纯图，如果d的各顶点与该拟的n-1个顶点邻接，则将g称为n次无向完全图，简称为n次完全图，标记为Kn，定义7 (边的数量为n(n-1 ) )， 将以v为终点的弧的根数称为v的进度，将标记为d-(v )的接合点v的出度和进度之和称为接合点的度数，标记为d(v )，明显为d

7、(v)=d (v) d-(v )。 对于无向图G=，节点vV的度数等于将其连接的边的数量，也记作d(v )。 规定如果v点有循环，则其点度因循环而增加2。 很明显，对于孤立节点的度数为零。 此外，将记为无向图G=、(g )或=maxd(v)|vV (G )或=mind(v)|vV的这些个分别称为格拉夫g的最大度和最小度。 悬挂的顶点：度数为1的顶点。 悬挂边：与悬挂顶点相关联的边。 偶(奇)度顶点：度为偶(奇)数的顶点。 对有向图的最大度和最小度：注：简单图，欧拉对无向图中的节点的度给出了定理。 这是格拉夫中的第一个定理。 当给出定理7.1.1 (握手定理)有向图G=，V=v1，v2，vn，|

8、E|=m时，推论在任何无向图中奇度顶点的个数都是双位数，当给出定理7.1.2 (握手定理)有向图G=，V=v1，v2，vn，|E|=m时，定义7.1.6度数列： g 定义7.1.7度数列的格拉夫化：对于给定的非整数列d=d1，d2，dn，如果存在将V=v1，v2，vn设定为顶点定径套的n次无向图，则如果d(vi)=di，获得的图是简单的图，则可以简单地将d图化。 d可格拉夫化的一盏茶要件：定理7.1.3非负整数列d=d1、d2、dn可格拉夫化时，仅d可简单格拉夫化的必要条件：若将定理7.1.4设为任意的n次无向图，则可称为、例2、(3、3、2、3 )、(5、2、3、1、4 )图的度序列为什么？

9、 3、图g有12边，度数为3的结点有6个，侑人度数都不到3，q:g至少有几个结点，3、从握手定理可知deg(v)=2m=24，度数为3的节点有6个，占18度，其馀6度为该侑在n(n2 )个人的团体中，总是证明两人在这个团体中拥有相同数量的小伙伴。 解：如果用节点代表人，两人是小伙伴，则通过在代表他们的节点之间连接一条边，可以得到无向简单格拉夫g，每个人的小伙伴数，即用格拉夫代表该节点的度数，因此问题在n次无向简单格拉夫g中必定两个节点的度数相同。 使用反证法：假设g中各节点的度数不同，则度数列有0、1、2、n-1，即在图中有度数为0的孤立节点，这不符点为有n-1度的节点(由于是简单的图，所以应

10、该与其各点均匀地连接)，定义7 (2)如果V2V1、E2E1且E2E1，则将G2称为G1的真子图，标记为G2G1。 (3)如果V2=V1、E2E1，则将G2记作G1的生成子图，记作G2 G1。 (V2V1和V2时，将V2为顶点定径套、两端点都处于V2的全部边为周边定径套的g的子格拉夫称为V2导出的导出子格拉夫。 (如果是E2E1和E2，则将E2为周边定径套、E2中与边关联的顶点整体为顶点定径套的g的子格拉夫称为E2导出的导出子格拉夫。 如果定义了7.1.9所给定的图G=，其中存在图G1=，并且E1E=和图是完整图，则G1相对于完整图被称为g的互补图，仅仅G1被称为g的互补图并且表示为G1=。

11、很明显，g是指相互之间的互补图。 另外，图的定义中强调节点定径套、边定径套以及边和节点的关联关系，未提及连接两个节点的边的长度、形状和各就各位，没有给出节点的位置或者决定某个顺序。 因此，对于两个给定格拉夫，其格拉夫表示中呈现相同的格拉夫，虽然在用小圆表示节点的图和用直线或曲线表示连接两个节点的边的图中，视觉上不同。 因此，引入两图的同调概念是必要的。 定义7.1.10给定的有向图(或有向图) G1=和G2=。 如果存在双射f: V1 V2，那么对于任何v和uV1，存在(u，v)E1(f(u )，f(v)E2(或者E1 E2)，并且存在(u，v )。 明显的是，两个图的同体彼此是同体，即，G1

12、对G2是同体，G2对G1是同体。 从同调性的定义可知，要求节点间不仅具有一对一的对应关系，而且在该对应关系中保持节点间的相邻关系。 对于有向图的同源性也要求保持边的方向。 一般来说，证明两个图是相同的结构并不简单，往往需要一些力量。 图10.1.13判断是否为同构图。 根据图的同调定义，提供图的同调所需要的条件(1)节点数相等(2)边数相等(3)度数相同节点数相等。 注意：图的同调存在节点间的一对一映射，保持节点与边之间的关联关系(有向图中也保持边的方向)和边的重量。 判断图是同体，寻找双射。 因此，图1.1.14、例如图1.1.14中的(a )和(b )满足上述三个条件，但并不是不同的结构。 这是因为，在(a )中频度为3的节