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使用滑动模式控制一类欠驱动机械系统电机及电子学工程师联合会会员：V. Sankaranarayanan,和Arun D. Mahindrakar,摘要： 在本文中，我们提出了一种滑模控制算法强劲稳定的欠驱动机械系统不属于类线性可控性违反布罗克特的必要条件顺利渐近稳定的均衡，具有参数的不确定性。在确定系统类，是由几个简化的假设对动态结构，特别是阻尼力假设为线性的速度。我们首先提出一个切换面设计这一类的系统，随后，一切换算法在有限的时间内达到这一表面采用常规和高阶滑模模式控制器。该闭环系统的稳定性研究有一个未定义的滑动功能的相对程度。该控制器增益控制器设计，使系统稳定的实际参数的不确定性。所提出的控制算法应用于2基准的问题：一个欠驱动移动机器人和水下车辆。仿真结果验证该方案。指数计算，移动机器人，非完整，滑模，欠驱动水下航行器（UUV的）。一， 引言欠驱动机械系统的控制，少用系统比自由度控制输入数字，已收到重视在过去数年。这是因为理论挑战以及实用性。其中主机提出了控制方法，个人申请一些一般方法也被提出来这些系统的稳定1 - 3。这些方法的使用被动技术，能源成型，并连续控制方法。一个具有挑战性的问题是稳定的系统是不可控的线性某一类而且违抗布罗克特的必要条件4。虽然分析存在分段或时间周期不断反馈法可以渐近稳定平衡，强劲的问题与有界控制器设计是两个重要的问题仍然在这一领域的开放。在本文中，我们考虑的鲁棒镇定这种系统特别类。特别是，我们目前的设计为上述系统类滑模控制器。滑模是鲁棒控制器的设计方法和一已成功地应用于欠驱动和非完整系统5 - 8。欠驱动系统的镇定几个根据本已经解决某一类使用滑模控制技术（见，例如，非完整集成和扩展版本9）。不过，据我们所知，没有任何建设性的亲投稿日期2008年3月11日，经修订的2008年7月1日和9月13，2008。首先公布2009年2月6日，4月公布的最新版本三，2009年。本文建议由副主编出版帕帕佐普洛斯与编辑阁下五荒井后，评论者的评价意见。公元Mahindrakar的工作表示支持该部科技，印度，根据研究资助ELE/07-08/153/DSTX/ARUD。五Sankaranarayanan与电气和电子部门工程技术研究所，蒂鲁吉拉伯利- 620015，印度（电子邮件：vsankar）。公元Mahindrakar与电气工程系，印度理工学院马德拉斯，晨奈- 600036，印度（电子邮箱：arun_dmiitm.ac.in）。对一个或更多的数字，这个文件是在网上提供颜色版本在。数字对象标识符10.1109/TRO.2008.2012338cedure设计一个开关表面和滑模控制器这一类的系统。首先，我们提出一个纲要，设立了设计切换面一间普通的形式连接10和定义在切换面。三起案件被认为是设计切换面。随后，滑模控制器设计提出要在有限时间内到达切换面同时使用常规和高阶滑模控制器。此外，切换算法还建议，如果到达切换面滑动功能的相对程度不明确。最后，我们目前的控制器增益的设计，使本系统稳定具有参数的不确定性。该文件的其余部分组织如下。阿分类在滑模方面欠驱动机械系统载于第二节。在第三节，给出一个设计大纲为下一代，有限时间可达性的，有明确和滑动功能未定义的相对程度。在第四节和V，建议的方法是采用两个标准的例子：一个欠驱动移动机器人和水下机器人（UUV的），分别。模拟结果显示在第六节，其次在第VII.We结论，首先是类的定义本文认为在欠驱动机械系统。二一类欠驱动机械系统许多机械系统的动力学可以表示为 D(q)q + C(q, q ) = Fu (1) 其中q = (q1 , . . . , qp ) 是参数化的配置空间Q, D(q) IRpp是惯性矩阵C(q, q) IRp阻尼，科氏，刚度等u IRm是外部载体投入而F IRpm是相应的输入我们考虑这是一个欠驱动机械系统的特点是类如下1）D是对角矩阵的惯性和常数。2）向量c在（1）只取决于Q和进一步，阻尼力量速度的线性关系。3）m 0. 这导致x1 =等效动力学- Kx1，这是指数稳定。但 这一升选择（ 1）在切换面的交点就是结果 的（n - 米）滑动面，而且，如果相应的滑动 函数是线性无关，那么他们不能达到有限一次使用米控制的投入。 案例二：要克服保守的程序例1所述， 我们提出一个升李雅普诺夫功能为基础的设计（ 1）。考虑 下列候选人李雅普诺夫函数V：的IRN -米 - 红外定义为 五（X1的）=（1 / 2）？1 1，并进一步建设升（ 1），使得五（X1的）0的O和进一步，O是米路口滑动面。 案例3：此案件涉及到升设计（ 1），其中的等效 动态不李雅普诺夫稳定相对于V（ 1）。在这种 情况下，兴建升（ 1），使得拥有同等动力 弱的概念，如稳定收敛到原点。 乙有限时间可达性的开关表面 一旦切换面的设计，控制的任务是减少到 到达下一个定义在有限time.We有限时间切换面B有限时间可达性的开关表面一旦切换面的设计，控制的任务是减少到到达下一个定义在有限time.We有限时间切换面可达性13切换面。定义3.2：切换面O是说是有限时间如果到达的任何x(0) N IRn存在T 0,) 受理控制u : 0, T IRm信息资源管理是为x(T ) O. 我们假设，设计过程中较早节概述假设存在m建立函数Sj (x)使得O = .mj=1(Sj (x) = 0). 该动态的简单鉴别后，取得每个匀（我们镇压在X），时代的RJ的依赖，沿轨迹其中与到了定义良好的载体关联度定义14，与Q（x）是在可逆，因此，对于所有的x的附近我们有选择的P（x）的IRM取决于相对程度滑动功能。例如，如果向量关联度为（1，2），当时的P几个可能的选择（P(x) = P1 (x) P2 (x)_）为P2（X ）是其中与在有限时间内收敛性质P1 (x), P2 (x) 中可以找到15 - 17。如果rj 1, 则滑动面可以达到在有限时间内使用高阶从（7），它是明确的滑动面相应的制度（5）有限时间到达。它是那么简单设计的控制器O卜等该轨迹可以达到个人滑动面匀= 0在有限的时间。一旦个别表面达到的运动轨迹仅限于交换开关表面上的自澳连接和包含的起源，并进一步控制器这样，它呈现的滑动面有限时间稳定，每个轨迹留在开关表面O（正不变）。C镇定未定义的相对程度我们注意到，在审议这一文件系统，至少存在一个rj未定义一些j的这反映在可逆性财产损失上一个平衡点使得再定义和图1插图相对稳定 图2移动机器人届时，稳定传统观念，如李雅普诺夫稳定，不成立。这促使我们解决稳定问题利用相对稳定的概念18。定义3.3：考虑开放setD所示inFig。 1，进一步氙的平衡说是相对稳定的方面至设定O，如果有任何，存在使得其中 B未andB开放球围绕产地和半径未分别。此外，如果为然后被认为是相对渐近稳定关于设定澳对于未定义与条件相对程度的滑动功能（9），闭环系统只具有相对的稳定性。为例如，我们已。因此，鉴于相对未定义一定程度上集合，该控制策略具有以下开关机制：D镇定参数不确定性接下来，我们分析了该控制律（8鲁棒性）具有参数的不确定性。为简单起见，我们限制我们的注意对系统的关联度的滑动功能各1，并进一步不失一般性，我们假定的Q（x）是低三角形。我们用领域的载体这些参数标称值。控制目标是稳定（5）围绕与知识的平衡点名义系统函数。换句话说，我们寻求反馈控制律的形式这样的闭环系统具有所需的稳定财产。考虑鲁棒控制律的表达（8）在以下方面取得本系统参数的标称值其中是免费的，该动力学受的动态信息资源管理控制法（11）是由 关于时间，沿闭环系统的轨迹（5）给出由 其中是明确规定这进一步意味着有明确界定。今后，我们假设以下假设3.1：功能满足这在一般的假设，量化了扰动的显得非常流利，控制他们的标称值的向量场。假设3.2：存在闭集和常量例如，如果 此外，让如果然后（12）降低到和使用范围上我们有与收益巧j如此选择，闭环轨迹达到在有限时间内的滑动面。在许多情况下，是不容易以解析表征成立。在这种情况下，我们定千焦 0要大，在假设3.1认为，存在着一个小域名注册，这样（13）中.在下面的部分，我们应用建议滑模控制策略，以两个基准的例子：移动机器人和参数不确定性theUUV。IV示例1：移动机器人在本节中，我们应用该方法以强劲稳定移动机器人。我们认为，移动机器人，如图所示2。此移动机器人运动学模型可以表示为其中M是该车辆的质量，I是转动惯量，和与L是距离 之间的质量和车轮，1和2，中心 左，右轮马达扭矩，r是半径后方 车轮。两个假设都是为了简化模型：中心 配合质量和后方轴中心，车轮做 没有幻灯片。第二个假设导致了速度级非完整 约束。使用下面的选择 状态向量，（14） （15）可以结合产生的流形中定期形式其中 请注意，改变坐标是一个全球性的微分同胚。移动机器人的稳定解决了使用不连续 控制器19 - 22使用六西格玛过程，同时时变 控制器已用于23 - 25，但稳健性 问题不讨论这些作品。在26中，作者已经解决 轨迹和力量跟踪移动机器人的问题 使用动态模型。 A. 控制器设计控制目标是往哪里走从任意初始位置移动机器人 和方向（也有初始速度），以一个理想的位置 最后和方向与速度为零（）。不失一般性， 点至点的控制目标是降低到稳定 （16）到原点。 现在，我们设计了切换面使用设计大纲 建议在第三节。我们再次写了切换面。可以证实，由于每人的情况1 在第三节- A，如果我们分配一个非线性动力学，Kx1到L（ 1）在 （16），由此产生的切换面是三个路口滑动 表面。此外，相应职能是线性滑动 独立的，因此，开关的功能不能达到 有限时间使用两个控制输入。然后，我们尝试根据设计，在例2，其中再次提出了这个失败 具体例子。我们只剩下3条所述的情况下的程序其中a，b 0是自由的。由此产生的切换面为，其中 ，满足了交换的基本性质 表面的稳定性能指数收敛 等效的动力。这种稳定是最常见的类型 非完整系统。有趣的是，这等效动态 系统是类似的非完整集成闭环系统 提出27。下一步，我们证明了闭环轨迹 对O收敛指数在澳的起源 引理4.1：该轨迹（16）在O原产达到它的起源如果证明：对O的降阶动态可改写为其中 没有损失 一般性，假设了T = 0和x1（0）= 0。本（18）给出的解决方案并且满足控制目标是减少到现在达到在有限集合 时间，使它正不变。为此，我们followthe控制器 设计过程中概述第三节- B和从（8），我们有力矩和力控制法律制度的泰然自若B.鲁棒性分析为了实现强大的稳定，我们修改控制器 （19） - （20）作为标称值的功能。我们定义K1和K2 作为参数K1和K2，分别与标称值 表示控制器（19） - （20的这些标称值计算） (k1 )和F(k1 , k2 ).变量与控制变量和关系式其中因此，假设要求 3.1是满意的。方程（21）与假设3.2，可以表示为其中字母和满足图3.用表示的可达域如果然后闭环轨迹（16）达到在有限的时间。我们注意到，相当于控制输入都是通过它们是顺利的。C.域可达在本节中，我们提出了自由参数设计巧 实现有限时间可达性的滑动面，并在 过程定义可达域。在不受干扰的情况下， 我们假设系统参数完全匹配的实际 参数（即K1 =K1，K2= k2）。它可以很容易地看到，职能 （22）和（23）是恒等于零。因此，对于任何控制器时，轨迹在有限的驱动滑动面 当时，独立于任何截至领域。 当系统参数不匹配的控制器 参数-扰动的话，那么它是有用的计算域 可达性，其中的滑动有限时间可达 表面可以实现的。首先，我们确定的初始条件域 用，例如，如果。该任务 计算领域的可达性是由简单的考虑 每个控制器，保证了有限时间收敛 相应的滑动面。 1）扭矩控制：第一，我们注意到该函数为P1（x）是关联 与X4的唯一。此外X4的动力是来自其他解耦X2，X3的，X5和由不仅影响。闭环动态 对X4的可以表示为其中下面我们分析行为 4，使用向量场阴谋（24）（见图。3），供各 下列情况。 案例1：假设，则X4的动态变得x4 = 其中轨迹出发集合 将收敛到均衡 案例二：同样，在这个集合轨迹收敛到平衡点/它可以很容易地得出结论，用 是正不变集，表示另外，如果。此外，如果，则其中。随着K1满足，与达到在有限的时间。 2）动力控制F：请注意，S2的关联度不 定义在这个集合，并进一步。因此， F是有效的控制在。我们首先确定一个集U1的同 的特点，如果， 并进一步在U1。如果X1的（这是影响动态 只有通过）是这样的结果达到设定的轨迹或已达，然后 所有时间t0。这可以很容易地看到从向量场此外，U1的设置有预期的积极不变性， 而且，该控制器F是明确界定在U1的设置，并 因此，可以打开它。因此，S2的表面相对滑动 有限的时间就到达设定的用。 同时，为滑动面有限时间可达 S2= 0，控制器使得K2必须满足的不平等状况 向上2域。要设计这样的收益，至关重要的是确定初始 用这样，如果为。由于是一个漫长的非线性表达， 明确用计算是一项繁重的任务。使用的说法 为小参数的变化，总有一小设置初始 这样的条件为是有界的，域名的初始条件 为闭环系统（16）可以被定义。该完整的控制算法，驱动器的轨道，以开关 表面是在下一节介绍.D 开关控制算法与切换策略控制器撮 在下面的命题。 命题4.1：起源（16）是局部稳定（吸引力）与 下面的开关控制律：控制器如果证明：如果，进一步如果（），然后控制器 驱动器的轨道，以进一步设定U1和表面一些有限的时间。为了了解集（排除） 从最初的域名，用考虑设置 ，这是封闭的，有界， 并包含原点x = 0时。如果配对（ 1 = 0， 4 = 0），那么 和S1是恒等于零，进一步（ 1 = X4= 0） 该子系统（独特的平衡点）。由于F无效在这一领域，开关 战略确保任何力量F是应用，从而可达 到地表S2的失败。为了克服这一不足，表面S1是 呈现相对有限，就设定时间稳定（而S2是相对有限的时间与稳定方面的设置。一旦轨迹到达O，由引理4.1的运动轨迹 指数收敛到原点。图。4。示意图水下机器人V例2：欠驱动水下机器人接下来我们考虑在水下刚体运动水平 飞机（中性浮力）。作者UUV的原理图所示 图。 （4）。 配置空间是 坐标（x，y，）代表在惯性系。三重 （x，y，）代表的质量和方向的中心地位 该机构在惯性系。相应的线性和角度 在车身骨架速度被表示为。惯性 速度和身体的速度是有关的方程。 该运动方程（假设流体阻尼力 是线性的）是（详见28和29）给其中，代表的是正的常数 矩阵的惯性因素，包括增加群众元素 该阻尼矩阵，分别。通常情况下，车辆 只有两个是由驱动控制的力量，而投入的 偏航及远期推力Fx的。下面的状态变换流形上的收益率，其中 。一个不连续控制律已用于28和29 稳定的水面舰艇，而在28和30的作者们 展示了同样的使用时间变控制器。：A.控制器设计 控制目标是稳定的来源（26），我们 再按照设计概要载于第三。这里也一样，案例一在第三节A中失败，类似的设计程序的论据 移动机器人的。我们现在建立基于 候选李亚普诺夫函数，其中，和沿导数（26）。 让和，其中 0，则其中产量为升以下结构。由此产生的 切换面可以被定义为5.1注：请注意，如果在液力阻尼力（25） 是非线性的，例如在二次，并z，然后在设计过程 为在开关表面没有抵达。特别是，衍生 在Lyapunov函数（27）将包含这是 签署无限期的，因此是一个程序的设计限制。 引理5.1：切换面（28）减少到其中。 证明：考虑，让，然后表示成和当这进一步意味着。因此，其中 现在控制的目的在于使和S2 = 0 在有限的时间。关于时间的导数沿 26）是，这意味着具有相对的程度1。S2的二阶导数，其中 建议S2的相对程度2。请注意这两个S2和的依赖 在系统parameters.我们随着一阶动态 将受，其中而引起的轨迹（26）到达表面在有限的时间和渲染它正不变，而 对S2的二阶动力学已经使用17提出的控制器，以稳定S2的动力学 在有限的时间。使用（8），为z和Fx的管制法律的基础 标称值的系统参数给由因为它是难以明确设计控制器增益1，1和 2，我们假设存在一个初始条件域用使得 该个人控制器驱动的轨道，以相应的 滑动面。请注意，对应S2的相对程度 未定义在X5= 0，这使得未定义。这种情况下，穿越零，可避免使用开关 控制器之间的如下。首先，在控制开关，使z 轨迹达到5三维表面的之后 为z给出了等效控制 然后，打开控制Fx的，这样的轨迹到达的3 - D 表面的我们已在现在，我们总结了以下命题的控制策略。 命题5.1：起源（26）是局部的和比较有吸引力 渐近稳定方面设定 （29），如果 证明：如果，然后在控制行动z时， 轨迹达到5三维曲面一些有限的时间T。请注意 在这个流形对所有。该控制器FX是有效的 在这5维流形，它的驱动器的轨道，以一个三维曲面在某些有限的时间。在这个三维流形上， 等效动力来源是渐近稳定鉴于 （27）。注5.2：如果那么任何一个开环控制可 引导X5的一些非零值，然后，在切换策略（31） 可以应用。如果初始条件是在O，那么轨迹 渐近收敛到原点。VI.模拟中在本节中，我们提出了移动机器人的仿真结果 和theUUVsystem.We说法，该符号函数结果的运用 在不受欢迎的高频开关的控制输入。从 1执行的观点来看，这个问题可以得到缓解使用 高边坡饱和函数31。使用此近似， 模拟已进行了替换功能的标志 控制器的功能定义为 其中Sl的表示饱和极限。A.移动机器人 所提出的控制方法与实际系统模拟 参数，而控制法是利用名义 值。该控制器增益K1和K2的设计如下。首先， 我们注意到，增益K1的满足K1/。由于/= 一个大K1在一个大的初始条件域Up10结果。此外，不等式使得，这意味着其中是在K1的标称值的偏差有关。表达 在口头上，如果偏差大于实际值，那么任何增益K1 0驱动器系统的轨道，以表面 在有限的时间。由于没有明确的计算得出的增益 K2的，作为一个没有安全的方法，我们使用大K2承认非常大的 价值。下面的参数 随着 初始条件（x（0）= 1分，（0）= - 1米，（0）= 0.3弧度，五（0）= -0.2米/秒，（0）= -0.1弧度/秒）是在模拟使用。时间 反应的闭环使用的功能系统控制器国家税务总局 如图所示。 5。免费的任期是用来减缓 对X1的动力，大大有助于减少在高峰期 F的作者的移动机器人的运动幅度的比较 在X与摄动参数的名义及Y平面显示在 图。 6。 B.UUV 下面的控制参数1= 10，1= 10，2= 1，格A1 = 1.4，0.1和SL =随着初始条件 （0）= 1分，（0）= 500万，（0）= 2弧度，VX毒剂（0）= 1米/秒，菲雅皮（0）= 1米/秒，z（0）= -0.5弧度/秒）是在模拟使用。名义 该系统的参数值分别固定在M11公路= 105，m22 = 131.25，D11中= 36.75，D22的= 105，M33的= 42，与d33 = 52.5。该 摄动值，得到了5减去其相应的 标称值。在闭环系统的响应时间。图。 6。其次是移动路径机器人。图。 7。 UUV：时间的投入和国家的反应。图。 8。其次是UUV的路径。使用该控制器的作用是坐在图所示。 7。的比较 该议案的UUV的在x和y的名义飞机 摄动参数如图。 8。 VII.结论 阿滑模控制算法，提出了稳定一类 与欠驱动机械系统参数不确定性。一 切换面设计方法，使用的常规形式 该系统。相对稳定的概念是用来对付滑 相对不确定度与功能。建议的做法是 适用于两个著名的例子，他们的鲁棒性分析 提出。仿真结果验证了提出的方法。承认 作者们感谢他们的有益意见，匿名评论 和建议。参考文献 1米雷伊汗奥卢，欧塞尔范德斯哈夫特，美国新罕布什尔McClamroch，和一Kolmanovsky， “动力学与控制的一类欠驱动机械 系统“，硕士论文。工商汽车。控制，第一卷。 44，没有。 9页。1663年至1671年 1999年9月。2米雷伊汗奥卢，南楚，andN.H.McClamroch，“间断反馈 控制一类欠驱动机械系统的特殊“诠释。 j的 非线性鲁棒控制，第一卷。 24页。265-281，2000年7月。 3注册护士Banavar和第五Sankaranarayanan，开关有限时间控制 一类欠驱动系统。柏林，德国：施普林格出版社， 2006。 4 RW光碟布罗克特，“渐近稳定和反馈镇定，”在 微分几何控制理论，RW光碟布罗克特，遥感米尔曼， 和H. j的苏斯曼，合编。波士顿，麻州：伯克豪舍，1983年，页。181 - 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