四n元置换及其表示.ppt

1、四n元置换及其表示,1n元置换的定义 2. n元置换的乘法，n元置换群 3. n元置换的分解式 （1）k阶轮换 （2）置换分解为轮换之积 （3）轮换分解式的特征 （4）对换与对换分解方法,例题 设A = a1, a2,a 3, 定义A 上的双射函数：AA ：,定义11.15 设S = 1, 2, , n, S上的任何双射函数 ：SS称为S上的n元置换. 一般将n元置换记为 ,1n元置换的定义,例如S=1, 2, 3, 4, 5, 则,都是5元置换.,例 设A=1, 2, 3，f1, f2, , f6是A上的双射函数. 其中 f1=, f2=,f3=, f4=,f5=, f6=, 令G=f1,

2、f2, , f6，则G关于函数的复合运算构成群.,3元置换,定义11.16 设,是n元置换, 和的复合也是n元置换, 称为与的乘积, 记作.例如,2. n元置换的乘法,定义：S = 1, 2, , n上的所有n阶置换在上面的乘法定义下是一个群。(a)封闭性,(b)可结合性,(c)有单位元 e=,(d),称为n元对称群，其子群称为n元置换群。,例,f2=(1 2),f3=(1 3),f4=(2 3),f5=(1 2 3),f6=(1 3 2),f1=(1),3. n元置换的分解式 （1）k阶轮换定义11.17 设是S=1,2,n上的n元置换. 若 (i1) = i2，(i2) = i3，(ik1

3、) = ik，(ik) = i1且保持S中的其他元素不变，则称为S上的k阶轮换，记作(i1i2ik). 若k=2，称为S上的对换.例如5元置换 ,分别是4阶和2阶轮换 = (1 2 3 4), = (1 3), 其中也叫做对换.,例 设S = 1, 2, , 8, ,从中分解出来的第一个轮换式(1 5 2 3 6)； 第二个轮换为(4)； 第三个轮换为(7 8). 的轮换表示式 = (1 5 2 3 6) (4) (7 8) = (1 5 2 3 6) (7 8),（2）置换分解为轮换之积 设 S = 1, 2, , n，对于任何S上的n元置换 一定存在着一个有限序列i1, i2, , ik,

4、 k1,（可以取i1=1）使得 (i1) = i2, (i2) = i3, , (ik1) = ik，(ik) = i1令1 = (i1 i2 ik). 它是从中分解出来的第一个轮换. 根据复合定义可将写作1，其中作用于Si1, i2, , ik上的元素. 继续对进行类似的分解. 由于S中只有n个元素, 经过有限步以后，必得到的轮换分解式 = 1 2 t,例 设S = 1, 2, , 8, ,从中分解出来的第一个轮换式(1 8 3 4 2)； 第二个轮换为(5 6 7). 的分解式： = (1 8 3 4 2) (5 6 7),（3）轮换分解式的特征 轮换的不交性 在上述分解式中任何两个轮换都

5、作用于不同的元素上. 分解的惟一性 = 1 2 t 和 = 1 2 s 是的两个轮换表示式，则有 1, 2, , t = 1, 2, , s,例 设S = 1, 2, , 8, ,=(1 5 2 3 6)(7 8) = (1 5)(1 2)(1 3)(1 6)(7 8),（4）对换与对换分解方法设S = 1,2,n， = (i1 i2 ik) 是S上的k阶轮换， 可以进一步表成对换之积，即 (i1 i2 ik) = (i1 i2) (i1 i3) (i1 ik) 任何n元置换先表成轮换之积，然后将每个轮换表成对换之积. 例如8元置换, =(1 8 3 4 2)(5 6 7)=(1 8)(1 3)(1 4)(1 2)(5 6)(5 7),（5）对换分解式的特征：在对换分解式中对换之间可以有交，分解式也不惟一. 例如4元置换 ,可以有下面不同的对换表示： = (1 2) (1 3)， = (1 4) (2 4) (3 4) (1 4) 表示式中所含对换个数的奇偶性是不变的. 如果n元置换可以表示成奇数个对换之积，则称为奇置换，否则称为偶置换，不难证明奇置换和偶置换各有n!/2个.,S3的运算表如下表所示.,例 设S = 1, 2, 3， 3元对称群 S3=(1), (1 2),