电动力学-矢量分析与场论.ppt

1、电动力学-2013,邹正峰求是楼 233#68948795 9-16周16次课 期末考试80%平时成绩20% 每周交一次作业,电动力学,矢量分析与场论 电动力学 参考书： 矢量分析与场论谢树艺，高教出版社 电动力学 郭硕鸿，高教出版社 电动力学简明教程 俞允强，北大出版社,矢量分析与场论数学预备,矢量及基本运算 矢性函数的运算规则 哈密顿算子及其简易计算方法 积分变换式：高斯公式、斯托克斯公式 场 梯度、散度、旋度 有势场 管形场,矢量,矢量：既有大小（模），又有方向,数量,矢量,矢量的坐标表示方法,基矢,矢量可以用三个有序的数量表示,矢量,矢量的模,单位矢量,矢量的加、减,加、减,矢量的加、

2、减，满足平行四边形法则。,以两矢量为邻边作平行四边形，则平行四边形的对角线就是这两个矢量的和或差。,如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量的和(差)的分量等于这两个矢量对应分量的和(差)。,标积,标积,两个矢量的点乘，乘积是一个标量，称为标积或内积。,如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量的标积等于这两个矢量对应分量的乘积之和。,矢积,积，或矢积,矢积是一个矢量，其大小等于以两矢量为邻边所作平行四边形的面积，方向满足右手螺旋法则。,并矢,并矢,又可以表示为,并矢与张量,张量：就是有坐标的量 ，它们不随参照系的坐标变换而变化 坐标组一个指标的，就是一阶张量，在三维迪卡尔坐标系

3、里，具有三个与坐标相关的独立变量集合，矢量 坐标组两个指标的，就是二阶张量矩阵，在三维迪卡尔坐标系里，具有九个与坐标相关的独立变量集合，并矢 依次类推，三阶，四阶 本课程中，如无特别指明，张量均指二阶张量,矢量的运算符,标量的运算符,矢量的运算符,三矢量的混合积,三矢量的混合积,三个矢量的混合积是一个标量，其绝对值等于以这三个矢量为棱的平行六面体的体积。,三矢量的矢积,三矢量的矢积,三个矢量的矢积，可以表示为括号内两矢量的线性组合，系数分别为括号外的矢量与括号内的另一矢量的点积，括号外的矢量与括号内距离较远的矢量点乘作为系数的一项为正，与较近的矢量点乘作为系数的一项为负。,“远交近攻”,例：证

4、明 证明： 是一个矢量，令 ，有： 利用三矢量的矢积公式可以得到， 于是可得，,矢性函数的定义,概念 常矢：模和方向都保持不变的矢量。零矢量方向任意，作为常矢特例。 变矢：模和方向只要有一个会变化（除零矢量外）即为变矢。,矢性函数,矢性函数 在 直角坐标系中的三个坐标 (即它在三个坐标轴的投影)显然都是 的函数. 矢性函数的坐标为,矢性函数的坐标表达式为：,矢性函数可以用三个有序的数性函数表示,矢端曲线，矢径，距离矢量,矢径：,距离矢量：,矢性函数的极限,极限定义 设矢性函数 在t0点的某个邻域内有定义(但t0点可以没有定义) ， 为一常矢，若 都 ，使得当t 满足 时，定有 ，就称 为矢性函

5、数 当 时的极限。 记为：,根据极限运算性质可得到,矢性函数的极限,一个矢性函数的极限，可以用三个有序的数性函数的极限来描述（或表示）。,矢性函数的极限、连续、导数、微分，积分,一个矢性函数的（ ），可以用三个有序的数性性函数的（ ）来描述（或表示）。 极限、连续、导数、微分、积分,极限 连续 导数,矢性函数的极限、连续、导数、微分，积分,一个矢性函数的（ ），可以用三个有序的数性函数的（ ）来描述（或表示）。 极限、连续、导数、微分、积分,微分 不定积分 定积分,当两个矢量运算时，先进行基矢间的运算，然后再进行函数间的运算。基矢之间的运算规则是与运算符相邻的两个基矢之间发生运算关系。基矢运算

6、只有点、叉、并运算。而函数间运算包含了乘、微分、积分等关系。,矢量运算的基本方法,矢量的基矢运算规则,哈密顿算符,哈密顿算符是一个矢性微分算符，在运算中具有矢量和微分的双重性质。在直角坐标系中，可表示为 其运算规则是：,算符,哈密顿算符矢量公式,矢量公式,在下面的公式中 为矢径,证明算子 的公式 例 ：证明,哈密顿算符的运算方法,“先微分，后矢量” 分为三步： 第一步：利用的微分性，将所求表达式分成几项，每一项中只作用于一个函数上。 此时可在算符的下标标明算符所作用的函数 或者在算符不作用的函数下加临时的常数标记,哈密顿算符的运算方法,第二步：将算符看成一个矢量，利用矢量的性质重新排列，使得算

7、符紧邻着排在它所作用的函数前面，而把不被作用的函数移到算符作用范围外面 或 第三步，抹去下标，得到结果,例：证明 先微分 再矢量 去掉下标 证毕,例 ：证明 先微分 再矢量 去掉下标 证毕,例 ：证明 先微分 再矢量 去掉下标 证毕,强调：,1： 是一个算符，不能看成一个矢量,2：哈密顿算法的简易运算方法，三个步骤是一个整体，缺一不可，不能单独使用。,没有对 做微分运算,对做了微分运算,积分变换式-1,高斯公式（奥式公式） 上式能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。 采用符号来表示，可将上式写成：,积分变换式-2,斯托克斯公式 上式能把对任意闭合曲线边界的线积分转换

8、为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。 采用符号来表示，可将上式写成：,场,如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这空间里确定了该物理量的一个场 数量场：温度，密度，电位 矢量场：电场强度，力，速度 稳定场： 不稳定场： 数量场的等值面和等值线： 矢量场的矢量线：曲线的每一点均与对应该点的矢量相切,方向导数,设M0为数量场 u = u(M) 中的一点，从点出发引一条射线l,在l上的点M0的临近取一动点M，记 ，如右图。若当MM0时比式 的极限存在，则称它为函数u(M)在点M0处沿l方向的方向导数。,方向导数描述了在特定点处，数量场沿指定方向的变化率

9、,定义,计算公式,其中,方向导数最大值与方向,l方向上的单位矢量,取矢量,有,梯度,若在数量场u(M) 中的一点M处，存在这样的一个矢量 ，其方向为函数u(M) 在M点处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值。则称矢量 为函数u(M) 在点M处的梯度，记作：,定义,计算公式,性质,方向导数等于梯度在该方向上的投影，即 梯度垂直于过该点的等值面，且指向数量增大的方向,通量,设有矢量场 ，沿其中有向曲面S的某一侧的曲面积分 叫做矢量场 向积分所沿一侧穿过曲面S的通量,定义,通量可叠加,散度,设有矢量场 ，于场中一点M的某个邻域内作一包含M点在内的任一封闭曲面 ，设其所包围的空间区域为

10、， 以 表其体积，以 表从其内穿出S的通量，若当 以任意方式缩向M点时，比式 之极限存在，则称此极限为矢量场在点M处的散度，记作,定义,散度表示场中一点处通量对体积的变化率，即该点处源的强度,散度的计算公式,矢量场,高斯公式 （奥氏公式）,由高斯公式,再根据中值定理，在 中总能找到一点 ，使,由定义,环量,设有矢量场 ，沿其中某一封闭的有向曲线l的曲线积分 叫做矢量场 按积分所取方向沿曲线l的环量,定义,环量面密度,设有M为矢量场 中的一点，在M点处取定一个方向 ，再过M点任作一微小曲面 ,以 为其在M点处的法矢，其周界 之正向取作与 构成右手螺旋关系，则矢量场沿 之正向的环量 与面积 之比，

11、当曲面 在保持M点于其上的条件下，沿着自身缩向M点时，若 的极限存在，则称其为矢量场 在点M处沿方向 的环量面密度，记作：,定义,环量面密度表示环量对面积的变化率,环量面密度的计算公式,矢量场,斯托克斯公式,根据中值定理,环量面密度变化率最大值与方向,方向上的单位矢量,取矢量,有,旋度,若在矢量场 中的一点M处存在这样的一个矢量 ，矢量场 在点M处沿其方向的环量面密度为最大，且最大的数值为 ，则称矢量 为矢量场 在点M处的旋度记作：,定义,计算公式,性质,环量面密度等于旋度在该方向上的投影，即,梯度、散度、旋度,哈密顿算子,雅可比矩阵,积分变换式,高斯公式（奥式公式） 斯托克斯公式,思考题,的含义？,梯度、散度、旋度,哈密顿算子,设矢量场 ，若存在单值函数 满足 ；则称此矢量场是有势的。令 ，并称 为这个场的势函数 。,有势场,定义,有势场为一个梯度场。 有势场的势函数为无穷多。,性质,定理,定理：在线单连域内矢量场 为有势场的充要