数理统计第4章.ppt

1、第四章,第 四 章 方差分析与试验设计,4.1 单因素方差分析 4.2 双因素方差分析 4.3 正交设计,4.1 一元方差分析,一、方差分析及其有关术语,（一）指标、因素、水平,1、指标试验结果值称为指标，一般表示为,数值，用 X 表示。,2、因素影响指标的因子，一般表示为分类变量。用 A，B，C 表示,3、水平因素所处的状态，一般用A1、A2、 A3、 Ar 。,单因素方差分析：众多因素中仅有一个因素的的水平有多个，其余因素只有一个水平。,多因素方差分析：多个因素有多个水平。,【例】为了比较四种肥料对小麦亩产量的影响，取一片土壤肥沃程度和水利灌溉条件差不多的土地分成16块，肥料品种A1、A2

2、、 A3、A4，每种肥料施在四块土地上，得亩产：,指标：亩产,因素：肥料,水平： 品种,（二）什么是方差分析(ANOVA) (analysis of variance),1、引例用上例,研究问题：各肥料品种是否有差异。,问题转化：各肥料品种是否有差异体现为各肥料品种对小麦亩产量的影响否有显著差异。,记 X1 为肥料A1下的小麦亩产量， m1为平均亩产量； X2 为肥料A2下的小麦亩产量， m2为平均亩产量； X3 为肥料A3下的小麦亩产量， m3为平均亩产量； X4 为肥料A4下的小麦亩产量， m4为平均亩产量；问题转化为,H0: m1 = m2 = m3 = m4,H1: m1 m2 m3

3、m4不全等,检验多个母体平均数是否相等,2、什么是方差分析,手段：分析数据的误差判断各母体均值是否相等,（三）方差分析的有关术语,试验这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的试验 母体因素的每一个水平可以看作是一个母体 比如肥料品种A1、A2、 A3、A4， 子样数据 亩产量可以看作是从这四个母体中抽取的子样数据,【例】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在四个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消费者对总共23家企业投诉的次数如下表,二、方差分析的基本原理,（一）图形分析,子样平均值的折线,1、从散点图上可以看出 不同行业被投诉的次数是有明显差异的 即使是在同一个行业，不同

4、企业被投诉的次数也明显不同 家电制造被投诉的次数较高，航空公司被 投诉的次数较低 2、行业与被投诉次数之间有一定的关系 如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么 它们被投诉的次数应该差不多相同，在散点图 上所呈现的模式也就应该很接近,1、仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不 同行业被投诉的次数之间有显著差异 这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的 2、需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著， 也就是进行方差分析 所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值， 但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差 这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析 判断不同母体的均值是否相等。因此，进行

5、方差分析 时，需要考察数据误差的来源。,（二）方差分析的思想,1.比较两类误差，以检验均值是否相等 2.比较的基础是方差比 3.如果系统(处理)误差显著地不同于随机误差，则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的 4.误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度的,（三）方差分析的基本原理,1、随机误差 因素的同一水平(母体)下，子样各观察值之 间的差异，对数据形成组内差。 比如，同一行业下不同企业被投诉次数是不 同的 这种差异可以看成是随机因素的影响，称为 随机误差,附：两类误差,2、系统误差 因素的不同水平(不同母体)下，各观察值之 间的差异，对数据形成组间差。 比如，不同行业之间的被投诉次数之

6、间的差 异 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差,附：两类误差,三、单因素方差分析（一元）,（一）模型,1、【例】为了比较四种肥料对小麦亩产量的影响，取一片土壤肥沃程度和水利灌溉条件差不多的土地分成16块，肥料品种A1、A2、 A3、A4，每种肥料施在四块土地上，得亩产：,？不同品种肥料对小麦亩产量的作用是否有差异,不同品种肥料对小麦亩产量的作用是否有差异？转化为是否拒绝 H0,H0: m1 = m2 = m3 = m4,H1: m1 m2 m3 m4不全等,设因素有r个水平（r个母体Xi i =1,2, n

7、） 每个水平的均值分别用1、2、 r 表示,2、一般模型,设,H0: 1 2 r,H1: 1 ，2 ，r不全相等（ ！H1可以不写）,且各母体独立,1、平方和 （1）总平方和（总离差）,其中,第 i 行 （水平） 的平均数,全部子样的平均数,（二） H0检验的统计量,（2）组内差（误差项离差平方和）（随机误差）,为第 i 行的子样方差,（3）组间差（水平项离差平方和） （系统误差）,（4）三个平方和的关系,2、各平方和的作用及分布,（1） QE 反映随机抽样误差的大小，该误差是 由于各母体子样值内部的差异，可认为是由 引起的误差。由于,（3） QT 反映全部数据总的误差程度,2、各平方和的作用

8、及分布,H0: 1 2 r,如果H0真 （1 2 r ） xij可以视为来自N ( ，2 ) 的容量为n的子样。故H0真的条件下有,（3） QA反映水平之间的差异,2、各平方和的作用及分布,故当H0真时1 2 r ，有,故 QA是由于水平之间的差异引起的,（4） QA分布,2、各平方和的作用及分布,QT QA QE的意义：总离差由两部份构成， 其一是由各水平（母体）的子样值内部的差异引 起，其二是由于水平之间的差异引起的，,由于QT QA QE,当H0真时,故当H0真时,如果原假设H0成立，即有,3、 H0的检验统计量,:m1 = m2 = mr,相差不大，而,故H0 成立时QA 不应太大，取

9、检验统计量为,由于QA及 QT QA QE，故QA与F 等价， H0 成立时 F 应小。故 H0 的拒绝域为,（三）H0 的拒绝域,满足,F 临界值为,（四）单因素方差分析表,（五）单因素方差计算,1、用统计软件计算SPSSTSP,在Excel实现：（1）输入数据（ r列）；（2）在“工具”下拉“数据分析”，即可找到“单因方差分析”,【例】为了比较四种肥料对小麦亩产量的影响，取一片土壤肥沃程度和水利灌溉条件差不多的土地分成16块，肥料品种A1、A2、 A3、A4，每种肥料施在四块土地上，得亩产：,？不同品种肥料对小麦亩产量的作用是否有差异,解：在Excel下运算得：,子样落入拒绝域，拒绝H0，

10、有证据表明，不同的肥料品种对小麦亩产量的影响是有显著差异。,各平方和的计算 由子样方差的计算公式,得：,（1）简化数据（全部数据加减同一个数，或 同乘一个数，F值不变）,2、手工计算,（2）列表计算,和,（3）计算QT ，QE ，QA,（4）计算,（5）判断子样是否落入拒绝域,【例】某灯泡厂用四种不同配料方案制成的灯丝生产四批灯泡，在每批中抽取若干试验，得,问不同的灯丝配方对灯泡的寿命的影响有无显著差异？,解：所有数据减1600,所以，在 = 0.05的水平上不拒绝H0。认为不同灯泡的配方对灯泡的寿命的影响无显著差异。,四、母体平均数的两两比较,2、方法：可采用Fisher提出的最小显著差异方

11、法，简写为LSD（或t 检验） LSD方法是对检验两个总体均值是否相等的t 检验方法的总体方差估计加以修正(用MSE来代替 )而得到的,1、意义：若拒绝H0，只能得到各母体的平均 数有差异。通过对母体平均数之间的两两比较 来进一步检验到底哪些均值之间存在差异,（一）母体平均数的两两比较检验,3、 LSD方法步骤： （1）提出假设 H0: mi = mj (第i个母体的均值等于第j个总体的均值) H1: mi mj (第i个母体的均值不等于第j个总体的均值),（2）计算 LSD :,（3） H0拒绝域为,或：（t检验） （1）提出假设 H0: mi = mj (第i个母体的均值等于第j个总体的均

12、值) H1: mi mj (第i个母体的均值不等于第j个总体的均值),（2）检验统计量,（3） H0拒绝域为,第一步：提出假设 检验1： 检验2： 检验3： 检验4： 检验5： 检验6：,对上例,第三步：计算LSD,（二） mi mj 的置信区间,由于，故,由独立性，有,由独立性，有,故有,故有mi mj 的置信区间为,例：m1 m4 的置信区间为,即 58.42365m1 m4 164.9098,五、单因素方差分析的等价模型,1、模型：设有r个母体Xi i =1,2, n ，母体,H0: 1 2 r,H1: 1 ，2 ，r不全相等,2、等价模型：设，则有,等价模型：,！H1可以不写,4.2

13、双因素方差分析,双因素方差分析及其类型 无交互作用的双因素方差分析 有交互作用的双因素方差分析,一、双因素方差分析(two-way analysis of variance),1、双因素方差分析：分析两个因素(行因素 Row和列因素Column)变动对试验结果的影响,例1：农产品品种（因素1）和肥料（因素2） 对农产品产量（试验结果）的影响。,例2：销售地区（因素1）和品牌（因素2）对 电视机销售量（试验结果）的影响。,2、双因素方差分析的类型 （1）如果两个因素对试验结果的影响是相互独立的，分别判断行因素和列因素对试验数据的影响，这时的双因素方差分析称为无交互作用的双因素方差分析或无重复双因

14、素方差分析(Two-factor without replication) （2）如果除了行因素和列因素对试验数据的单独影响外，两个因素的搭配还会对结果产生一种新的影响，这时的双因素方差分析称为有交互作用的双因素方差分析或可重复双因素方差分析 (Two-factor with replication ),交互作用 例：两因素N（氮肥）和P（磷肥），每个因素 有2个水平，对小麦亩产量的影响如下表,560400305080,二、无交互作用的双因素方差分析(无重复双因素分析),（一）试验方法和数据结构,因素 A 有r 个水平，A1、A2、 A3、 Ar ；,因素 B 有s 个水平，B1、B2、 B3

15、、 Bs .,1、试验方法：A 因素的第 i个水平Ai ， B 因素的第 j 个水平Bj 的搭配下试验一次，得母体Xij，观察得数据,2、数据结构：,（二）模型：设,对行因素提出的假设为,H0:行因素的变动对结果的影响无显著差异,对行因素提出的假设为,H1:行因素的变动对结果的影响有显著差异,H0:列因素的变动对结果的影响无显著差异,对列因素提出的假设为,H1:列因素的变动对结果的影响有显著差异,1、平方和 （1）总平方和（总离差）,第 i 行的平均数,全部子样的平均数,（三） 方差分析,第 j 列的平均数,（2）组内差（误差项离差平方和）（随机误差）,（3）组间差（水平项离差平方和） （系统

16、误差）,（4）各平方和的关系,QT QA QB QE的意义：总离差由三部份构成 ，其一是各水平（母体）的子样值内部的差异（ 2 ） 引起，其二是由于A因素的各水平之间的差异引起的， 第三部份是由于B因素的各水平之间的差异引起的。,QT QA QB QE,（5）各平方和的自由度和分布,2 、 H0的检验统计量及拒绝域,行检验：, 列检验：,3、方差分析表,【例】在某种橡胶的配方中，考虑了三种不同的促进剂，四种不同份量的氧化锌。各配方试验一次，测得300%定强如下(=0.05),问不同的促进剂、不同份量的氧化锌分别对定强的影响有无显著差异？,解：,1、假设,对行因素提出的假设为 H0: 行因素的各

17、个水平的均值相等 （不同促进剂对定强的影响是无显著差异） H1: 行因素的各个水平的均值不全相等 （不同促进剂对定强的影响是显著差异） 对列因素提出的假设为 H0: 列因素的各个水平的均值相等 （不同份量氧化锌对定强的影响是无显著差异的） H1: 列因素的各个水平的均值不全相等 （不同份量氧化锌对定强的影响是显著差异的）,FA36.3F（2,6）5.14，拒绝原假设H0，说明不同促进剂对定强的影响是有显著差异 FB56.3F（3,6）4.76，拒绝原假设H0，不同份量氧化锌对定强的影响是显著差异的。,2、计算得方差分析表,三、有交互作用的双因素方差分析(重复试验双因素分析),（一）试验方法和数

18、据结构,因素 A 有r 个水平，A1、A2、 A3、 Ar ；,因素 B 有s 个水平，B1、B2、 B3、 Bs .,1、试验方法：A 因素的第 i个水平Ai ， B 因素的第 j 个水平Bj 的搭配下试验c（ c 1）次，得母体Xij，子样值Xij1， Xij2， Xijc。,2、数据结构：,（二）假设,对行因素提出的假设为 H0: 行因素的各个水平的均值相等 H1: 行因素的各个水平的均值不全相等 对列因素提出的假设为 H0: 列因素的各个水平的均值相等 H1: 列因素的各个水平的均值不全相等 对行因素和列因素的搭配提出的假设为 H0: 行和列因素的各个水平搭配对结果的影响无差异 H1:行和列因素的各个水平搭配对结果的影响有差异,（三）方差分析表,（四）拒绝域,1、行检验拒绝域,2、列检验拒绝域,3、交互作用检验的拒绝域,即比较F和F-crit,【例】城市道路交通管理部门为研究不同的路段和不同的时间段对行车时间的影响，让一名交通警察分别在两个路段和高峰期与非高峰期亲自驾车进行试验，通过试验取得共获得20个行车时间(分钟)的数据，如下表。试分析路段、时段以及路段和时段的交互作用对行车时间的影响,对行因素提出的假设为 H0:不同的时间段对行车时间的影响无差异 H1:不