第5章 拉普拉斯变换1.ppt

1、信号与系统,第5章 拉普拉斯变换,引言,优点：,引言,局限性：,5.1 拉普拉斯变换,5.1 拉普拉斯变换,根据傅里叶逆变换：,5.1 拉普拉斯变换,5.1 拉普拉斯变换,例2： 求单边指数信号 和 的拉氏变换， 其中 为复数。,当 时,，,5.1 拉普拉斯变换,同理,，,5.1 拉普拉斯变换,5.1 拉普拉斯变换,说明：,5.1 拉普拉斯变换,收敛域:记为ROC (region of convergence),拉氏变换的ROC，可将其图示在S平面的复平面上,收敛域的图示：,5.2 拉普拉斯变换的收敛域,拉普拉斯变换F(s) 通常可表示为：,极点：使D(s)=0 的根p1，p2 ， ， pN

2、， 在s平面上用“”表示。,2.拉普拉斯变换的零点和极点,5.2 拉普拉斯变换的收敛域,零点：使N(s)=0 的根Z1，Z2 ， ， ZM ， 在s平面上用“o”表示。,F(s)可用零点和极点表示为：,零极点图：将F(s)的零点和极点标注在S平面上，称为拉氏变换的零极点图。,5.2 拉普拉斯变换的收敛域,例：已知信号 求该信号的拉氏变换F(s) ，并画出其零极点图。,解：,5.2 拉普拉斯变换的收敛域,零点： 极点： 在S平面上， 的零极点图及ROC如下图所示,5.2 拉普拉斯变换的收敛域,性质3：如果信号是时限信号f(t)且是绝对可积的， 那么ROC是整个s平面。,性质1：在s平面内，拉普拉

3、斯变换的收敛域是平行 于j轴的带状区域。,性质2：如果信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)是有理式， 则ROC内不包含任何极点。,3.拉普拉斯变换收敛域的性质,性质4：如果f(t)是右边信号，且f(t)的拉氏变换F(s) 为有理分式，则F(s)的ROC为最右边极点的右侧s平面。,性质5：如果f(t)是左边信号，且f(t)的拉氏变换F(s) 为有理分式，则F(s)的ROC为最左边极点的左侧s平面。,性质6：如果f(t)是双边信号，且f(t)的拉氏变换F(s) 为有理分式，则F(s)的ROC为两极点间平行于虚轴的 带状区域或空集,3.拉普拉斯变换收敛域的性质,例: 如果信号f(t)的拉氏变换为： 以

4、极点为界，可将平面分成三个区域、。讨论不同的ROC及其对应的时间信号f(t)。,(1)若收敛域ROC为为区域，即 -3，则,(2)若收敛域ROC为为区域，即2 ，则,(3)若收敛域ROC为为区域，即-32 ，则,4.傅立叶变换与拉普拉斯变换的关系,当信号 的拉氏变换 存在且收敛域包含虚轴时，其傅氏变换 可用其拉氏变换表示为,5.3 拉普拉斯变换的性质,1.线性,则：,由于可能出现极点和零点抵消，收敛域可能大于交集。,若：,例：已知 ， 求 的拉普拉斯变换。,解：,5.3 拉普拉斯变换的性质,若： 则：,2.时移特性,拉氏变换的线性,例：求 的拉普拉斯变换。,解：,2.时移特性,3.s域移位特性

5、,若：,，且,则：,4.尺度变换特性,若：,，对,则：,例：设信号f(t)的拉氏变换为F(s)，收敛域:0。求信号 的拉氏变换，并标明收敛域。,尺度变换特性,s域移位特性,解：,5.共轭特性,若:,则:,若:,6. 时域卷积特性,则:,例: 已知信号 ， ， 为实数，计算卷积 。,解：,7. 时域微分特性,若：,则：,思考：,8. 时域积分特性,若：,则：,9.s域微分特性,若：,则：,10. 初值定理和终值定理: 如果 是因果信号， 的拉氏变换为 （1）初值定理 在原点不含冲激 及其各阶导数，则,（2）终值定理 的收敛域包含虚轴，则,例： 已知信号 ，利用初值 定理和终值定理求信号的初值和终值。 解： 满足初值定理和终值定理适用条件，所以,10. 初值定理和终值定理:,思考：,5.5 拉普拉斯逆变换的计算方法,拉普拉斯逆变换研究由F(s)如何得出f(t)，根据ILT：,但通常不会用该积分式求解拉氏逆变换，与IFT一样，通常采用部分分式展开法。,部分分式展开法的基础：,部分分式展开法：,通常，F(S)是一个关于S的有理函数,部分分式