2017-2018版高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)疑难规律方法学案 苏教版必修1

1、第二章基本初等函数(一)1“功能”概念分析1.表达式相同的两个函数是同一个函数吗？许多学生倾向于把两个表达式相同的函数视为同一个函数。事实上，由于函数的表达式是相同的，我们只能知道它们对应的规则是相同的，但也存在着域是否相同的问题。例如，f(x)=3x 1 (x r)和g(x)=3x 1 (x z)，尽管f2.同定义域和值域的两个函数相等吗？有些学生认为如果两个函数的值域和值域相同，那么这两个函数一定相等。事实上，他们不是。例如，f (x)=x，x 0，1，g (x)=(x-1) 2，x 0，1，定义了这两个函数实际上，两个函数之间等式的含义也可以描述如下：如果两个函数f(x)和g(x)的定义

2、域是D，并且对于任何x0D，都有f (x0)=g (x0)，那么f (x)=g (x)。3.功能域可以是一个空集合吗？答：教科书指出：“设A、B为非空数集，”。因此，没有空域的函数。当一个函数存在(给定)时，它的定义域不能是一个空集合；相反，当域为空集时，这样的函数不存在。4.y=0是函数表达式吗？许多学生认为Y=0不是一个函数。原因是在函数定义中有两个变量，但在Y=0时只有一个变量。形式上，y=0时只有一个变量y，但是我们知道0和任何实数的乘积仍然是0。因此，变量y=0就是y=0x，难道不存在另一个变量x吗？根据函数的定义，集合a=x | x r显然满足函数的定义，也就是说，无论x取什么值，

3、y都有一个与之对应的唯一值0。因此，根据函数的定义，y=0是一个函数表达式。类似地，对于任何实数m，y=m也是一个函数表达式，因此很清楚它是否写成y=m0x。5.当用解析的方法表达一个函数时，一个函数可以有两个或更多的解析表达式吗？如果是这样的话，每个独立变量的分析公式有什么局限性？如何得到函数定义的定义域？答：可以有两个或更多的解析表达式。这种函数称为分段函数，但每个解析表达式中的自变量范围不能有公共部分。此时，函数的定义域是由每个解析表达式中独立变量的范围决定的集合的并集。6.为什么你说在给出一个函数的解析表达式和定义域后，它的值域就相应地确定了？答：因为函数的定义域是自变量X取值范围的集

4、合，而函数的解析表达式是确定函数关系的，在这种关系下，每个X都有一个与之对应的唯一的Y，所以定义域可以由定义域和解析表达式来确定。2解释功能“三要素”构成函数的元素有定义域、对应规则“f”和值域。因此，这里我们称“域、对应规则和值域”为函数的“三要素”。对于初学者来说，很好地理解函数的“三要素”是极其重要的。在“三要素”中，功能领域可以称为功能的灵魂。要解决任何函数问题，我们必须首先考虑函数的定义域。不管相应的规则和值域是否相同，不同的域是不同的函数，例如：(1) y=x 1，xr；(2)y=x+1，x 1，2，3，4，5 ；(3)y=x+11，5。这三种功能是不同的功能。因此，要找出函数的相

5、关问题，必须先找出它们的领域。首先，领域1.函数域是函数自变量的一组值，通常要求用集合或区间来表示。2.有三种方法可以找到功能域：(1)当有解析函数时，找到函数的定义域：只要使函数有意义。例1找到y=的定义域。解是从问题的意义上知道的，所以解是X2且x4，所以定义域是-2，4)(4，)。(2)当没有具体的解析公式时，按已知函数的定义域求解，即把它看作一个整体。例2:我们知道函数y=f (x 1)的定义域是(-1，1)，并求出函数y=f (x)的定义域。让t=x1,-1 x 1， 0 t y，y 0，x 0，并且解是5 x -2时，Y=， y =-1。函数f(x)的范围是y | y -4。问题解

6、决策略的分段函数的域是每个分解函数中独立变量值集的并集；分段函数的范围是分段函数值集的并集。2.求分段函数的函数值例2 f (x)=求f(5)的值。解5 10,ff(11)=f(9)，并且9 10， f (9)=f f (15)=f (13)=11。即f (5)=11。在求解分段函数的函数值时，关键是判断自变量给定的区间，然后代入相应的解析公式；另一方面，如果主题包含多层形式，则需要从内到外进行处理。3.绘制分段函数的图像例3已知函数f (x)=是这个函数的镜像。因为分段函数有两段，这个函数的图像应该由两条线组成，一条是抛物线的左侧，另一条是光线，图像如图所示。问题解决策略的分段函数中有几段，

7、它的图像由几条曲线组成。绘画的关键是根据不同的定义场用不同的表达方式来制作图像。绘图时，要注意每一段中自变量的取值范围，并注意判断每一段函数图像的终点是真是假。4.求解分段函数的解析表达式示例4一家移动公司使用分段计费的方法来计算电话费。每月通话时间x(分钟)和相应的电话费y(元)之间的函数图像如图所示。然后：(1)当每月通话时间为50分钟时，电话费应该是多少元；(2)找出Y和X之间的函数关系.解(1)表明，当0 x 100时，函数的解析表达式为y=kx，由于交叉点(100，40)，解析表达式为y=x，当当月呼叫时间为50分钟时，0 50 100时，设y和x之间的函数关系为y=kx b，从图中

8、可以看出当x=100时y=40当x=200时，y=60。是的，解析公式是y=x 20。因此，函数关系为y=以收费为主题的数学问题在高考试题中经常以分段函数的形式出现。解决这类问题的关键是正确理解题目(或图像)所给出的信息，并确定合适的数学模型和自变量的准确分界点。5合理变形打破单调性的证明从定义上证明区间d中函数f(x)的单调性，步骤是：取值求异变形定数。变形是最关键的一步，合理的变形是准确判断f (x1)-f (x2)符号的关键。本文总结了通过定义证明函数单调性的变形策略。首先，因式分解例1:函数f (x)=x2-4x在(-，2)中单调递减。证明了设x1和x2是(-，2)上的任意两个实数，x

9、1 x2，则f (x1)-f (x2)=(x-4x1)-(x-4x2)=(x1-x2)(x1+x2-4)。因为x1 x2 2，x1-x2 0，x1 x2-4 0，即f (x1) f (x2)。因此，函数f(x)在(-，2)中单调递减。注释因子分解是一种常见的变形策略，但它必须是证明了设x1和x2是r上的任意两个实数，x1 x2，然后f(x1)-f(x2)=x1-x1=x-x。=(x1-x2)(x+x1x2+x)=(x1-x2)。因为x1 x2，x1-x2 0。因此，f (x1)-f (x2) 0，即f (x1) f (x2)。因此，函数f(x)是r上的单调递增函数.对这个话题的评论很容易停留在

10、(x1-x2)(x1 x2 x)上，这会导致错误。事实上，当我们不能直接判断x x1x2 x的符号，不能按因子分解时，这个公式将是“美好的未来”。第三，传球得分例3:假设函数f(x)=x，证明函数f(x)在区间(0，1)内是单调递减函数。证明了如果x1和x2是区间(0，1)中的任意两个实数，并且x1 x2，那么f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)+=(x1-x2)=(x1-x2)。因为x1 x2，并且x1，x2(0，1)，因此，x1-x2 0，0 x1x2 0，即f (x1) f (x2)。因此，函数f(x)在(0，1)中单调递减。同样，我们可以证明f (x

11、)=x是区间1，中的单调递增函数。第四，它是物理和化学的例4:假设函数f(x)=1，证明函数f(x)是区间1，中的单调递增函数。证明了如果x1和x2是区间1，)中的任意两个实数，并且x1 x2，那么f (x1)-f (x2)=-=。因为x1 x2，而x1，x21，)，因此，x1-x2 0。因此，f (x1)-f (x2) 0，即f (x1) f (x2)。因此，函数f(x)是1，上的单调递增函数。在评注中，分子或分母的物理和化学变形经常被用来判断f (x1)-f (x2)。6关于复合函数的单调性假设y=f (t)是t的函数，t=g (x)是x的函数。如果t=g (x)的值域是y=f (t)的值域的子集，则y通过中间变量t形成x的函数，中间变量