261二次函数图象与性质(3,4).ppt

1、,二次函数,y=a(x-h)2+k的图像和性质,彭光,1.填表,复习回顾:,(0, 0),(1, 0),(- 1, 0),(0, 0),(0, 1),(0, - 1),向下,向下,向下,向上,向上,向上,x=0,x=0,x=0,x=0,x=1,x= - 1,（0,3）,（0,-3）,如何由,的图象得到,的图象。,2.上下 平移,、,x= - 2,(-2,0),(2,0),x= 2,如何由,的图象得到,的图象。,、,3.左右 平移,y=ax2,当h0时,向右平移h个单位,当h0时,向左平移 个单位,y=a(x-h)2,y=ax2,当c0时,向上平移c个单位,当c0时,向下平移 个单位,4.上下平

2、移规律,左右平移规律,5.二次函数y=ax2 的图象和性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,开口方向,增减性,最值,y=ax2(a0),y=ax2(a0),（0，0）,（0，0）,直线x=0,直线x=0,向上,向下,当x=0时,最小值为0.,当x=0时,最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,6.二次函数y=ax2 +k 的图象和性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,开口方向,增减性,最值,y=ax2 +k(a0),y=ax2 +k(a0),（0，k）,（0，k）,直线

3、x=0,直线x=0,向上,向下,当x=0时,最小值为k.,当x=0时,最大值为k.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,7.二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,开口方向,增减性,最值,y=a(x-h)2 (a0),y=a(x-h)2 (a0),（h，0）,（h，0）,直线x=h,直线x=h,向上,向下,当x=h时,最小值为0.,当x=h时,最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在

4、对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,复习,1、抛物线 可以看作是由,抛物线 向 平移 个单位,而得到。,复习,2、抛物线 可以看作是由,抛物线 向 平移 个单位,而得到。,在同一坐标系中作出二次函数y=3x,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.,二次函数y=3x,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看,对称轴仍是平行于y轴 的直线(x=1);增减性与 y=3x2类似.,顶点是(1,2).,二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x

5、轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.,二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?,开口向上,当 X=1时有最小 值:且最小值=2.,先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?,X=1,对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y=3x2类似.,顶点是(1,-2).,二次函数y=3(x-1)2-2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 下平移2个单位后得到的.,二次函数y=3(x-1)2-2的图象与

6、抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,开口向上, 当x=1时y有 最小值:且 最小值= -2.,想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看,X=1,在同一坐标系中作出二次函数 y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x和 y=-3(x-1)2的图象,二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?

7、当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?,对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y= -3x2类似.,顶点分别是 (1,2)和(1,-2).,二次函数y=-3(x-1)2+2与 y=-3(x-1)2+2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向右平移1个 单位,再沿直线x=1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.,二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物 线y=-3x,y=-3(x-1)2有什 么关系? 它的开口方向,对 称轴和顶点坐标分别是什 么?,开口向下, 当x=1时y有 最大值:且 最大值=

8、2 (或最大值=-2).,想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x,y=-3(x+1)2,y,X=1,对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.,顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2).,二次函数y=-3(x+1)2+2与 y=-3(x+1)2-2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x,y=-3(x+1)2有什么关系? 它的开口方向,对称轴和顶点坐

9、标分别是什么?,开口向下, 当x=-1时y有 最大值:且 最大值= 2 (或最大值= - 2).,先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.,x=1,二次函数y=a(x-h)+k与y=ax的关系,一般地,由y=ax的图象便可得到二次函数y=a(x-h)+k的图象:y=a(x-h)+k(a0) 的图象可以看成y=ax的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h0时,向右平移;当h0时向上平移;当k0时,向下平移)得到的. 因此,二次函数y=a(x-h)+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.,二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,抛

10、物线,顶点坐标,对称轴,开口方向,增减性,最值,y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-h)2+k(a0),（h，k）,（h，k）,直线x=h,直线x=h,向上,向下,当x=h时,最小值为k.,当x=h时,最大值为k.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的 相同， 不同,课堂练习：,y=ax2,y=a(x-h)2+k,形状,位置,左加右减,上加下减,y = ax2,y = ax2 + k,y = a(x h )2,

11、y = a( x h )2 + k,上下平移,左右平移,上下平移,左右平移,抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:,知识回顾：,1.当a0时，开口 ， 当a0时，开口 ，,2.对称轴是 ；,3.顶点坐标是 。,向上,向下,(h,k),直线X=h,1、抛物线 向 平移 个单位得到 抛物线 ，再向 平移 个单 位得到抛物线 。,复习,注： y=a(x-h)2 +k (a0)的形式称二次函数的顶点式,开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 a0 a0 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k,向上,( 1 , -2 ),向下,向下,( 3 , 7),( 2 , -6 ),

12、向上,直线x=-3,直线x=1,直线x=3,直线x=2,( -3, 5 ),指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.,开口 对称轴 顶点坐标,向上,直线x=3,(3,5),向下,直线x= 1,(1,0),向下,直线x=0,(0,1),向上,直线x=2,(2, 5),向上,直线x= 4,( 4,2),向下,直线x=3,(3,0),2、说出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。,(1)y=2(x+3)2+4,(3)y=(x1)23,3、一条抛物线的形状与抛物线 相同，其顶点坐标是（1，3），写出这个抛物线的函数解析式。,(2)y=3x22,(4)y=2(x+2)2,1抛物线的上下平移 （

13、1）把二次函数y=(x+1)2的图像， 沿y轴向上平移个单位， 得到_的图像； （2）把二次函数_的图像， 沿y轴向下平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.,考考你学的怎么样：,y=(x+1)2+3,y=x2+3,2抛物线的左右平移 （1）把二次函数y=(x+1) 2的图像， 沿x轴向左平移个单位， 得到_的图像； （2）把二次函数_的图像， 沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.,y=(x+4)2,y=(x+2)2+1,3抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像， 先沿x轴向左平移个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 得到_的图像； （2）把二次函数_的图像， 先沿y

14、轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 22的图像.,y=3(x+3)2-2,y=-3(x+6)2,(-1,0),(-1,3),x=-1,7把二次函数y=4(x1) 2的图像, 沿x轴向 _ 平移_个单位，得到图像的对称轴是直线x=3. 8把抛物线y=3(x+2) 2，先沿x轴向右 平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位， 得到_的图像 9把二次函数y=2x 2的图像，先沿x轴 向左平移个单位，再沿y轴向下平移2 个单位，得到图像的顶点坐标是_,右,2,y=-3x2-1,(-3,-2),10.如图所示的抛物线： 当x=_时，y=0； 当x0时， y_0； 当x

15、在 _ 范围内时，y0； 当x=_时，y有最大值_.,3,0或-2,2 x0,-1,3,11、试分别说明将抛物线的图象通过怎样的平移得到y=x2的图象： (1) y=(x-3)2+2 ； (2)y=(x+4)25,12.与抛物线y=4x 2形状相同，顶点为（2，-3）的抛物线解析式为 ,先向左平移3个单位，再向下平移2个单位,先向右平移4个单位，再向上平移5个单位,y= - 4(x-2)2-3或y= 4(x-2)2-3,13.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示 （1）求解析式,(1,-1),(0,0),(2,0),当x 时，y0。,当x 时，y=0;,（2）根据图象回答： 当x 时

16、，y0;,解：二次函数图象的顶点是(1,-1)， 设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1， 其图象过点(0,0)， 0= a(0-1)2-1， a=1 y= (x-1)2-1,x2,0 x2,x=0或2,探究：,二次函数y=ax2+bx+c(a0) 图象主要的特点？,函数y=ax+bx+c的对称轴，顶点坐标,二次函数一般形式化成顶点式,y=ax2+bx+c(a0),顶点坐标：,对称轴：直线,写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，当x为何值时y的值最大（小）？,?,（1）y=3x2+2x,（2）y=-x2-2x,（3）y=-2x2+8x-8,例1、用配方法把下列函数化成顶点式,(1) y=

17、2x28x+4,(4) y= x22x+9,(3) y=x24x+1,(2) y=3x22x,例1、用公式法求对称轴和顶点坐标，并画出下列函数图象。,(2) y= x22x+1,例2、已知抛物线y=ax2+2x+c的对称轴为直线x=2，函数的最大值是3，求a，c的值。,(1) y=x24x 7,提高题1、正比例函数y=kx的图象经过二、四象限，则抛物线y=kx22x+k2的大致图象,2、已知抛物线y=x2+4x+c的的顶点在 x轴上，求c的值？,B,1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x

18、+k)2+k(a0)的 顶点都在 （ ） A.直线y = x上 B.直线y = - x上 C.x轴上 D.y轴上 3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的值是 （ ） 4 B. -1 C. 3 D.4或-1 4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x 轴的一个交点为(1,0),则下列 各式中不成立的是( ) A.b2-4ac0 B.abc0 C.a+b+c=0 D.a-b+c0,1,C,A,x,y,o,-1,B,5.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位,再向上平 移3个单位,得抛物线y = x2 - 2x+1,则 （ ） A.b=2,c= 6

19、 B.b= - 6 , c= 6 C.b= - 8,c= 18 D.b= - 8 , c= 18 6.若一次函数 y= ax + b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y = ax2 + bx - 3的大致图象是 ( ),B,-3,-3,-3,-3,C,7.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （ ）,C,例：指出抛物线:,的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标。并画出草图。,对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口 方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴 的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时） ，这样就可以画出它的大致图象。,练习,指出下列抛物线的开口方向、求出 它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交 点坐标、与x轴的交点坐标。并画出 草图。,提高,1、说出下列函数图象的性质：,开口方向、对称轴、顶点、增减性、 最大(小)值。,提高,2、已知二次函数图象顶点为(-1，-6)， 并且图象经过点(0，5)，求这个二次函 数的