第三章第一节.ppt

1、一、二维随机变量及其分布函数,二、二维离散型随机变量,三、二维连续型随机变量,四、两个常用的分布,五、小结,第一节 二维随机变量,在实际问题的研究中，只用一个随机往是不够的 例如，要研究儿童的生长发育情况，常用身高和体重两个随机变量来描述研究某地区的气候状况需要考虑温度、湿度等多个随机变量； 研究国民经济状况，就需要用GDP、固定资产投资、各产业产值、人均消费额等很多随机变量来描述 本章学习多维随机变量及其分布的有关概念、理论和应用,图示,一、二维随机变量及其分布函数,1.定义,实例1 炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量.,二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与

2、X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.,实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量 ( H, W ).,说明,多维随机变量的关键是定义在同一样本空间上，对于不同样本空间上的两个随机变量，本章将不涉及这类问题,2.二维随机变量的分布函数,(1)分布函数的定义,分布函数 在点 处的函数值就是事件 “随机点(X,Y)落在以点 为右上顶点的角形区 域”的概率.,定义域为全平面,(2) 分布函数的性质,且有,事实上，具有上述四条性质的二元F(x，y)一定是某个二维随机变量的分布函数。 注意，一个二元函数F(x，y)满足前三条性质时不一定

3、满足性质(4) (见例3.2),若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机变量.,二、二维离散型随机变量,1. 定义,2. 二维离散型随机变量的分布律,分布律满足:,分布律可用表格表示:,X,Y,概率的非负性,概率的规范性,解,且由乘法公式得,例1,二维离散型随机变量的分布列形象化解释,设想将一单位质量的物质分配在（X，Y）所 有可能取值的点处，相应分配的量就是对应的概 率值。,这样一来，随机变量取值落在某个平面区域 G上的概率就等于G内各可能取值点处概率之和。,例1: 将一枚硬币连抛三次,以X表示在“三次中出现正面的次数”,

4、Y表示“三次中正、反面次数差的绝对值”,求X与Y的联合分布律.,解X取值0,1,2,3;Y取值1,3.基本事件总数为8.,X与Y的联合分布律为:,PX=0,Y=1=P()=0; PX=0,Y=3=1/8; TTT PX=1,Y=1=3/8; HTT,THT,TTH,PX=1,Y=3=P()=0; PX=2,Y=1=3/8; HHT,HTH,THH PX=2,Y=3=P()=0;,PX=3,Y=1=P()=0; PX=3,Y=3=1/8. HHH,古典概率,例1-续,X与Y的联合分布律为：,说明,离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为,四、连续型二维随机变量,1、概念,定义4 设 为

5、二维随机变量(X,Y)分布函数, 如果存在非负函数 使对任意实数 有,则称(X,Y )为二维连续型随机变量,其中 称为 随机变量(X,Y)的概率密度,或称为随机变量X与Y的联 合概率密度.,2、概率密度及其性质,概率密度具有下列性质:, 设G为平面xoy上的一个区域,则随机点(X,Y) 落在G内的概率为:,曲顶柱体体积,确定待定参数,概率密度性质, 若 在点 处连续,则有,由分布函数求概率密度,由概率密度求分布函数,【例2】(典型题）,例2:设r.v.(X,Y)的概率密度为,解由概率密度性质得,(1)确定C的值;(2)求(X,Y)的分布函数;(3)求概率,(1) 因为,所以,故,例2-续1,(

6、2)由概率密度求分布函数.,解题思路,画出联合概率密度的 非零区域;, 点(x,y)在全平面范围 内取值;, 综合上述两点得出就 (x,y)的分段情形.,例2-续2,本例中分布函数应分为两段来计算:就x0,y0与 “其它”。,利用重积分对积分区域的可加性,只保留非零积分,例2-续3,(3)求概率PYX.,只需在概率密度f的非零 区域与事件区域 G=(x,y)|yx 的交集D上积分.,由公式,得:,例2-续4,本例是一个典型题.大家应熟练掌握分析与计算 的方法。特别是会根据不同形状的概率密度非零区域 与所求概率的事件区域G来处理这类问题。,二维均匀分布 设G为一个平面有界区域,其 面积为A.如果二维连续型随机变量(X,Y)的概率密 度为,则称(X,Y)服从区域G上的均匀分布,记为(X,Y)U(G).,1、二维均匀分布,两种常见的二维连续型分布,【例3.7】设( X，Y )服从区域 G：0 x 2；0 y 2上的均匀分布， 求P| X Y | 1 解：设D表示区域| x y| 1， 由于( X，Y )的概率密度为 所以 = 区域DG的面积=,二维正态分布 设二维连续型随机变量(X,Y) 的概率密度为,2、二维正态分布,其中 均为常数,称(X,Y) 为服