直角三角形的性质与判定 (4)

1、第一章 三角形的证明,1.2 直角三角形,第1课时 直角三角形的 性质与判定,1,课堂讲解,直角三角形中角的关系 直角三角形中边角关系 逆命题、逆定理,2,课时流程,逐点 导讲练,课堂小结,作业提升,三角形的分类,按边分类,按角分类,锐角三角形 直角三角形 钝角三角形,有一个角是钝角,三角形按角的分类,三个角都是锐角,有一个角是直角,生活中用到直角三角形的例子很多,三角形,1,知识点,直角三角形中角的关系,想一想 (1)直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？ 如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形 是直角三角形吗？为 什么？,知1导,归 纳,知2导,定理直角三角形的两个锐角互余. 定理

2、有两个角互余的三角形是直角三角形.,如图，在ABC中，C70，B30，ADBC于点D，AE为BAC的平分线，求DAE的度数,例1,由题意可知， BAC180BC 180307080. AE为BAC的平分线， CAEBAE BAC40. ADBC，ADC90. CAD90C907020. DAECAECAD402020.,解：,总 结,知1讲,三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点 的高线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半,1,【2017长沙】一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是() A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形,知1练,B,2,【2017

3、郴州】小明把一副含45，30的直角三角尺如图摆放，其中CF90，A45，D30，则等于() A180 B210 C360 D270,知1练,B,2,知识点,直角三角形中边角关系,知2导,勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方.,知2导,反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.下面我们证明这个结论. 已知：如图 (1)，在ABC中，AB2AC2BC2. 求证：ABC是直角三角形,知2讲,证明：,如图(2) ，作Rt ABC ，使 A90 ABAB, ACAC, 则AB 2AC 2 BC 2（勾股定理）. A

4、B2AC2BC2 ， BC2 BC 2. BC BC. ABC ABC (SSS). AA90(全等三角形的对应角相等）. 因此， ABC是直角三角形.,知2讲,例2,A,如图，在RtABC中，C90，AC9，BC12，则点C到AB的距离是(),知2讲,导引：方法一：,C90，AB2AC2BC292122225. AB15. 过点C作CDAB于点D，设ADx，则BD15x. 在RtACD中，CD2AC2AD292x2. 在RtBCD中，CD2BC2BD2122(15x)2. 92x2122(15x)2，解得x5.4. CD2925.4251.84. CD7.2 ，即点C到AB的距离为 .,知2

5、讲,方法二：过点C作CDAB于点D， 则SABC ACBC ABCD， ACBCABCD.又由方法一知AB15， CD ，即点C到AB的距离为.,总 结,知2讲,应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求 线段的长更是简化了计算步骤，使解题过程变得简明 易懂,1,在ABC中，已知AB45，BC3，求AB的长.,知2练,因为AB45， 所以ABC为等腰直角三角形 所以ACBC3. 所以,解：,2,已知：在ABC中，AB13cm，BC10cm，BC边上的中线AD12cm. 求证：ABAC.,知2练,如图， 因为AD是BC边上的中线， 所以BD BC 10 5(cm),解：,知2练,在ABD中， 因

6、为AB13 cm，AD12 cm，BD5 cm， 所以AB2AD2BD2. 所以ABD为直角三角形所以ADBC. 在RtADC中， AC 13(cm)， 所以ABAC.,3,知识点,逆命题、逆定理,知3导,观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流. 再观察下面三组命题： （1）如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角. （2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.,知3导,（3）一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 上面每组中两个命题的条

7、件和结论也有类似的关系吗？与同伴交流.,知3讲,1在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称 为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆 命题,2如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么 它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理 的逆定理，这两个定理称为互逆定理,知3讲,例3,判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果ab，那么a2b2； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果ab0，那么a0，b0.,导引：,根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题 的

8、题设和结论部分互换，写出原命题的逆命题，最 后判断逆命题的真假,知3讲,解：,(1)原命题是真命题逆命题为：如果两条直线只有 一个交点，那么它们相交逆命题是真命题 (2)原命题是假命题逆命题为：如果a2b2，那么a b.逆命题是假命题 (3)原命题是真命题逆命题为：如果两个数的和为 零，那么它们互为相反数逆命题是真命题 (4)原命题是假命题逆命题为：如果a0，b0， 那么ab0.逆命题是真命题,总 结,知3讲,写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结 论，然后将它的题设和结论交换位置就得到这个命 题的逆命题判断一个命题是真命题需要进行逻辑 推理，判断一个命题是假命题只需要举出反例就可 以了,知

9、3讲,例4,定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”是否有逆定理？请说明理由,导引：,先写出这个定理的逆命题，再判断逆命题的真假即可,解：,定理的逆命题：在角的内部，到角两边距离相等的点在 这个角的平分线上可以证明其为真命题，所以它是原 定理的逆定理理由如下： 已知：如图，PEOA， PFOB，垂足分别为E，F， 且PEPF. 求证：OP是AOB的平分线,知3讲,证明：,PEOA，PFOB， OEPOFP90. 在RtPOE和RtPOF中，由勾股定理易得OEOF， POEPOF. AOPBOP，即OP是AOB的平分线 即在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的 平分线上 故定理“角平分线上

10、的点到角的两边的距离相 等” 有逆定理,总 结,知3讲,判断一个定理是否有逆定理的方法：先把定理作 为命题，写出它的逆命题，然后判断其逆命题是否正 确，如果不正确，举一个反例即可；如果是真命题， 加以证明即可判断原定理有逆定理,1,说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： (1)四边形是多边形； (2)两直线平行，同旁内角互补； (3)如果ab0，那么a0，b0.,知3练,(1)逆命题：多边形是四边形原命题真，逆命题假 (2)逆命题：同旁内角互补，两直线平行原命题真， 逆命题真 (3)逆命题：如果 a0，b0，那么ab0. 原命题假， 逆命题真,解：,2,下列说法正确的是() A每个定理都

11、有逆定理 B每个命题都有逆命题 C原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 D真命题的逆命题是真命题,知3练,B,3,【2017包头】已知下列命题： 若 1，则ab； 若ab0，则|a|b|； 等边三角形的三个内角都相等； 底角相等的两个等腰三角形全等 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是() A1个 B2个 C3个 D4个,知3练,A,直角三角形角的关系： 定理直角三角形的两个锐角互余. 定理有两个角互余的三角形是直角三角形.,1,知识小结,(2)勾股定理及其逆定理： 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. (3)互逆命题、互逆定理：,【中考黔西南州】一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为