数理方程第12讲勒让德多项式.ppt

1、第六章 勒让德多项式,6.1 勒让德方程及其解的表示,1 勒让德方程 勒让德多项式 在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程,（1.1）,在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程,和球谐函数方程,（.2）,(1.2)式的解,与半径,无关，故称为球谐函数,或简称为球函数,球谐函数方程进一步分离变量，令,得到关于,的常微分方程,（1.3）,称为,阶连带勒让德方程.,令,和,把自变数从,换为,，则方程（1.3）可以化为下列,阶连带勒让德方程,形式的,（1.4）,若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与,无关，则,，即有,（1.5）,称为,阶勒让德（legendre）方程,同样若记,，,

2、则上述方程也可写为下列形式的,阶勒让德方程,(1.6),2 勒让德多项式的表示,(1) 勒让德多项式的级数表示,我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解,为,（1.7）,式中,上式具有多项式的形式，故称,为,阶勒让德多项式勒让德多项式也称为第一类勒让德函数,式（1.7）即为勒让德多项式的级数表示,注意到, 故可方便地得出前几个勒让德多项式:,勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到,计算,，这应当等于多项式,的常数项,如,为,（即为奇数）时，则,只含奇,数次幂，不含常数项，所以,（.8）,（即为偶数）时，,则,含有常数项，即,（.7）中,的那一项，所以,（.9）,式中记

3、号,而,因此，,(2) 勒让德多项式的微分表示,（1.10）,上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表示式,下面证明表达式(1.10)和（1.7）是相同的,【证明】(略）,6.2 勒让德多项式的性质,1 勒让德多项式的性质,(1) 勒让德多项式的零点,对于勒让德多项式的零点，有如下结论：,（i）,的,个零点都是实的，且在,内；,（ii）,的零点与,的零点互相分离,(2) 奇偶性,根据勒让德多项式的定义式，作代换,容易得到,（2.1）,即当,为偶数时，勒让德多项式,为偶函数，,为奇数时,为奇函数,(3) 勒让德多项式的正交性及其模,不同阶的勒让德多项式在区间,上满足,(2.

4、2),其中,当,时满足,， (2.3),称为正交性 相等时可求出其模,(2.4),下面给出公式（2.2），及其模(2.4)的证明,【证明】 （1）正交性,勒让德多项式必然满足勒让德方程，故有,两式相减，并在-1,1 区间上对x积分，得,因为上面等式左边的积分值为,所以当,时，必然有,根据,成立,（2）模 （利用分部积分法证明）,为了分部积分的方便，把上式的,用微分表示给出，则有,注意到,以,为,级零点，,故其,阶导数,必然以,为一级零点，从而上式已积出部分的值为零,再进行,次分部积分，即得,是,次多项式，其,阶导数也就是最高幂项,的,阶导数为,故,再对上式分部积分一次,容易看出已积出部分以,为

5、零点,至此，分部积分的结果是使,的幂次降低一次，,的幂次升高一次，,且积分乘上一个相应的常数因子,继续分部积分（计,次），即得,故勒让德多项式的模为,且有,(4) 广义傅里叶级数,定理2.1 在区间 -1,1上的任一连续函数,可展开为勒让德多项式的级数,（2.5）,其中系数,(2.6),在实际应用中,经常要作代换,此时勒让德方程的解为,，这时有,(2.7),其中系数为,（2.8）,2. 勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）,例2.1 将函数,按勒让德多项式形式展开.,【解】 根据 （2.5）设,考虑到,，由(2.6)显然有,所以,例2.2 将函数,展开为勒让德多项式,形式,【解】 用直接展开法,令,，则由,我们知道：,可设,考虑到勒让德函数的奇偶性，显然,由,项的系数，显然得出,故有,下面我们给出一般性结论：,结论1：设,为正整数，可以证明：,结论2 ：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数,为奇函数，,则展开式（2.5）系数,若需展开的函数,为偶函数，则展开式（2.5）系数,例2.3 以勒让德多项式为基，在-1,1区间上把,展开为广义傅里叶级数,【解】 本例不必应用一般公式 ，事实上，,是三次多项式（注意,既非奇函数，也非偶函数），,设它表示为,比较同次幂即得到,由此得到,例3.1 求,【解】,勒让德多项式的递推