第八节-多元函数的极值及其求法.ppt

1、第八节 多元函数的极值及其求法,一、多元函数的极值,二、多元函数最值,三、条件极值,一、多元函数极值（一元函数极值的推广）,有定义，,的某邻域,则称函数在,有极大值；,则称函数在,有极小值；,极大值、极小值统称为极值.,使函数取得极值的点称为极值点.,设函数,在点,1.极值的定义,例1,例,例,2、多元函数取得极值的条件,证,必要条件,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,但不是极值点.,定理2（充分条件）,的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，,处是否取得极值的条件如下：,（1）,（2）,（3）,时可能有

2、极值,也可能没有极值，,还需另作讨论,例4,求函数,解 第一步 求驻点:,得驻点: (1,0),(1,2),(3,0),(3,2) .,第二步 判别:,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,在点(3,0) 处,在点(3,2) 处,为极大值.,在点(1,2)处,在点(1,0)处,为极小值;,(1,0) (1,2) (-3,0) (-3,2),第一步 解方程组,第二步 对于每一个驻点,求出实数解，得驻点.,求出二阶偏导数的值A、B、C.,第三步 定出,的符号，,再判定是否是极值.,求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最

3、小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.,二、多元函数的最值,解,如图,先求函数在D内的驻点，,例5 求二元函数,在直线,所围成的闭区域,D上的最大值与最小值.,解方程组,一元函数 的极值,即,比较函数值后可知：,可取得最大收益？,每天的收益为,某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶,进价2元，外地牌子每瓶进价3元，店主估计，,如果本地牌子的每瓶卖x元，外地牌子的每瓶卖,y元，则每天可卖出,瓶本地牌子,的果汁，,瓶外地牌子的果汁.,问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁,解,目标函数,例6,目标函数,求驻点：,令,解得,根据题意可知，最大值一定存在，

4、并在开区域,内取得，,又函数在D内,只有唯一驻点,因此可断定本地的,饮料价格约定为4.85元，外地的约为4.46元时，,收益最大.,三、条件极值及拉格朗日乘数法,无条件极值：对于变量仅限制了定义域.,条件极值：除了定义域之外，对函数的自变量,还有附加条件的极值问题.,这200元以达到最佳效果,在条件 下的极值点,实例：小王有200元钱，他决定用来购买两类,急需物品：参考书和录音磁带，设他购买x本,书, y盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为,设每本书20元，每盒磁带10元，问他如何分配,问题的实质：,求,例7,则问题为:求x , y , z，,解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,试问

5、水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,方法1,使在条件,下,将条件极值转化为无条件极值,方法2,拉格朗日乘数法,拉格朗日乘数法,解出,其中x,y就是可能的极值点的坐标.,在条件,下的可能极值点.,要找函数,先构造函数,（称拉格朗日函数）,可由,例7,试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,水箱表面积,最小.,设拉格朗日函数：,方法2,由,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此 , 当高为,（1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?,提示: 利用对称性可知,（2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省, 应如何设拉格朗日函数?

6、,提示:,长、宽、高尺寸相等 .,思考,长、宽、高尺寸如何?,，即得极值点的坐标.,先构造函数,拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：,这200元以达到最佳效果,例8 小王有200元钱，他决定用来购买两类,急需物品：参考书和录音磁带，设他购买x本,书, y盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为,设每本书20元，每盒磁带10元，问他如何分配,求,提示：,可用两种方法.,目标函数,方法1 转化为无条件极值,由附加条件得,依题意，买5本书，10盒磁带可达到最佳效果.,方法2,用拉格朗日乘数法,令,由(1),(2)得,代入(3),得,代入(4),得,故买5本书，10盒磁带可达到最佳效果.,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步 利用充分条件判别驻点是否为极值点 .,如对二元函数,一、多元函数的极值,（取得极值的必要条件、充分条件）,小结,设拉格朗日函数,如求二元函数,解方程组,求驻点 .,二、拉格朗日乘数法,分清目标函数和附加条件，,构造拉格朗日函数.,在条件,条件极值的两种求法：,1. 将条件函数代入目标函数转化为无条件极值；,2. 利用拉格朗日乘数法,三、多元函数的最值,1.有界闭区域上连续函数的最值；,2.最值应用问题.,第二步 求出驻点，,比较驻点及边界点上函数值的