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1、计算凝聚态物理,凝聚态物质的数值模拟方法(4) 临界慢化与其它方法；自由能的计算 马红孺,2003-9-28,上海交通大学理论物理研究所 马红孺,临界点的模拟和临界慢化,在临界点附近, 会出现临界慢化现象. 临界慢化可以通过动力学临界指数来描述. 物理量A的关联函数为:,驰豫时间可以定义为,一般为2-3个MCS, 但在临界点, 发散.,Z为动力学临界指数, 二维Ising模, z=2.18,2003-9-28,上海交通大学理论物理研究所 马红孺,临界点的模拟和临界慢化,对于有限系统:,改进的办法: Swendsen-Wang 方法,1, 从任一状态出发 s . 2, 访问所有的近邻对，如果两个

2、相邻格点i和j的自旋相同，则在这两个格点之间以几率 p=1-e-2 J 生成一个键。如果两个相邻自旋不同，则在它们之间不生成键。 3, 根据连键的情况构造集团，任何两个格点之间，如果能够找到一条连接的通路，则属于一个集团，一个孤立格点也是一个集团。每一个格点必须属于某一个集团。在确认了每一个集团后，给每个集团按相同几率给予自旋 +1 和 -1. 并完全忘掉原来的自旋。 4. 一个MCS结束，重复24。,2003-9-28,上海交通大学理论物理研究所 马红孺,临界点的模拟和临界慢化,改进的方法, Wolff方法,1, 随机选择一个格点； 2, 从这一格点出发，如果，对所有的和此格点自旋相同的近邻

3、点以概率 p=1-e-2 J 连键； 3, 如果键已经画到了近邻格点 j, 然后从 j 出发向所有的相同自旋的近邻以几率 p=1-e-2 J 连键； 4, 重复第三步，直到再不能生成新的键，从而构成一个集团； 5, 翻转集团的自旋； 6, 转到第一步；,2003-9-28,上海交通大学理论物理研究所 马红孺,临界点的模拟和临界慢化,Wollf 的单集团算法比Swendsen-王建生的多集团算法的效率要高，而且容易在计算机上实现。 对于二维的Ising模型，两个算法都给出 z=0, 或,2003-9-28,上海交通大学理论物理研究所 马红孺,自由能的计算,热力学积分方法, 利用:,得到:,200

4、3-9-28,上海交通大学理论物理研究所 马红孺,自由能的计算,接受几率方法(Acceptance Ratio Method),这一方法计算由U0 和 U1描述的两个相近系统的自由能之差。自由能之差可以写为,2003-9-28,上海交通大学理论物理研究所 马红孺,自由能的计算,两个配分函数之比可以变换为,这里的下标0和1是指对势 U0 和 U1. 正则分布求平均。 W 是一个任意函数。,2003-9-28,上海交通大学理论物理研究所 马红孺,自由能的计算,选择,n0 和 n1 是两个任意常数。,令：,2003-9-28,上海交通大学理论物理研究所 马红孺,自由能的计算,我们得到,这里,自由能差

5、为,2003-9-28,上海交通大学理论物理研究所 马红孺,自由能的计算,王福高-Landau方法, 能量空间的无规行走:,正则分布:,物理量的平均值:, 是状态数,自由能:,Fugao Wang and D. P. Landau, Phys. Rev. Lett. 86，2050(2001); Phys. Rev. E 64, 056101(2001).,2003-9-28,上海交通大学理论物理研究所 马红孺,自由能的计算,1赋初值：令所有能级E的状态数(E)均为1. 2选定一个已知能量的位型. 3以随机或打字的方式改变一个格点的自旋. 设改变以前 系统的能量为E1，改变以后系统的能量为E2

6、. 为了使访 问能级E的概率正比于该能级状态数(E)的倒数，从能 级E1到E2的转变几率为min(E1)/(E2)，1. 按照接受状况更新状态数(E), 同时计算状态的能量分 布H(E).,以二维Ising模型为例, 能量的可能取值为 -2NJ, -2NJ+2, , 2NJ-2, 2NJ 我们需要计算每个能级的状态数(E).,问题, 如何计算(E) ?,2003-9-28,上海交通大学理论物理研究所 马红孺,自由能的计算,即: （1）倘若当前的状态数是(E1)(E2)，则无条件接受新位型。同时能级E2的状态数(E2)乘以一个修正因子f(f1)，并且能级E2的访问次数H(E2)计数一次。 （2）

7、倘若当前的状态数是(E1)(E2)，则按几率(E1)/(E2)接受新位型。如果接受新位型，那么能级E2的状态数(E2)乘以一个修正因子f，并且能级E2的访问次数H(E2)计数一次；如果不接受新位型，那么能级E1的状态数(E1)乘以一个修正因子f，并且能级E1的访问次数H(E1)计数一次。,收敛的标志: H(E)=常数 !,2003-9-28,上海交通大学理论物理研究所 马红孺,自由能的计算,其它重要方法:,1, Multicanonical 方法: B. Berg and T. Neuhaus, Phys. Lett. B 267, 249 (1991); Phys. Rev. Lett. 68, 9 (1992). 由一个初始态密度出发, 通过多次模拟, 近似求得态密度.,2, Multistage Sampling (McDonald and Singer, 1967, 1969) 3, Finite Size method (Mon, 1985) 4, Particle-Insertion Method (B. Widom, 1962) 5, Histogram Methods (Ferrenberg and Swendsen, 1988) 6, Density Scaling Monte Carlo (J P