天津市高考数学文科试题含

1、20162016 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数数学（文史类）学（文史类） 本试卷分为第卷（选择题）和第（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时， 考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第第 I I 卷卷 注意事项： 1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他

2、答案标号。 2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 参考公式：参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么如果事件 A，B 相互独立， P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A) P(B) 柱体的体积公式 V 柱体=Sh，圆锥的体积公式 V= 1 Sh 3 其中 S 表示柱体的底面积其中其中 S 表示锥体的底面积，h 表示圆锥的高 h 表示棱柱的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合A 1,2,3，B y | y 2x 1,x A，则AI B= （A）1,3（B）1,2（C）2,3（D）1,2,3 （2）甲、乙两人下棋，两人下成和棋

3、的概率是 （A） 5 6 （B） 2 5 11 ，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为 32 11 （C）（D） 36 （3）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该 几何体的侧（左）视图为 x2y2 （4）已知双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的焦距为2 5，且双曲线的一条渐近线与直线2x y 0垂直， ab 则双曲线的方程为 x2y2 22 y 11 （A）（B）x 44 3x23y23x23y2 11 （D）（C） 520205 （5）设x 0，yR，则“x （A）充要条件 y”是“x | y |”的 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充

4、分条件（D）既不充分也不必要条件 |a1| （6）已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(,0)上单调递增，若实数a满足f (2 ) f ( 2)， 则a的取值范围是 （A）(,) 1 2 （B）(, )( ,)（C）(,)（D）(,) 1 2 3 2 1 3 2 2 3 2 （7）已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形，点D,E分别是边AB,BC的中点，连接DE并延长到点F， uuu r uuu r 使得DE2EF，则AFgBC的值为 1111 （C）（D） 848 x11 （8）已知函数f (x) sin2sinx ( 0)，xR.若f (x)在区间(,2)内没有零点，则的 222

5、 （A） 5 8 （B） 取值范围是 （A）(0, （B）(0, ,1)（C）(0, （D）(0, , 1 8 1 4 5 8 5 8 1 8 1 5 4 8 第卷第卷 注意事项：注意事项： 1 1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. . 2 2、本卷共、本卷共 1212 小题，共计小题，共计 110110分分. . 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分. . （9）i 是虚数单位，复数z满足(1i)z 2，则z的实部为_. （10）已知函数f (x) (2x+1)

6、ex, f (x)为f (x)的导函数，则f (0)的值为_. （11）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为_. （第 11 题图） （12） 已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上， 点M(0, 5)在圆 C 上， 且圆心到直线2x y 0的距离为 则圆 C 的方程为_. （13） 如图， AB 是圆的直径， 弦 CD 与 AB 相交于点 E， BE=2AE=2， BD=ED， 则线段 CE 的长为_. 4 5 ， 5 2 xx (4a 3)x3a,x 0 (14) 已知函数f (x) 且关于x的方程| f (x)| 2(a 0且a 1)在R上单调递减， 3 log a (x1

7、)1,x 0 恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是_. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分. . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. . （15） （本小题满分 13 分） 在ABC中，内角A,B,C所对应的边分别为 a,b,c，已知asin2B 3bsin A. ()求 B； ()若cosA (16)(本小题满分 13 分) 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C 三种主要原料.生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料 所需三种原料的吨数如下表所示： 1 ，求 sinC 的值 3 现

8、有 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产 1 车 皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元.分别用 x,y 表示计划生产 甲、乙两种肥料的车皮数. ()用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； ()问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润. (17)(本小题满分 13 分) 如图，四边形 ABCD 是平行四边形， 平面 AED平面 ABCD，EF|AB，AB=2，BC=EF=1，AE= 6 ，DE=3， BAD=60，G 为

9、 BC 的中点. ()求证：FG|平面 BED； ()求证：平面 BED平面 AED； ()求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值. (18)(本小题满分 13 分) 已知an是等比数列，前 n 项和为SnnN，且 ()求an的通项公式； ()若对任意的nN,bn是log2an和log2an1的等差中项，求数列 （19） （本小题满分 14 分） 112 ,S 6 63. a 1 a 2 a 3 1nb n 2 的前 2n 项和. x2y2113e 1（a 3）的右焦点为F，右顶点为A，已知 设椭圆 2 ，其中O为原点， a3|OF |OA| FA| e为椭圆的离心率. （）求椭圆的方程

10、； （） 设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上） ， 垂直于l的直线与l交于点M， 与y轴交于点H， 若BF HF，且MOA MAO，求直线的l斜率. （20） （本小题满分 14 分） 设函数 f (x) x axb，xR，其中a,b R （）求f (x)的单调区间； （）若f (x)存在极值点x 0 ，且 f (x 1) f (x0 )，其中x 1 x 0 ，求证：x 1 2x 0 0； （）设a 0，函数g(x) | f (x)|，求证：g(x)在区间1,1上的最大值不小于 . 3 1 4 20162016 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（

11、天津卷） 数数学（文史类）参考答案学（文史类）参考答案 一、选择题： （1） 【答案】A （2） 【答案】A （3） 【答案】B （4） 【答案】A （5） 【答案】C （6） 【答案】C （7） 【答案】B （8） 【答案】D 二、填空题：二、填空题： （9） 【答案】1 （10） 【答案】3 （11） 【答案】4 （12） 【答案】(x2)2 y29. （13） 【答案】 2 3 3 1 2 3 3 (14) 【答案】 , ) 三、解答题三、解答题 （15） 【答案】 （）B 【解析】 试题分析： （）利用正弦定理，将边化为角：2sin AsinBcosB 3sinBsin A,再根据三角

12、形内角范围化简 6 （） 2 6 1 6 得cosB 3 ，B （）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和， 26 再根据两角和的正弦公式求解 试题解析： （）解： 在ABC中，由 ab ，可得asinB bsinA，又由asin 2B 3bsin A得 sin Asin B 3 ，得B ； 26 2asin BcosB 3bsin A 3asin B，所以cosB （）解：由cos A 2 21 得sin A ，则sinC sin(A B) sin(A B)，所以 33 312 6 1 sin Acos A 226 sinC sin(A 6 ) 考点：同角三角函数的

13、基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理 (16) 【答案】 （）详见解析（）生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万 元 【解析】 试题分析： （）根据生产原料不能超过A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨，列不等关系 式，即可行域，再根据直线及区域画出可行域（）目标函数为利润z 2x 3y，根据直线平移及截距变 化规律确定最大利润 4x 5y 200 8x 5y 360 试题解析： （）解：由已知x, y满足的数学关系式为3x 10y 300，该二元一次不等式组所表示的区 x 0 y 0 域为图 1 中的阴影部分

14、. y 8x+5y=360 10 x O10 4x+5y=200 3x+10y=300 (1) （）解：设利润为z万元，则目标函数z 2x 3y，这是斜率为 直线在y轴上的截距，当 2z ，随z变化的一族平行直线.为 33 z 取最大值时，z的值最大.又因为x, y满足约束条件，所以由图2 可知，当直线 3 4x 5y 200 z 得点Mz 2x 3y经过可行域中的点M时，截距的值最大， 即z的值最大.解方程组 33x 10y 300 的坐标为M(20,24)，所以zmax 220 324 112. 答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元. y 8x+5y

15、=360 M 10 x O10 2x+3y=z 4x+5y=200 3x+10y=300 (2) 2x+3y=0 考点：线性规划 【结束】 (17) 【答案】 （）详见解析（）详见解析（） 【解析】 试题分析： （）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行寻 找与论证，往往结合平几知识，如本题构造一个平行四边形：取BD的中点为O，可证四边形OGFE是平 行四边形，从而得出FG/OE（）面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，而线面垂直的证明，往往 需多次利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂直的证明有时需要利用平几条件，如本题可由余弦定理解 出ADB 900，即

16、BD AD（）求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂直的性质定 理得到线面垂直，即面的垂线：过点A作AH DE于点H，则AH 平面BED，从而直线AB与平面 5 6 BED所成角即为ABH.再结合三角形可求得正弦值 试题解析： （）证明：取BD的中点为O，连接OE,OG，在BCD中，因为G是BC的中点，所以OG/DC且 OG 1 DC 1，又因为EF / AB, AB/ DC，所以EF/OG且EF OG 2 ，即四边形OGFE是平行四边形，所以FG/OE，又FG 平面BED，OE 平面BED，所以FG/平 面BED. 0 （）证明：在ABD中，AD 1, AB 2,BAD 60，由余

17、弦定理可BD 3 ，进而可得 ADB 900，即BD AD，又因为平面AED 平面ABCD,BD 平面ABCD；平面AED 平面 ABCD AD，所以BD 平面AED.又因为BD 平面BED，所以平面BED 平面AED. （）解：因为EF/ AB，所以直线EF与平面BED所成角即为直线AB与平面BED所成角.过点A作 AH DE于点H，连接BH，又因为平面BED 平面AED ED，由（）知AH 平面BED，所 以直线AB与平面BED所成角即为ABH.在ADE中，AD 1,DE 3, AE 6，由余弦定理可得 cosADE 552 ，所以sinADE ，因此AH ADsinADE ，在RtAHB

18、中， 333 AH55 ，所以直线AB与平面BED所成角的正弦值为 AB66 sinABH 考点：直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角 【结束】 (18) n1 【答案】 （）a n 2（）2n2 【解析】 试题分析： （）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由 112 解得q 2,q 1，分别 a 1 a 1q a 1q 2 a 1 (1q6) 代入S n 63得q 1，a 1 1（）先根据等差中项得 1q b n 111 (log 2 a n log 2 a n1 ) (log 2 2n1 log 2 2n) n ，再利用分组求和法求和： 222 T 2n (b 1 2

19、b 2 2)(b 3 2b 4 2)(b 2 2 n1 b 2 2 n ) b 1 b 2 b 2n 试题解析： （）解：设数列an的公比为q，由已知有 2n(b 1 b 2n ) 2n2 2 112 ，解之可得q 2,q 1，又由 a 1 a 1q a 1q 2 a 1 (1 26)a 1 (1q6) 63，解之得a 1 1，所以an 2n1.S n 63知q 1，所以 1 21q （）解：由题意得bn 111 (log 2 a n log 2 a n1 ) (log 2 2n1 log 2 2n) n ，即数列bn是首项为 222 1 ，公差为1的等差数列. 2 n2 设数列(1) bn的

20、前n项和为Tn，则 T 2n (b 1 2b 2 2)(b 3 2b 4 2)(b 2 2 n1 b 2 2 n ) b 1 b 2 b 2n 考点：等差数列、等比数列及其前n项和 【结束】 （19） 2n(b 1 b 2n ) 2n2 2 x2y26 1（） 【答案】 （） 443 【解析】 试题分析： （）求椭圆标准方程，只需确定量，由 113c113c ，得 再利用 |OF |OA| FA|caa(a c) ， a2c2 b2 3，可解得c21，a2 4（）先化简条件：MOAMAO| MA| MO | ，即 M 再 OA 中垂线上，xM1 ，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求 B ；

21、利用两直线方程组求 H，最后 根据 BF HF，列等量关系解出直线斜率. 试题解析： （1）解：设F(c,0)，由 113c113c ，即 ，可得a2c2 3c2，又 |OF |OA| FA|caa(a c) 2 x2y2 1.a c b 3，所以c 1，因此a 4，所以椭圆的方程为 43 2222 （2）设直线的斜率为k(k 0)，则直线l的方程为y k(x2)， x 2y2 1, 设B(xB, yB)，由方程组 4消去y，3 y k(x2), 8k26 整理得(4k 3)x 16k x16k 12 0，解得x 2或x ， 4k23 2222 8k2612k 由题意得xB，从而，y B2 2

22、4k 34k 3 uuu ruuu r 94k212k ,)， 由（1）知F(1,0)，设H(0, yH)，有FH (1, yH)，BF ( 24k 3 4k23 uuu r uuu r 4k2912ky H 0， 由BF HF，得BFHF 0，所以 24k 34k23 94k2194k2 解得yH，因此直线MH的方程为y x ， k12k12k 194k2 20k29,y x 设M(xM, yM)，由方程组，k12k消去y，得xM 212(k 1) y k(x2), 在MAO中，MOAMAO| MA| MO |， 20k29 即(x M 2) y x y ，化简得xM1，即 1， 212(k

23、 1) 22 M 2 M 2 M 解得k 66 或k ， 44 所以直线l的斜率为k 66 或k . 44 考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 【结束】 （20） 【答案】 （）详见解析.（）详见解析（）详见解析 【解析】 试题分析：（） 先求函数的导数：f (x) 3x a ， 再根据导函数零点是否存在情况， 分类讨论： 当a 0 2 时，有f (x) 3x a 0恒成立，所以f (x)的单调增区间为(,).当a 0时，存在三个单调区间 2 （） 由题意得 f (x 0 ) 3x a 0 2 0即 2x 0 a f (x 1) f (x0 ) 3 ， 再由化简可得结论 （） 实质研究函

24、数g(x) 最大值：主要比较 f (1),f (1) ， | f ( 3a3a |,| f ()| 33 的大小即可，分三种情况研究当 a3时， 3a3a2 3a3a3a2 3a33 11 1 1 ， 当 a 3时， 当0 a 时， 33333344 1 2 3a2 3a 1. 33 32 试题解析： （1）解：由f (x) x axb，可得f (x) 3x a，下面分两种情况讨论： 当a 0时，有f (x) 3x a 0恒成立，所以f (x)的单调增区间为(,). 2 当a 0时，令f (x) 0，解得x 3a3a 或x . 33 当x变化时，f (x)、f (x)的变化情况如下表： x f (x) (, 3a ) 3 3a 3 ( 3a3a ,) 33 3a 3 0 极小值 ( 3a ,) 3 单调递增 0 极大值 单调递减 单调递增 f (x) 所以f (x)的单调递减区间为( 3a3a3a3a ,)，单调递增区间为(,).)，( 3333 （2）证明：因为f (x)存在极值点，所以由（1）知a 0且x0 0. 22 由题意得f (x 0 ) 3x 0 a 0，即x 0 a ， 3 3 进而f (x 0 ) x 0 ax 0 b 2a x 0 b， 3 8a2a 3 又f (2x 0 ) 8x 0 2ax 0 b