天津高考文科数学试卷及

1、20092009 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类）数学（文史类） 参考公式： 。如果事件 A，B 互相排斥，那么 P（AUB）=P（A）+P(B)。 。棱柱的体积公式 V=sh。其中 S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 1.i是虚数单位， 5i = 2i A1 2iB1 2iC1 2iD1 2i 5i5i(2i) 2i 1 2i(2i)(2i) 【答案】D 【解析】由已知， 【考点定位】本试题考查了复数的基本的除法运算。 x y 3 2.设变量 x,y 满足约束条件x y 1，则目标函数z 2x y的最小值为 2x y 3 A

2、6B7C 8D 23 【答案】B 【解析】由已知，先作出线性规划区域为一个三角形区域，得到三个交点（ 2，1）（1，2） （4，5），那么作一系列平行于直线2x 3y 0的平行直线，当过其中点（2，1）时，目 标函数最小。 【考点定位】本试题考查了线性规划的最优解的运用以及作图能力。 ”是“x x” 3设x R,则“x 1的 A充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 因为x x,解得x 0,1,1，显然条件的集合小，结论表示的集合大，由集合 的包含关系，我们不难得到结论。 【考点定位】 本试题考察了充分条件的判定以及一元高次方程的求解问题。

3、考查逻辑推理能 力。 3 3 x2y2 4设双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的虚轴长为 2，焦距为2 3，则双曲线的渐近线方 ab 程为（ ） A y 2x B y 2x C y 【答案】C 【解析】由已知得到b 1,c 3,a 21 x Dy x 22 c2b22，因为双曲线的焦点在 x 轴上，故 渐近线方程为y b2 x x a2 【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推 理能力。 5.设a log 1 2,b log 1 3,c ( ) 32 1 2 0.3，则 A abcB acbC bcaD bax2,x 下面的不等式在 R 内恒成立的 是

4、Af (x) 0Bf (x) 0Cf (x) xDf (x) x 【答案】A 【解析】由已知，首先令x 0，排除 B，D。然后结合已知条件排除C,得到 A 【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考 查了分析问题和解决问题的能力。 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分。把答案填写在题中的横线上。）分。把答案填写在题中的横线上。） 11. 如图，AA 1与BB1 相交与点 O, AB/ A 1B1且 AB 1，则A 1OB1 的外接圆直径为_. 【答案】2 【解析】 由正弦定理可以知道

5、， 1 A 1B1 ，若AOB得外接圆直径为 2 A BAB 2r 1,11 2R, A 1B1 2AB,所以A 1OB1 sinOsinO 的外接圆半径是AOB外接圆半径的二倍。 【考点定位】 本试题考查了正弦定理的运用。 以及三角形中外接圆半径与边角的关系式 运用。考察了同学们对于新问题的转化化归思想。 12. 如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3 3，则 a=_. 【答案】 3 【解析】 由已知正视图可以知道这个几何体是睡着的直三棱柱， 两个底面是等腰的三角 形，且底边为 2，等腰三角形的高位 a，侧棱长为 3，结合面积公式可以得到 V sh 1 2a3 3 3 ，解得 a= 3 2

6、 【考点定位】本试题考查了简单几何体的三视图的运用。培养同学们的空间想象能力 和基本的运算能力。 13. 设全集U A B x N | lg x 1， 若ACUB m | m 2n 1,n 0,1,2,3,4， * 则集合 B=_. 【答案】2，4，6，8 【解析】U A B 1,2,3,4,5,6,7,8,9ACUB 1,3,5,7,9B 2,4,6,8 【考点定位】本试题主要考查了集合的概念和基本的运算能力。 2222 14.若 圆x y 4与 圆x y 2ay 6 0(a 0) 的 公 共 弦 长 为2 3， 则 a=_. 【答案】1 【解析】 由已知， 两个圆的方程作差可以得到相交弦的

7、直线方程为y 1 ， 利用圆心 （0， a 1 | 2 2 a 0）到直线的距离 d为 2 31，解得 a=1 1 | 【考点定位】 本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。 考察 了同学们的运算能力和推理能力。 1 2 15. 若 等 边ABC的 边 长 为2 3， 平 面 内 一 点 M 满 足CM CBCA, 则 63 MAMB _. 【答案】-2 【解析】 合理建立直角坐标系， 因为三角形是正三角形， 故设C(0,0), A(2 3,0),B( 3,3) 3 3 13135 ,)，然后求得MA (,),MB (,)， 这样利用向量关系式，求得 M( 222222 运

8、用数量积公式解得为-2. 【考点定位】本试题考察了向量在解三角形中的几何运用。也体现了向量的代数化手段 的重要性。考查了基本知识的综合运用能力。 16.若关于 x 的不等式(2x 1) ax的解集中整数恰好有 3 个，则实数 a 的取值范围是 _. 【答案】( 22 25 49 ,) 916 22 【解析】因为不等式等价于(a 4)x 4x 1 0，其中(a 4)x 4x 1 0中 的 4a 0，且有4a 0，故0 a 4，不等式的解集为 1 2a x 1 2a ， 1111 则一定有 1，2，3 为所求的整数解集。所以3 4，解得a 的范 42a22a 围为( 25 49 ,) 916 【考

9、点定位】本试题考查含有参数的一元二次不等式的解集问题的运用。考查了分类 讨论思想以及逆向思维的能力。 三、解答题三、解答题 17. （本小题满分 12 分） 在ABC中，BC （）求 AB 的值。 （）求sin(2A 5, AC 3,sinC 2sin A 4 )的值。 【答案】 2 10 【 解 析 】 （ 1 ） 解 ： 在ABC中 ， 根 据 正 弦 定 理 ， ABBC ， 于 是 sinCsin A AB sinC BC 2BC 2 5 sin A AB2 AC2 BC2 （2）解：在ABC中，根据余弦定理，得cos A 2AB AC 于是sin A 1cos2A= 5 ， 5 从而

10、sin2A 2sin Acos A 43 ,cos2A cos2Asin2A 55 sin(2A 4 ) sin2Acos 4 cos2Asin 4 2 10 【考点定位】本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正 弦和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。 18. （本小题满分 12 分） 为了了解某工厂开展群众体育活动的情况， 拟采用分层抽样的方法从A，B,C 三个区中 抽取 7 个工厂进行调查，已知A,B，C 区中分别有 18，27，18 个工厂 （）求从 A,B,C 区中分别抽取的工厂个数； （）若从抽取的 7 个工厂中随机抽取 2 个进行调查结果的对比

11、，用列举法计算这 2 个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率。 【答案】(1) 2，3，2(2) 11 21 71 ， 639 【解析】 （1） 解：工厂总数为 18+27+18=63， 样本容量与总体中的个体数比为 所以从 A,B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2. （2）设A 1 , A 2 为在 A 区中抽得的 2 个工厂，B1,B2,B3为在 B 区中抽得的 3 个工厂， C 7 2C 1 ,C 2 为在 C 区中抽得的 2 个工厂， 这 7 个工厂中随机的抽取 2 个， 全部的可能结果有： 种 ， 随 机 的 抽 取 的2个 工 厂 至 少 有 一 个 来 自A区 的

12、结 果 有(A 1 , A 2 ) ， (A 1 ,B 2 ) (A 1 ,B 1 )(A 1 ,B 3 )(A 1,C2 ) (A 1 ,C 1 ),同理A 2 还能组合 5 种，一共有11 种。所以所 求的概率为 1111 221C 7 【考点定位】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事 件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力。 19.如图，在四棱锥P ABCD中，PD 平面ABCD，AD CD，且DB 平分ADC， E为PC的中点，AD CD 1, DB 2 2 （）证明PA/平面BDE （）证明AC 平面PBD （）求直线 BC 与平

13、面 PBD 所成的角的正切值 1 3 【解析】 证明：设AC BD H，连结 EH，在ADC中，因为 AD=CD，且 DB 平分ADC，所以 H 为 AC 的中点，又有题设，E 为 PC 的中点，故EH / PA,又 【答案】（1）略（2）略（3） HE 平面BDE,PA 平面BDE,所以PA/平面BDE （2）证明：因为PD 平面ABCD，AC 平面ABCD，所以PD AC 由（1）知，BD AC,PD BD D,故AC 平面PBD (3)解：由AC 平面PBD可知，BH 为 BC 在平面 PBD 内的射影，所以CBH为直 线与平面 PBD 所成的角。 由AD CD,AD CD 1,DB 2

14、 2,可得DH CH 在RtBHC中，tanCBH 为 23 2 ,BH 22 CH1 ,所以直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值 BH3 1 。 3 【考点定位】本小题主要考察直线与平面平行。直线和平面垂直。直线和平面所成的 角等基础知识，考察空间想象能力、运算能力和推理能力。 20.（本小题满分 12 分） n1 已知等差数列an的公差 d 不为 0，设S n a 1 a 2 q a n q T n a 1 a 2 q (1)n1a n qn1,q 0,n N* （）若q 1,a11,S 3 15 ,求数列an的通项公式； （）若a1 d,且S1,S 2 ,S 3 成等比数列，求

15、q 的值。 （）若q 1,证明（ 1q）S 2n 2dq(1q2n) *(1 q)T 2n ,n N 21q 【答案】（1）an 4n 3（2）q 2（3）略 2 【解析】 （1）解：由题设，S 3 a 1 (a 1 d)q (a 1 2d)q ,将q 1,a 1 1,S 3 15 代入解得d 4，所以an 4n 3n N * 2 （2）解：当a1 d,S1 d,S 2 d 2dq,S 3 d 2dq 3dq , S 1 ,S 2 ,S 3 成等比数列， （d 2dq） d（d 2dq 3dq )，注意到d 0，整理得q 2 所以S 2 S 1S3 ，即 n1 （3）证明：由题设，可得bn q

16、，则 2 22 S 2n a 1 a 2 q a 3q 2 a 2n q2n1 T 2n a 1 a 2 q a 3q 2 a 2n q2n1 -得， S 2n T 2n 2(a 2 q a 4 q3 a 2n q2n1) +得， S 2n T 2n 2(a 1q a3q 2 a 2n1q 2n2) 22n2) 式两边同乘以 q，得q(S 2n T 2n ) 2(a 1q a3q a2n1q 所以(1q)S 2n (1 q)T 2n 2d(q q q 32n1 2dq(1q2n) ) 21q （3）证明：c1c2 (ak 1 a l1 )b 1 (a k2 a l2 )b 2 (a kn a

17、ln )b n 1 n1 =(k1l1)db1 (k 2 l 2 )db 1q (kn l n )db 1q 因为d 0,b1 0，所以 c 1 c 2 (k 1 l 1 ) (k 2 l 2 )q (k n l n )qn1 db 1 若k n l n ，取 i=n， 若k n l n ，取 i 满足ki li，且k j l j ，i 1 j n 由（1）（2）及题设知，1 i n，且 c 1 c 2 (k 1 l 1 ) (k 2 l 2 )q (k n l n )qn1 db 1 当ki li时，kili 1，由q n，kili q 1,i 1,2 ,i 1 i2i2 即k1l1 q 1

18、，(k 2 l 2 )q q(q 1),(k i1 l i1 )q q(q 1) 所以 c 1 c 2 1qi1 i2i1 (q 1)(q 1)q (q 1)qq (q 1)qi1 1 db 1 1q 因此c1c2 0 当ki li时，同理可得 综上，c1 c2 c 1 c 2 1,因此c 1 c 2 0 db 1 【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n 项和 等基本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。 21. （本小题满分 12 分） 设函数f (x) 1 3x x2(m21)x,(xR,)其中m 0 3 ，f（1 ） （）当m 1时，曲

19、线y f (x)在点（1处的切线斜率 （）求函数的单调区间与极值； （）已知函数f (x)有三个互不相同的零点0，x1,x2，且x1 x2。若对任意的 xx 1 ,x 2 ，f (x) f (1)恒成立，求 m 的取值范围。 【答案】（1）1（2）f (x)在(,1 m)和(1 m,)内减函数，在(1 m,1 m)内 增函数。函数f (x)在x 1 m处取得极大值f (1 m)，且f (1 m)= 2 3 1 m m2 33 2 3 1 2 函数f (x)在x 1m处取得极小值f (1 m)，且f (1 m)= m m 33 1 32/2 【解析】解：当m 1时，f (x) x x , f (

20、x) x 2x,故f (1) 1 3 ，f（1 ） 所以曲线y f (x)在点（1处的切线斜率为 1. （2）解：f (x) x 2x m 1，令f (x) 0，得到x 1 m,x 1 m 因为m 0,所以1 m 1 m 22 当 x 变化时，f (x), f (x)的变化情况如下表： x (,1 m) + 1 m 0 (1 m,1 m) - 1 m 0 (1 m,) + f(x) f (x) 极小值极大值 f (x)在(,1 m)和(1 m,)内减函数，在(1 m,1 m)内增函数。 2 3 1 m m2 33 2 3 1 2 函数f (x)在x 1m处取得极小值f (1 m)，且f (1

21、m)= m m 33 1 2 1 2 （3）解：由题设， f (x) x(x x m 1) x(x x 1 )(x x 2 ) 33 1 22 所以方程 x xm 1=0 由两个相异的实根x 1 ,x 2 ，故x1 x2 3，且 3 411 1(m21) 0，解得m (舍)，m 322 3 因为x1 x2,所以2x2 x1 x2 3,故x2 1 2 1 若x11 x2,则f (1) (1 x 1 )(1 x 2 ) 0，而f (x 1 ) 0，不合题意 3 函数f (x)在x 1 m处取得极大值f (1 m)，且f (1 m)= 若1 x1 x2,则对任意的xx1,x2有x x1 0,x x2

22、 0, 1 所以函数f (x)在xx1,x2的最 x(x x 1 )(x x 2 ) 0又f (x 1 ) 0， 3 1 2 小值为 0， 于是对任意的xx1,x2，f (x) f (1)恒成立的充要条件是f (1) m 0, 3 则f (x) 解得 33 m 33 综上，m 的取值范围是( , 13 ) 23 【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的 关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。 22. （本小题满分 14 分） x2y2 已知椭圆 2 2 1（a b 0）的两个焦点分别为F 1 (c,0),F 2 (c,0)(c 0)，过点 ab a2 E(,0)的直线与椭圆相交于点A,B 两点，且F 1 A/ F 2 B,| F 1 A| 2| F 2 B | c （求椭圆的离心率 （）直线 AB 的斜率； （） 设点 C 与点 A 关于坐标原点对称， 直线F2B上有一点 H(m,n)(m 0)在AF 1C 的外接圆上，求 n 的值。 m c32n2 2 （2）k （3） a33m5 | EF 2 | F 2 B |1 ,从而 | EF 1 | F 1 A|2 【答案】（1）e 【解析】 （1）解：由F 1 A/ F 2 B,| F