2018年高中数学 复习课(一)导数及其应用学案 新人教A版选修2-2

1、复习课(一)导函数及其应用(部分)导函数概念与几何意义的应用(1)在近年来的高等院校考试中，导函数的几何意义和切线问题是经常性的考试内容，可能会出现各种各样的题型(2)在利用导函数的几何学意义求切线方程式时，重要的是，被赋予的点在切点明确有木有(1)求出接点A(x0，f(x0) )求出的斜率k、即该点处的导函数值： k=f(x0)；(2)知道倾斜率k，求出接点A(x1，f(x1) )、即解方程f(x1)=k。(3)在将已知的某点M(x1，f(x1) ) (不是接点)的切线梯度设为k的情况下，设定接点A(x0，f(x0) )，大多用k=求出。已知典型例 (全国卷ii)f(x )是偶函数，在x0时

2、，如果f(x)=e-x-1-x，则曲线y=f(x )在点(1)处。假设分析x0，则-x0，f(-x)=ex-1 x。f(x )是偶函数，f(-x)=f(x )，f(x)=ex-1 x。在x0的情况下，f(x )=ex-11，f(1)=e1-1 1=1 1=2。曲线y=f(x )的点(1，2 )处的切线方程式是y-2=2(x-1 )，即2x-y=0。解答 2x-y=0类题通法(1)利用导函数的几何学意义解决切线问题的两种情况已知点是接点，该点的切线的斜率是该点的导函数.如果已知的点不是接点，应先引出接点，再用两点点画线的斜率式求解(2)曲线与直线相接的点不一定只有一个共同点，例如，在y=x3的(

3、1，1 )处的切线l和y=x3的图像中还有一个升交点(-2，-8)。1 .曲线y=点(-1，-1)处的切线方程式为()A.y=2x 1 B.y=2x-1C.y=-2x-3 D.y=-2x-2分析： ay=，k=y| x=-1=2，切线方程式是y 1=2(x 1)，即y=2x 1。2 .如果发现在点(1，1 )处的曲线y=x ln x的切线与曲线y=ax2 (a 2)x 1相邻，则a=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

4、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _分析： y=x ln x、y=1，y=2。曲线y=x ln x的点(1，1 )的切线方程式y-1=2(x-1 )，即y=2x-1。法1:y=2x-1相当于曲线y=ax2 (a 2)x 1。a0(a=0时，曲线为y=2x 1，与已知的直线平行)。由删除y，得到ax2 ax 2=0。由于=a2-8a=0，所以解为a=8。设法y=2x-1和曲线y=ax2 (a 2)x 1相当于点(x0，ax (a 2)x0 1 )。y=2ax (a 2)，y=2ax0 (a 2)。从解中得到回答： 8单调性导函数和函数(1)题型有选择题、填空题和解答题，如果以选择

5、题、填空题的形式出现，难度以中、低级为主，如果以解答题的形式出现，难度以中偏上为主，主要调查函数单调区间、证明或判断函数的单调性等问题。(2)在利用导函数讨论函数单调的区间的情况下，只能先确定函数的定义域，在解决问题的过程中，在定义域内，通过讨论导函数的符号来判断函数单调的区间。特别是要注意写单调的区间时，区间之间用“和”或“，”分隔，绝对不能用“|”连接起来。函数的单调性与导函数值的关系如果函数f(x )能够在(a，b )内导出，则f(x )在(a，b )任意的子区间内不总是等于0 .f(x ) 0函数f(x )在(a，b )上单调增加。f(x ) 0函数f(x )在(a，b )中单调减少。

6、相反，函数f(x )在(a，b )上单调增加f(x )0。 函数f(x )在(a，b )中单调减少f(x )0 .即f(x ) 0(f(x ) 0)中f(x )增加()已知函数f(x)=x b(x0 )，其中a、b-r是已知的。(1)如果曲线y=f(x )在点P(2，f(2) )处的切线方程式是y=3x 1，那么求出函数f(x )的解析式。(2)探讨函数f(x )的单调性，求出单调区间。解f(x)=1-。(1)从导函数的几何意义来看，f(2)=3，即1-=3，a=-8。从切点P(2，f(2) )到直线y=3x 1上，如果f(2)=32 1=7，则等于-2 b=7，解等于b=9。函数f(x )的

7、解析式是f(x)=x- 9(x0 )。(2)在a0的情况下，显然是f(x ) 0(x0 )。此时f(x )为(-，0 )，(0，)的关增函数词。在a0的情况下，可以根据f(x )=0获得x=。在x的情况下，f(x ) 0；在-x0或0x 的情况下，则为f(x ) 0。f(x )是(-、-、()的增函数，在(0，-，0 )中是减函数。类题通法求函数单调区间的方法步骤(1)确定函数f(x )的定义域。(2)校正函数f(x )的导函数f(x )。(3)求解不等式f(x ) 0，得到函数f(x )的增加区间。 求解不等式f(x ) 0，得到函数f(x )的递减区间。注意求函数单调区间必须决定函数定义域

8、，由于忽略函数定义域经常导致错误假设函数f(x )=x23 x-4，则y=f(x 1)的单调递减区间是分析：为了从f(x)=x2 3x-4求解f(x)0，即x2 3x-40，-4x1，函数f回答： (-5，0 )2 .已知函数f(x)=-x2 2x-aex。如果(1)a=1，则求出f(x )在x=1处的切线方程式。(2)如果2)f(x )在r以上为增函数，则求出实数a能够取值的范围。解： (1)a=1时，f(x)=-x2 2x-exf(1)=-12 21-e=-e，f(x)=-x 2-ex，f(1)=-1 2-e=1-e，曲线y=f(x )在x=1处的切线方程式是y-=(1-e)(x-1 )，

9、即y=(1-e)x。(2)f(x )在r上是增加函数，f(x )0在r上总是上升，f(x)=-x2 2x-aex，f(x)=-x 2-aex，不等式-x 2-aex0在r上始终成立，即a在r上始终成立，g(x)=、g(x)=、设g(x )=0，则解为x=3，列表如下。x(-，3 )3(3，)g(x )-0g(x )计算机减法极小值-增加因此，函数g(x )取作为x=3的极小值的最小值即g(x)min=-且a-，即，实数a的可取值的范围为导函数和函数的极端值，最大值从高考运用情况来看，利用导函数研究函数的极端值、最大值是导函数应用的核心部分，每年都有高考，多以解答问题形式进行考察，难度相对较大1

10、 .导函数与函数的单调性、极端值的关系(1)f(x)0在(a，b )中成立，f(x )是在(a，b )中单调增加的一盏茶的不必要条件。(2)对于导函数f(x )，f(x0)=0是其中函数f(x )具有x=x0的极端值的必要且不可一盏茶的条件。2 .使用导函数求函数的极端值要留心到3点(1)求单调区间时先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则在f(x0 )=0的情况下，x0不一定是极值点。(3)求最大值时，注意极值点和给定区间的关系，关系不确定时分类讨论典型示例已知函数f(x)=ax3 bx c在点x=2处取极端值c-16。(1)求出a、b的值如果f(x )具有极大值28，则获得在-3，3 处的f

11、(x )的最小值。因为(1)f(x)=ax3 bx c，所以，故f(x )=3a x2b。由于f(x )在点x=2取极端值c-16，故有即简化可以解开从(1)得知的f(x)=x3-12x c。f(x)=3x2-12=3(x-2)(x 2)。假设f(x )=0，则x1=-2，x2=2。在x(-、-2)的情况下为f(x)0，因此，f(x )在(-、-2)上成为增函数在x-(2，2，2 )的情况下为f(x)0，因此，f(x )在(-2，2 )上是减函数在x(2，)的情况下，为f(x)0，因此，f(x )以(2，)成为增函数.因此，f(x )在x=-2处取极大值f(-2)=16 c，f(x )以x=2

12、取极小值f(2)=c-16。根据问题设定条件知道16 c=28，求出c=12。此时f(-3)=9 c=21，f(3)=-9 c=3，f(2)=-16 c=-4，因此，f(x )在-3，3 处的最小值为f(2)=-4。类题通法1 .计算函数的极端值的方法(1)确定函数的定义区间，然后获得导函数f(x )。(2)求方程式f(x )=0的根。(3)在函数的导函数为0的点，将函数的定义区间按顺序分成几个小的开区间进行表排列，调查f(x )方程式的根的左右值的符号，如果是左正右负，则f(x )在该根取极大值，如果是左负右正，则f(x )在该根取极小值，左右不改变符号2 .求函数最大值的方法求(1)f(x

13、 )的(a，b )内的极端值。(2)将f(x )的各个极端值与f(a )和f(b )进行比较，获得函数f(x )在a，b上的最大值。1 .已知函数f(x)=x-aln x(aR )获得函数的极端值整。解： f(x)=1-=，x0。(1)在a0的情况下，f(x ) 0，函数f(x )是(0，)上的增加函数，函数f(x )没有值。(2)在a 0的情况下，从f(x )=0中，解除x=a。另外，在x(0，a )的情况下为f(x ) 0；在x(a，)的情况下，为f(x)0，函数f(x )在x=a时取极小值，且极小值为f(a)=a-aln a，没有大的值。根据以上所述，在a0的情况下，函数f(x )没有值

14、。 a0时，函数f(x )在x=a时取极小值a-aln a，没有大的值。2 .已知函数f(x)=(x1 )，(1)尝试函数f(x )的单调性，说明理由(2)如果2)f(x)始终成立，则求实数k的可取值的范围。解： (1)f(x)=-，x1，ln x0，f(x )0。因此函数f(x )在1，上单调减少。(2)x1，f(x)k，g(x)=、g(x)=。假设h(x)=x-ln x，则h(x)=1-。如果x1，则h(x )0，h(x )以1，)单调增加。从h (x ) min=h (1)=10、g(x)0开始，g(x )在1，)上单调增加，最小值=g (1)=2，k2。因此，实数k的可能值的范围为(-

15、，2 )。生活中的最优化问题最优化问题是导函数在实际生活中的应用之一，表现在高考中，既可以以小题大做的形式查，也可以以问题的形式查，难度中较低的阶段查(一)解决最优化问题的方案；分析问题中各数量之间的关系，建构适当的函数模型，确定函数的定义域通过研究相应函数的性质，如单调性、极端值和最大值，提出优化方案，在解决问题的过程中，导函数是有势力的工具(2)求实际问题的最大(小)值时，必须从问题的实际意义考虑，不符合实际意义的值必须舍去(3)在实际的问题中，如果能够判断为从f(x )=0始终只能得到1个，并且在x的变化区间内能够得到函数的最大(小)值，则是能够求出其根处的函数值的最大(小)值。典型例某

16、村计划建设无盖圆柱形贮水池(无厚度)，该贮水池底面半径为r米，高度为h米，体积为v立方分米。 建设成本只涉及表面积，侧面的建设成本为100元/平方米，底面的建设成本为160元/平方米，该贮水池的总建设成本为(1)设v表为r的函数V(r )，求出该函数的定义域。(2)研究函数V(r )的单调性，确定r和h是什么样的值使该贮水池的体积最大(1)贮水池侧面的总成本为1002rh=200rh (元)，底面的总成本为160r2元，贮水池的总成本为(200rh 160r2 )元。另外标题是200rh 160r2=12 000，在h=(300-4r2)时，V(r)=r2h=(300r-4r3)。因为r0，所

17、以从h0得到r5。因此，函数V(r )的定义域是(0，5 )。因为(V(r)=(300r-4r3)，v(r)=(300-12r2)。设v(r)=0，解r1=5、r2=-5 (因为r2=-5不在定义域内，所以舍弃)。在r-(0，5，5 )的情况下为v(r ) 0，因此，V(r )为(0，5 )且为增函数在r-(5，5 )的情况下，v(r ) 0，因此，V(r )在(5，5 )处为减函数.由此可知，V(r )在r=5时取最大值，此时h=8。即，在r=5、h=8时，该贮水池的体积为最大。类题通法利用导函数求实际问题最大(小)值的常用方法(1)分析实际问题中各量之间的关系，正确设定用于获得最大值或最小值的变量y和变量x，将实际问题转换为数学题，即，函数关系y=f(x )，并且根据该实际问题来确定y=f(x )的定义域(2)求方程式f(x )=0的所有实数根。(3)比较各根与区间端点处的导函数的函数值的大小，根据实际问题的意义决定函数的最大值或最小值.1 .书店预计每年销售15万本书，想订购几次。 每份订单手续费30元，每存一千本书库存费40元。 然后，假设