2018年高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.1 平面向量的概念及线性运算学案 理

1、5.1平面向量的概念和线性运算考试报告1。了解向量的实际背景。2.理解平面向量的概念和两个向量相等的含义。3.理解向量的几何表示。4.掌握矢量加法和减法运算，理解它们的几何意义。5.掌握向量数乘法的运算及其几何意义，理解两个向量共线性的含义。6.理解向量线性运算的性质和几何意义。测试点1的平面向量的一些概念向量的一些概念(1)向量：既有大小又有_ _ _ _ _ _ _ _的量称为向量，向量的大小称为向量的_ _ _ _ _ _ _ _。(2)零矢量：长度为_ _ _ _ _ _ _ _的矢量，其方向是任意的。(3)单位向量：长度等于_ _ _ _ _ _ _ _ _的向量。(4)平行矢量：方

2、向相同或_ _ _ _ _ _的非零矢量，也称为共线矢量。规定0与任何矢量共线。(5)等矢量：长度和方向等的矢量。(6)反向矢量：长度和方向相等的矢量。回答：(1)方向模块(2)0 (3)1单元(4)相对(5)相同(6)相对对向量概念的误解：等向量；共线矢量。(1)如果四边形ABCD满足=，那么四边形ABCD的形状是_ _ _ _ _ _ _ _。答案：平行四边形分析：=表示ADBC，AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形。(2)如果四边形ABCD满足=k (k0，k1)，则四边形ABCD的形状为_ _ _ _ _ _ _ _。答案：梯形解析：=k (k0，k1)表示ADBC，但AD和BC

3、不相等，所以四边形ABCD为梯形。标题1 (1)给出了以下命题：如果| a |=| b |，则a=b；如果A、B、C、D是四个不共线的点，则“=”是“四边形ABCD是平行四边形”的一个充要条件；如果a=b，b=c，那么a=c；如果ab，bc，那么ac .正确命题的序号是()A.bC.d回答答分析 不正确。两个向量长度相等，但它们的方向不一定相同。正确。=， | |=| |和。a、b、c和d是四个不共线的点。四边形ABCD是平行四边形；相反，如果四边形ABCD是平行四边形，那么| |=| |，和方向是相同的，所以=。正确。* a=b，a，b具有相同的长度和相同的方向。b=c，b，c有相同的长度和

4、相同的方向。a和c在长度和方向上相等，所以A=C .不正确。当b=0时，a和c可能不平行。综上所述，正确命题的序号为 。(2)给出以下命题：(1)具有公共端点的两个向量必须是共线向量；(2)两个向量在大小上不能比较，但它们的模在大小上可以比较；如果 A=0 (是实数)，必须为零；已知和是实数。如果 A= B，那么A和B共线。错误命题的数量是()A.1 B.2C.3 D.4答案 C分析 1错误。两个向量的共线性取决于它们的方向，而不是起点和终点；正确。因为向量既有大小又有方向，所以它们不能比较大小，但是它们的模数是实数，所以它们可以比较大小。错误。当a=0时，无论值如何，a=0；错误。当=0，

5、a= b时，此时a和b可以是任意矢量。1.相等向量是可传递的，非零向量的并行是可传递的。2.共线矢量是平行矢量，与起点无关。3.向量可以被转换，转换后的向量等于原始向量。解决问题时，不要把它和函数图像的运动混淆。4.非零向量A与：它是A方向上的单位向量之间的关系.测试点2向量的线性运算向量的线性运算矢量操作定义统治(或少数什么意思)算术定律添加求两个向量之和的运算交换法：a b=_ _ _ _ _ _ _ _组合法则：(a b) c=a (_ _ _ _ _ _ _)减法求A和B-B的相反向量之和的运算a-b=a+(_)数字乘法实数与向量A乘积的运算| a |=| | | a |，当 0时，a

6、和a的方向是_ _ _ _ _ _ _ _ _；当 0时，a和A的方向是_ _ _ _ _；当=0时，a=0( a)=(_ _ _ _ _ _)a；(+)a=_ _ _ _ _ _ _ _；(a+b)=_答：B AB C-B相同，但 相反a+a a+b(1)向量和公式()简化后等于_ _ _ _ _ _ _ _。回答：分析：原始公式=。(2)课本练习适应如果你知道三角形ABC，用和表示BC边上的中心线向量，然后=_ _ _ _ _ _ _。回答：标题2 (1)2017广东惠州高中第二模型如图所示，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的三等分点，那么=()A.- B.+C.+d-答案

7、 D解析在CEF中，有=。因为点E是DC的中点。因为f点是BC的三分之一，So=。所以=-，所以选择d .(2)2017辽宁沈阳模拟已知ABC和M点满足=0。如果有一个实数M使=M成立，那么M=()A.2 B.3C.4 D.5回答乙分辨率从=0开始，点m是ABC的重心。将点d设定为底部BC的中点。然后=()=()，所以=3，所以m=3。向量线性运算的解题策略(1)常用的规则有平行四边形规则和三角形规则。一般来说，平行四边形法则用于具有公共起点的向量求和，三角形法则用于差分计算，三角形法则用于首尾相连的向量求和。(2)找出图中的等矢量和共线矢量，将得到的矢量和已知矢量转化为同一个平行四边形或三角

8、形。(3)用几个基本向量表达向量问题的基本技巧：观察每个向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)利用规则寻找关系；简化结果。共线矢量定理在测试点3中的应用共线向量定理向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一的实数，因此b=_ _ _ _ _ _ _ _ _。答：答处理向量问题的常见错误：忽略零向量；结论的滥用。(1)如果a和b是共线矢量，b和c是共线矢量，则a和c之间的关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。回答：共线矢量还是非共线矢量分析：如果B=0，那么A和C不一定是共线矢量；如果B是非零向量，那么A和C是共线向量。注意：当处理向量问题时，不要忽略零向量。(2

9、)给定两个向量A和B，如果| A |a|=1和| B |b|=2，那么| A | B |的范围是_ _ _ _ _ _。答案：1，3分析：当方向A和B相同时，有| A | B |=3；当A和B的方向相反时，| A | B |=1；当A和B不共线时，1 | A B | 3。因此，| A B |的范围是1，3。注意：一般来说，| a b |=| a | | b |不是真的。关于向量的几个结论：三点共线；向量的中线公式；三角形重心的矢量表示。(1)当且仅当对于不在直线AB上的任意点o有实数t时，A、b和c共线，因此=t _ _ _ _ _ _ _ _ _。回答：1-t解析：根据共线向量定理，点A、点

10、B、点C共线的充要条件是有一个实数T，使得=T，即，-T=(-)，即=T (1-T)。(2)ABC，其中D是BC的中点，然后=()，然后=_ _ _ _ _ _。回答：分析：通过=，=，获得2=(+)+(+)。+=0,=(+).标题3让两个非零向量不共线。(1)如果=a b，=2a 8b，=3 (a-b)，验证a、b和d共线；(2)尝试确定实数k，使ka b和a kb共线。(1)证明因为=a b，=2a 8b，=3 (a-b)、So=2a 8b 3 (a-b)=5(a+b)=5，所以，共线。并且具有公共点b，因此，甲、乙、丁共线。(2)因为ka b和a kb是共线的，因此，有一个实数，所以ka

11、 b= (a kb)。也就是说，解是k=1。也就是说，当k=1时，ka b和a kb共线。主题发散1如果本例(1)中的“=2a 8b”更改为“=a MB”，当m为值时，a、b和d共线？解决方案：=(a兆字节)3 (a-b)=4a (m-3) b，如果A、B和D共线，则有一个实数，使得=，即4a (m-3) b= (a b)。因此，解是m=7。因此，当m=7时，a、b和d共线。主题发散2如果本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，k值是多少？解决方案：因为ka b和a kb是反向共线的，因此，有一个实数，所以ka b= (a kb) ( 0)。也就是说，解是k=1。0，k=，所以k=-1。因此，

12、当k=-1时，两个矢量反向共线。1.证明了三点共线性问题可以通过向量的共线性来解决，但要注意向量的共线性与三点共线性的区别和联系。只有当两个向量共线且有公共点时，才能得到三个点的共线性。2.向量A和B的共线性意味着实数1和2不都为零，因此 1a 2b=0成立；如果 1a 2b=0，当且仅当 1= 2=0，那么向量a和b不共线。1.众所周知，矢量a和b不共线，c= a b，d=a (2-1) b。如果c和d在同一方向，那么实数=_ _ _ _ _ _ _。回答：1分析：因为c和d在同一个方向，c=KD (k 0)，那么 a b=k a (2-1) b，成品 a b=ka (2 k-k) B .因

13、为甲和乙不共线，所以有2 2-1=0，因此=1或=-。k 0，所以 0，所以=1。2.众所周知，A和B是两个不共线的非零向量，A和B的起点是相同的。如果A、tb和(A B)的端点在同一条线上，则T=_ _ _ _ _ _ _ _。回答：分析：A，tb，(A B)三个矢量的端点在同一条直线上，A和B的起点相同。 a-TB与a-(a b)共线，也就是说，结核分枝杆菌与结核分枝杆菌共线，有一个实数，所以a-TB=，解决方案也就是说，当t=时，三个向量a、tb和(a b)的端点在同一条直线上。方法和技巧 1。矢量加法的三角法则元素是“首尾相连，指向终点”；向量减法的三角法则元素是“起点重合，指向被减向

14、量”；平行四边形法则的基本要素是“起点重合”。2.对于平面上不共线且满足=x y (x，yR)的任意点o，p、a和b共线，x y=1。易出错预防 1。要解决向量的概念问题，必须注意两点：第一，不仅要考虑向量的大小，更重要的是，要考虑向量的方向；其次，考虑零矢量是否也满足条件，并特别注意零矢量的特殊性。2.使用向量减法时，很容易把两个向量的顺序弄错，从而得到向量的相反向量，这就导致了误差。振体训练1.2015新课程标准第一册设D为ABC所在平面上的一个点，=3，则()A.=-+B.=-C.=+D.=-答：答解析：=(-)=-=-。所以选择一个.2.2014新课标第一册设D、E、F为ABC三边BC

15、、CA、AB的中点，然后=()A.B.C.D.答：分辨率：=()=()=，所以选择A .3.2014新课标第一册众所周知，A、B、C是O圆上的三个点，如果=()，它们之间的夹角为_ _ _ _ _ _。回答：90解析：=()，点o是ABC的边BC的中点，BC是直径，根据圆的几何性质，它等于90。课后拓展阅读专题平面向量与三角形问题的综合例1已知p是ABC中的一个点，PBC的面积是2 015，所以PAB的面积是_ _ _ _ _ _ _ _。思路分析 PBC、PAB和ABC分别位于BC和AB的底部。在平面几何知识的基础上，将同一底面上三角形的面积比转化为同一底面上相应的高度比，即可得到面积关系，

16、进而计算出PAB的面积。解析让s ABC=s，s PBC=S1=2 015，s PAB=S2。解决方案1:(适当切入，突破“三点共线”)如图所示，将AP交叉BC扩展到d，并从平面几何知识中得到。它可以由共线的三个点A，P和d得到=+(R)。通过共线的三个点，我们可以得到=+(1-)(R)。同时和有一个解决方案然后=，=-=，然后=，所以s=S1。同样，通过将CP和AB扩展到E，我们可以得到=，所以S2=S .那么S2=s=S1=S1=2 015=2 821。解决方案2:(巧妙的构造，领先的矢量“投影”胜出)如图所示，构造单位向量e(其中e),则单位向量e方向上的投影长度|e|和|e|分别是PB

17、C和ABC的公共底部的高度。那么s=| | | e=| | | e | | | cos u e ,|=| | | | sinABC；因为=+(+)=+，所以S1=| |=|=|=| | | cos u e ,|=S。设我是垂直于向量的单位向量，同样，S2=S .那么S2=s=S1=S1=2 015=2 821。解答3:(归类为变换，手拉手三角形“重心”巧妙解答)通过=，你可以得到5 6 7=0。Make=5，=6，=7，如图所示，连接AB ，BC 和CA 。So=0。也就是说，p是abc的重心，spab=sPbc，根据已知条件，我们得到S1=| | | |辛BPC=sinBPC=SPBC，因此，sPbc=42 S1，同样，也可以得到spab=30 S2。所以S2=S1=2 821。请填写