2018年高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积学案 理

1、5.3平面向量的数量积1.理解平面矢量积的意义和物理意义。2.理解平面向量的数积与向量投影的关系。3.掌握了量积的坐标表达式，就可以进行平面向量的量积运算。4.两个矢量之间的角度可以用数量积来表示，两个平面矢量之间的垂直关系可以用数量积来判断。测试点1平面向量的数量积运算1.平面矢量积的相关概念(1)矢量角：如果已知两个非零矢量a和b，记住=a和=b，那么AOB=(0180)称为矢量a和b之间的角.(2)量积的定义：如果已知两个非零矢量A和B，它们的夹角为，_ _ _ _ _ _称为A和B的量积(或内积)，标为ab，即AB=_ _ _ _ _ _，规定零矢量与任意矢量的量积为0，即0A=0。(

2、3)数量积的几何意义：数量积ab等于A |a|的长度与B在A方向上的投影之积.回答：(2)|a|b|cos |a|b|cos (3)|b|cos 2.平面向量乘积的算术定律(1) ab=ba(交换定律)。(2) ab= (ab)=a ( b)(关联定律)。(3) (a b) c=_ _ _ _(分配法)。回答：(3)空调BC(1)课本练习改编中ABC，0，那么ABC就是一个三角形。回答：钝角分析：根据矢量角的定义，如果和之间的角是-b，那么=| | | | cos (-b) 0。得到cos (-b) 0， cos(-B)0，也就是说，角b是钝角，ABC是钝角三角形。(2)在ABCD，AB=4，

3、BC=2，ABC=60，然后=_ _ _ _ _ _。回答：-4分析：在平行四边形ABCD中，=，差=180-ABC=120，=|cosBAD=42cos 120=-4。与平面矢量的数量积有关的易出错点：投影；矢量夹角；运作法则。下列陈述是正确的_ _ _ _ _ _ _ _ _。(1)矢量b在矢量a方向上的投影是矢量；如果AB 0，则A和B之间的夹角为锐角；如果ab 0，a和b之间的角度是钝角；(ab)c=a(BC)；如果ab=0，则a=0或b=0。回答：0分析：向量B在方向A上的投影是一个量，它是|b|cos ，可以是正的、负的或0； AB 0不等于A和B之间的锐角，AB 0也包括A和B在

4、同一方向的情况。同样，AB 0不仅包括A和B之间的钝角，还包括A和B相反的情况；因为(ab)c代表一个与c共线的向量，a(bc)代表一个与a共线的向量，但a和c不一定共线，所以(ab)c和a(bc)不一定相等，所以量积运算不适合于结合律，即(ab)ca(BC)； ab=0 | a | | b | cos =0 | a |=0或| b |=0或cos =0。因此，如果ab=0，那么a=0或b=0或 B .标题1 (1)2017四川成都模拟在ABC中，点M位于线段AC上，点P位于线段BM上，且满足=2。如果| |=2，| |=3， BAC=90，则=()a . 1b-C.d .回答乙解析从主题开始

5、，=-，=-=-，=+=+=+，=(-)=-2+2-=-+2=-。(2)2017安徽合肥统考已知|甲|甲|=1，|乙|乙|=2，甲和乙的夹角为60，那么甲和乙在甲上的投影为_ _ _ _ _ _。答案 2分辨率| a b | 2=a2 B2 2ab=1 4 212=7，|a+b|=，cosa+b,a=.a b在a上的投影是| a b | cos =2。矢量积的两种计算方法方法使用技巧适用的问题类型定义方法当向量的模和夹角已知时，可用定义法求解，即AB=| A |b|cos 适用于平面图形中矢量积的计算坐标法当向量的坐标已知时，可以用坐标法求解，即如果A=(X1，y1)，B=(X2，y2)，那么

6、AB=X1X2，Y1Y2它适用于求解已知对应向量坐标的数量积的计算问题众所周知，正方形ABCD的边长是1，点E是AB边上的移动点，所以它的值是_ _ _ _ _ _ _ _；的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _。回答：1 1分析：解决方案1:如图所示，=(+)=+=2=1。=(+)=+=| | | | 2=1。方法二：建立一个以ab线和AD线为x轴和y轴正方向的平面直角坐标系，然后是甲(0，0)，乙(1，0)，丙(1，1)，丁(0，1)，让E(t，0)，t0，1，然后=(t，-1)，=(0，-1)，=(t,-1)(0,-1)=1.=(1，0)，=(t,-1)(1,0)=t1，因此，最大值为

7、1。解决方案3:从图中可以看出，无论点E位于何处，方向上的投影都是CB=1。=|1=1.当e移动到b点时，该方向的最大投影为| |=1。()max=|1=1.测试点2的平面矢量积的性质平面矢量积的性质及其坐标表示假设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，是向量a和b之间的角度。(1)产品数量：ab=| a | | b | cos =_ _ _ _ _ _ _。(2)模量：| a |=_ _ _ _ _ _ _。(3)夹角：cos =。(4)两个非零向量ab: AB=0的充要条件。(5)|ab|a|b|(当且仅当ab，等号成立)| x1x2 y1y2 | 。回答：(1) X1X2 Y1Y2

8、 (2)(4)x1x2+y1y2=0(1)课本练习改编如果已知| a |a|=2，| b |b|=4且ab=4，则a和b之间的夹角=_ _ _ _ _ _。回答：30(2)课本练习适应众所周知，A=(1，2)和B=(3，4)。如果一个千字节和一个千字节相互垂直，那么实数K=_ _ _ _ _ _ _。回答：平面向量标量积的一般结论。(1)对于任意向量a和b，(a b) (a-b)=_ _ _ _ _ _。(2)对于任意向量a和b，(a b) 2=_ _ _ _ _ _ _ _。(3)如果两个向量A和B之间的角度是一个锐角，那么就有AB _ _ _ _ _ _ _ _ _ 0。(4)如果两个向量

9、A和B之间的角度是钝角，那么就有AB _ _ _ _ _ _ _ _ _ 0。回答：(1) A2-B2 (2) A2 2AB B2 (3) (4)【聚焦考试情境】平面向量的角度和模数问题是高考中常见的考试内容。大多数问题是选择题和填空题，难度适中，属于中级题。主要有以下主张：角度一平面向量模标题2(1)浙江卷2015已知e1和e 2是平面单位向量，e1e2=。如果平面向量B满足BE1=BE2=1，那么| B |=_ _ _ _ _ _ _。回答分辨率* E1 E2=， |e1|e2|cose1,e2=, e1，E260。并且be1=be2=10，b，E1=30。be1=1，| b | | E1

10、 | cos30=1， |b|=。(2)2017年河北省石家庄市模拟如果平面向量A和B之间的角度已知为| A |a|=2和| B |b|=1，则| A B |=_ _ _ _ _ _。回答分辨率| a b | 2=| a | 2 2ab | b | 2=4+2|a|b|cos +1=5-2=3，|a+b|=.角度2平面向量夹角题名3 (1)2017湖南衡阳第八中学高中三月测验如果向量A与B的夹角为，且| A |a|=2，| B |b|=1，那么A与A 2B的夹角为()A.B.C.D.回答答resolution让向量a和2b之间的角度等于，因为向量a和b之间的角度是| a |a|=2，| b |

11、b|=1，因此，a (a 2b)=a2 2ab=4+221cos=6，|a+2b|=2，cos =。0， =。(2)已知两个单位向量A和B之间的夹角为60，C=TA (1-T) B。如果BC=0，则T=_ _ _ _ _ _。答案 2分辨率BC=bta(1-t)b=tab(1-t)B2=t | a | | b | cos60(1-t)| b | 2=t1-t=-t1=0。角度三平面向量的垂直度标题4众所周知，矢量和之间的夹角为120，并且| |=3，| |=2。如果=和，实数的值是_ _ _ _ _ _ _ _ _。回答分辨率=-，因为，=0，即，()(-)=-2(-1)=-94(-1)32=

12、0，并且解是=。平面向量乘积问题的求解策略(1)找出两个向量之间的角度：cos =，注意0，。(2)两个垂直矢量的应用：两个非零垂直矢量的充要条件是：A Bab=0 | A-B |=| A B |。(3)求向量的模：用数量积解决长度问题的处理方法如下： a2=aa=| a | 2或| a |=。|ab|=。如果a=(x，y)，则| a |=。振体训练1.2016新课程标准国家卷三如果已知向量=，=，那么ABC=()A.30 B.45C.60 D.120答：答分析：从两个向量之间的角度公式，我们可以得到cosABC=，则ABC=30。2.北京卷2016如果A和B是向量，“| A |=| B |”

13、是“| A B |=| A-B |”()A.充分和不必要的条件B.必要但不充分的条件C.必要充分的条件D.不充分和不必要的条件答：d .解析：如果a=-b 0，则| a |=| b | 0，| a b |=| 0。| a-b |=| 2a | 0，所以| a | b | a用| a b |=| a-b |，得到| a b | 2=| a-b | 2，并整理出ab=0，所以ab可能得不到| a |=| b |，所以得到| a b |=| a-b |。因此，“| a |=| b |”是“| a b |=| a-b |”的一个不充分且不必要的条件，所以d .3.重庆卷2015如果非零向量a和b满足|

14、 A |=| B |，并且(A-B) (3A 2B)，那么a和b之间的角度是()A.B.C.D.答：答分析：从(a-b) (3a 2b)，获得(a-b)(3a+2b)=0，也就是说，3a2-ab-2b2=0。和| a |=| b |，让=，也就是说，3 | a | 2-| a | b | cos-2 | b | 2=0， |b|2-|b|2cos -2|b|2=0。 cos =。和u 0， =。4.2014新课标第二册如果向量A和B满足| A B |=，| A-B |=，那么AB=()A.1 B.2C.3 D.5答：答解析：从条件来看，(a b) 2=10，(a-b) 2=6，两个公式的差是4

15、ab=4，所以a+b)2=10。5.天津卷2016已知ABC是边长为1的等边三角形，点D和E是边AB和BC的中点，连接de并延伸到点F，这样DE=2EF的值是()A.- B。C.D.答：乙分析：如图所示，让=m，n。根据已知的，=m，所以=m n，=m-n，=(m-n)=m2-n2-mn=-=。6.2016浙江卷已知向量A，B，| A |a|=1，| B |b|=2。如果任何单位向量E都有| AE | | Be | ，则ab的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ _。回答：分析：从问题的意义出发，设E=(1，0)，A=(cos ，sin )，B=(2 cos ，2sin )，然后由| AE | | be | ，即可得到|cos |+2|cos |。让sin 2 sin =m。 2 2，我们得到4 | cos cos | sin sin 1 m2适用于所有实数和，因此，4 | cos cos | sin sin 1。因此，ab=2(coscossinsin)2| coscos| sinsin。课后拓展阅读以向量为背景的创新问题示例1 (1)对于任意两个非零平面向量和，定义 =。如果