2018年高考数学二轮复习 考前专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第2讲 三角变换与解三角形讲学案 理

1、第2讲三角变换与解三角形正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1边和角的计算2三角形形状的判断3面积的计算4有关参数的范围问题由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视热点一三角恒等变换1三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”2三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45等(2)项的分拆与角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次(4)弦、切互化：一般是切化弦例1(1)(2017贵阳市

2、第一中学适应性考试)已知sin 2cos ，则tan 2等于()A.BC.D答案C解析sin 2cos ，sin24sin cos 4cos2，即2sin 24，化简得4sin 23cos 2，tan 2，故选C.(2)已知sin ，sin()，均为锐角，则角等于()A.B.C.D.答案C解析因为，均为锐角，所以.又sin()，所以cos().又sin ，所以cos ，所以sin sin()sin cos()cos sin().所以.思维升华(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒

3、等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解跟踪演练1(1)(2017河北省衡水中学三调)若，且3cos 2sin，则sin 2的值为()AB.CD.答案C解析由3cos 2sin()，可得3(cos2sin2)(cos sin )，于是3(cos sin )，所以12sin cos ，所以sin 2，故选C.(2)(2017届山东省师大附中模拟)已知sincos ，则cos_.答案解析sincos cos sin cos sin，sin.则cos1

4、2sin2.热点二正弦定理、余弦定理1正弦定理：在ABC中，2R(R为ABC的外接圆半径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，sin A，sin B，sin C，abcsin Asin Bsin C等2余弦定理：在ABC中，a2b2c22bccos A.变形：b2c2a22bccos A，cos A.例2(2017全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积解(1)由已知可得tan A，所以A.在ABC中，由余弦定理，得284c24ccos ，即c22c240

5、，解得c6(舍去)或c4.所以c4.(2)由题设可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD的面积与ACD的面积的比值为1.又ABC的面积为42sinBAC2，所以ABD的面积为.思维升华关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口跟踪演练2(2017广西陆川县中学知识竞赛)在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acos C(2bc)cos A.(1)求角A；(2)若a7，ABC的面积SABC10，求bc的值解(1)由ac

6、os C(2bc)cos A，得sin Acos C(2sin Bsin C)cos A，即sin Acos Ccos Asin C2sin Bcos A，即sin(AC)2sin Bcos A，即sin B2sin Bcos A.sin B0，cos A，而0A0，xR)，且函数yf(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求的值及f(x)的对称轴方程；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分別为a，b，c.若f(A)，sin C，a，求b的值.解(1)f(x)cos xcos2xsin xcos xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，由函数yf

7、(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，得T，求得1.当1时，f(x)sin.由2xk(kZ)，求得x(kZ)即f(x)的对称轴方程为x(kZ)(2)由(1)知f(A)sin，即sin.所以2A2k或2A2k，kZ，解得Ak或Ak，kZ，又A(0，)，所以A.由sin C，C(0，)，sin A知，C，求得cos C.所以sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，又a，由正弦定理得b.思维升华解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求跟踪演练3(2017届青岛市统一质量检测)已知函数f(x)sin

8、cosmsin 2x(mR)，f2.(1)求m的值；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2，f，ABC的面积是，求ABC的周长解(1)f2，fsincosmsinsin cos 2，解得m1.(2)由(1)知f(x)sincossin 2xsin 2xcos cos 2xsin cos 2xcos sin 2xsin sin 2xcos 2xsin 2x2sin，f2sin.0B，B，B，则B.又SABCacsin Bac，ac4.b2a2c22accos B(ac)23ac4，(ac)241216，ac4，ABC的周长为abc6.真题体验1(2017山东改编)在ABC中

9、，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC为锐角三角形，且满足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，则下列等式成立的是_(填序号)a2b; b2a; A2B; B2A.答案解析等式右边sin Acos C(sin Acos Ccos Asin C)sin Acos Csin(AC)sin Acos Csin B，等式左边sin B2sin Bcos C，sin B2sin Bcos Csin Acos Csin B.由cos C0，得sin A2sin B.根据正弦定理，得a2b.2(2017北京)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边

10、关于y轴对称若sin ，cos()_.答案解析由题意知2k(kZ)，2k(kZ)，又sin ，cos()cos cos sin sin cos2sin22sin2121.3(2017江苏)若tan，则tan _.答案解析方法一tan.6tan 61tan (tan 1)，tan .方法二tan tan.4(2017浙江)已知ABC，ABAC4，BC2.点D为AB延长线上一点，BD2，连接CD，则BDC的面积是_，cosBDC_.答案解析依题意作出图形，如图所示，则sinDBCsinABC.由题意知ABAC4，BCBD2，则sinABC，cosABC，所以SBDCBCBDsinDBC22.因为c

11、osDBCcosABC，所以CD.由余弦定理，得cosBDC.押题预测1在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A，sin Bcos C，并且a，则ABC的面积为_押题依据三角形的面积求法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很好地体现了综合性考查的目的，也是高考的重点答案解析因为0A0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)在ABC中，sin B，sin A，sin C成等比数列，求此时f(A)的值域押题依据三角函数和解三角形的交汇点命题是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较高

12、解(1)f(x)sin 2x(cos 2x1)sin，因为函数f(x)的周期为T，所以.(2)由(1)知f(x)sin，易得f(A)sin.因为sin B，sin A，sin C成等比数列，所以sin2Asin Bsin C，所以a2bc，所以cos A(当且仅当bc时取等号)因为0A，所以0A，所以3A，所以sin1，所以1sin，所以函数f(A)的值域为.A组专题通关1(2017贵阳市第一中学适应性考试)已知在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，c3，cos A，则b等于()A.B.C2 D3答案C解析由余弦定理知，a2b2c22bccos A，可得10b292b3 , b2

13、b10，所以(b2)(b)0，解得b2(舍负)，故选C.2tan 70tan 50tan 70tan 50的值等于()A.B.CD答案D解析因为tan 120，即tan 70tan 50tan 70tan 50.3(2017荆、荆、襄、宜四地七校联考)已知为第四象限角，sin cos ，则tan 的值为()AB.CD.答案C解析由sin cos 平方，得12sin cos 2sin cos (sin cos )212sin cos .因为为第四象限角，所以sin 0，sin cos ，因此sin ，cos ，tan ，故选C.4(2017合肥一模)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

14、若cos C，bcos Aacos B2，则ABC的外接圆的面积为()A4 B8C9 D36答案C解析bcos Aacos B2，ba2，c2，由cos C，得sin C，2R6，R3，S329，故选C.5若sin 2，sin()，且，则的值是()A.B.C.或D.或答案A解析sin 2，cos 2且，又sin()，cos()，sin()sin()2sin()cos 2cos()sin 2，cos()cos()2cos()cos 2sin()sin 2，又，故选A.6(2017全国)已知，tan 2，则cos_.答案解析coscos cos sin sin (cos sin )又由，tan 2

15、知，sin ，cos ，cos.7(2017届湖南省百所重点中学阶段性诊断)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里里法三百步欲知为田几何”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为_平方千米.答案21解析设ABC的对应边边长分别为a13里，b14里，c15里，cos Csin CS1314250 00021106(平方米)21(平方千米)8.(2017河南省息县第一高级中学阶段测试)如图，在平面四边形ABCD中，AD1，CD2，AC，c

16、osBAD，sinCBA，则BC的长为_答案3解析因为cosBAD，故sinBAD，在ADC中运用余弦定理，可得cosCAD，则sinCAD，所以sinBACsin(BADCAD)，在ABC中运用正弦定理，可得BC3.9(2017全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC面积为2，求b.解(1)由题设及ABC，得sin B8sin2，故sin B4(1cos B)上式两边平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)或cos B.故cos B.(2)由cos B，得sin B，故SABC

17、acsin Bac.又SABC2，则ac.由余弦定理及ac6，得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)3624，所以b2.10(2017浙江省“超级全能生”联考)已知f(x)sin(x) 满足ff(x)，若其图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数(1)求f(x)的解析式；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2ca)cos Bbcos A，求f(A)的取值范围解(1)ff(x)，f(x)ff(x)，T，2，则f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的函数为g(x)sin，而g(x)为奇函数，则有k，kZ，而|，则有，从而f(x)sin.(2)

18、(2ca)cos Bbcos A，由正弦定理得2sin Ccos Bsin(AB)sin C，又C，sin C0，cos B，B.ABC是锐角三角形，CA，A，02A，sin(0,1，f(A)sin(0,1B组能力提高11(2017届合肥教学质量检测)在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，若a，则b2c2的取值范围是()A.B.C.D.答案C解析(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，由正弦定理得(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，cos A，A，BC.又ABC为锐角三角形，B，由正弦定理2，得b2sin B，c2sin C，b2c24(sin2Bsin2C)442cos，又B，可得b2c2(5,6故选C