2018版高中数学 第二章 函数 5 简单的幂函数（二）学案 北师大版必修1

1、5简单的幂函数(二)学习目标1.理解函数奇偶性的定义；2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法；3.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题预习教材P4950完成下列问题：知识点一函数奇偶性的几何特征一般地，图像关于y轴对称的函数称为偶函数，图像关于原点对称的函数称为奇函数【预习评价】观察下列函数图像，判断函数的奇偶性答案关于y轴对称，所以对应函数为偶函数关于原点对称，所以对应函数为奇函数知识点二函数的奇偶性1奇函数的定义一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数，在奇函数f(x)中，f(x)和f(x)的绝对值相等，符号相反，即f(x)f(x).反之，满足f(x)f(x)的函数yf(x)一定是奇函数注

2、意：奇函数的定义域一定关于原点对称2偶函数的定义一般地，图像关于y轴对称，像这样的函数叫作偶函数在偶函数f(x)中，f(x)和f(x)的值相等，即f(x)f(x)；反之，满足f(x)f(x)的函数yf(x)一定是偶函数注意：偶函数的定义域一定关于原点对称3当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有奇偶性【预习评价】1若对定义域内的任意x都有f(x)f(x)0或1(f(x)0)，则对应的函数是不是奇函数？提示根据奇函数的定义知，满足这两种对应关系的函数都是奇函数2若函数图像关于原点对称，则该函数是不是奇函数？提示根据函数的图像特征，结合奇函数的定义知该函数是奇函数知识点三奇偶性与单调性一般地，(

3、1)若奇函数f(x)在a，b上是增函数，且有最大值M，则f(x)在b，a上是增函数，且有最小值M(2)若偶函数f(x)在(，0)上是减函数，则f(x)在(0，)上是增函数(3)知道了函数的奇偶性，我们可以先研究函数的一半，再利用对称性了解其另一半，从而减少工作量【预习评价】1判断函数yx2和y在(，0)和(0，)上的单调性的特点提示yx2是偶函数，在(0，)上是增函数，yx2在(，0)上是减函数，yx2在(，0)和(0，)上单调性相反y是奇函数，在(，0)和(0，)上单调性相同2结合教材P50例2你认为应怎样判断函数的奇偶性？提示第一步：求定义域并判断是否关于原点对称第二步：若定义域关于原点对

4、称则求f(x)并判断是否等于f(x)或f(x)第三步：若f(x)f(x)，则f(x)是奇函数，若f(x)f(x)，则f(x)是偶函数，若定义域不关于原点对称或f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)不具有奇偶性题型一函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x2；(2)f(x)；(3)f(x)；(4)f(x)解(1)函数的定义域为0，)，不关于原点对称，故函数不具有奇偶性(2)由x21x1所以f(x)0，又定义域关于原点对称，所以f(x)既是奇函数又是偶函数(3)函数f(x)的定义域为1,0)(0,1由|x2|2x，所以f(x)，因为f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数

5、(4)分段画出其图像如图所示，由于图像关于原点对称，所以函数f(x)为奇函数规律方法判断函数奇偶性的两种常用方法(1)定义法确定函数的定义域看定义域是否关于原点对称，()不对称，则函数不具有奇偶性；()对称(2)图像法画出函数的图像，直接利用图像的对称性判断函数的奇偶性【训练1】判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x2(x22)；(2)f(x)x|x|解(1)函数的定义域为R，又因为f(x)(x)2(x)22x2(x22)f(x)，所以f(x)为偶函数(2)函数的定义域为R，又因为f(x)x|x|x|x|f(x)，所以f(x)为奇函数题型二利用奇偶性求解析式【例2】已知函数f(x)是 定义域为R

6、的奇函数，当x0时，f(x)x22x(1)求出函数f(x)在R上的解析式(2)画出函数f(x)的图像解(1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)0；当x0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)f(x)(x)22(x)x22x，综上，f(x)(2)图像如图规律方法根据函数奇偶性求解析式的三个步骤(1)设：要求哪个区间的解析式，x就设在哪个区间里(2)代：利用已知区间的解析式代入进行推导(3)转：根据f(x)的奇偶性把f(x)写成f(x)或f(x)，从而解出f(x)提醒利用奇偶性求解析式时不要忽略定义域，特别是x0的情况【训练2】(1)f(x)为R上的奇函数，当x0

7、时，f(x)2x23x1，求f(x)的解析式(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)x3x1，求f(x)的解析式解(1)当x0，则f(x)2(x)23(x)12x23x1，由于f(x)是奇函数，故f(x)f(x)，所以f(x)2x23x1，即当x0，则x0，由题意知f(x)(x)3(x)1x3x1又因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)x3x1，故f(x)的解析式为f(x)题型三奇偶函数的图像问题【例3】设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)0的解集为_解析由题意，函数f(x)在5,0上的图像与在0,5上的

8、图像关于原点对称，画出函数f(x)在5,0上的图像，观察可得f(x)0的x的取值集合解因为偶函数的图像关于y轴对称，所以可得到此函数在y轴左侧的图像如图所示，由图像可知当x(，0)时，f(x)0；当x(0，)时，f(x)0；故使f(x)0的x的取值集合为(，0)(0，).互动探究题型四利用函数奇偶性求值或求函数【探究1】已知yf(x)是奇函数，当x0时，f(x)x2ax，且f(3)6，则a的值为_解析因为f(x)是奇函数，所以f(3)f(3)6，所以(3)2a(3)6，解得a5答案5【探究2】已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x1)(1x)f(x)，

9、则f的值是_解析若x0，则有f(x1)f(x)，取x，则有：ffff，因为f(x)是偶函数，则ff，由此得f0，于是，ffffff5f0答案0【探究3】已知函数f(x)是奇函数，且f(2)，则函数f(x)的解析式f(x)_解析f(x)的定义域为，若f(x)是奇函数，则0，得q0.故f(x)，又f(2)，得，得p2，因此f(x)答案规律方法利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为a，b，根据定义域关于原点对称，利用ab0求参数(2)解析式含参数：根据f(x)f(x)或f(x)f(x)列式，比较系数即可求解课堂达标1函数f(x)x()A是奇函数，但不是偶函数

10、B是偶函数，但不是奇函数C既是奇函数，又是偶函数D既不是奇函数，又不是偶函数解析f(x)x的定义域为x|x0，关于原点对称，且f(x)xf(x)所以f(x)为奇函数，但不是偶函数答案A2下列函数中，是奇函数的为()Ayx1 By2x2Cyx51 Dyx3解析f(x)x1(x1)f(x)，所以yx1不是奇函数，故A不正确B：y2x2是偶函数，故B不正确C：yx51是非奇非偶函数，故C不正确D：函数yx3定义域为R，且f(x)(x)3x3f(x)，所以yx3为奇函数答案D3如果定义在区间2a,4上的函数f(x)为偶函数，那么a_解析由2a4，得a6答案64已知函数yf(x)为奇函数，若f(3)f(2)1，则f(2)f(3)_解析函数yf(x)为奇函数，故f(x)f(x)，则f(2)f(3)f(2)f(3)1答案15判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x3x；(2)f(x)x21解(1)对于函数f(x)x3x，其定义域为R.因为对定义域内的每一个x，都有f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)，所以，函数f(x)x3x为奇函数(2)对于函数f(x)x21，其定义域为R.因为对定义域内的每一个x，都有f(x)(x)21x21f(x)，所以，函数f(x)x21为偶函数课堂小结1两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)为奇函数；