2018版高中数学 第四章 函数应用 1.2 利用二分法求方程的近似解学案 北师大版必修1

1、12利用二分法求方程的近似解学习目标1.能用二分法求出方程的近似解；2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想预习教材P117119完成下列问题：知识点一二分法的定义对于图像在区间a，b上连续不断且满足f(a)f(b)0的函数yf(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法【预习评价】1用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？提示前提条件：(1)f(x)在区间a，b上的图像连续不断(2)在区间a，b端点的函数值f(a)f(b)02所有函数的零点都可以用二分法求出吗？提示不是，例如函数y(x)2的零点就无法用二分法求出

2、知识点二用二分法求方程近似解的步骤给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；若f(c)0，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)(4)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(4)【预习评价】1用二分法求函数f(x)x35的零点可以取的初始区间是()A2,1 B1,0C0,1 D1,2解析f(2)30，f(2)f(1)0，故可取2,1作为初始区间，

3、用二分法逐次计算答案A2用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算得f(0)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_解析因为f(0)0，所以f(0)f(0.5)0，故f(x)的一个零点x0(0,0.5)，利用二分法，则第二次应计算ff(0.25)答案(0,0.5)f(0.25)题型一二分法概念的理解【例1】下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()解析按定义，f(x)在a，b上是连续的，且f(a)f(b)0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点故结合各图像可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图像经过零点x0时，函数

4、值不变号，因此不能用二分法求解故选A答案A规律方法判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图像在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合【训练1】下列函数中，能用二分法求零点的为()解析函数图像连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图像，只有B选项符合答案B典例迁移题型二用二分法求方程的近似解【例2】用二分法求方程2x33x30的一个正实数近似解(精确度0.1)解令f(x)2x33x3，经计算，f(0)30，f(0)f(1)0，所以函数f(x)在(0,1)内存在

5、零点，即方程2x33x3在(0,1)内有解取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，所以方程2x33x30在(0.5,1)内有解如此继续下去，得到方程的正实数解所在的区间，如下表：(a，b)中点cf(a)f(b)f(0,1)0.5f(0)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)0f(0.687 5)0由于|0.687 50.75|0.062 50.1，所以方程2x33x30的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5【迁移1】(变换条件

6、)本例变为：根据下表，用二分法求函数f(x)x33x1在区间(1,2)上的零点的近似值(精确到0.1)是_.f(1)1f(2)3f(1.5)0.125f(1.75)1.109 375f(1.625)0.416 015 625f(1.562 5)0.127 197 265解析由表中数据知f(1.5)f(2)0，f(1.5)f(1.562 5)0，所以函数零点在区间(1.5,1.562 5)上，又因为|1.562 51.5|0.062 50.1，所以函数f(x)x33x1在区间(1,2)上的零点的近似值可以取1.5.故填1.5答案1.5【迁移2】(变换条件)(本例变为)用二分法求2xx4在1,2内

7、的近似解(精确度为0.2)参考数据：x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67解令f(x)2xx4，则f(1)2140.区间区间中点值xnf(xn)的值及符号(1,2)x11.5f(x1)0.330(1,1.5)x21.25f(x2)0.370(1.25,1.5)x31.375f(x3)0.0350|1.3751.5|0.1250，f(2)0，f(2)0(2，1.5)x11.75f(x1)2.2030(2，1.75)x21.875f(x2)0.7360(2，1.875)x31.937 5f(x3)0.097 40

8、(1.937 5，1.875)由于|1.8751.937 5|0.062 50.1，所以函数在区间2，1内的一个近似零点可取为1.937 5规律方法1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图像估计零点所在的初始区间m，n(一般采用估计值的方法完成)(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值2二分法求函数零点步骤的记忆口诀定区间，找中点；中值计算两边看同号丢，异号算，零点落在异号间重复做，何时止，精确度来把关口课堂达标1下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用

9、二分法求函数零点的近似值的是()答案B2已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：x0123f(x)3.10.10.93那么函数f(x)一定存在零点的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3，)答案B3用二分法求方程x32x50在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x02.5，那么下一个有根的区间是_解析令f(x)x32x5，则f(2)2322510，下一个有根的区间是(2,2.5)答案(2,2.5)4已知方程mx2x10在区间(0,1)内恰有一解，则实数m的取值范围是_解析设函数f(x)mx2x1，因为方程mx2x10在(0,1)内恰有一解，所以当m0时，方程x10在(0,1)内无解，当m0时，由f(0)f(1)0，即(m11)2答案(2，)5用二分法求函数f(x)x3x1在区间(1,1.5)内的一个零点(精确度为0.1)解f(1)10，f(1.25)1210.1；f(1.375)0，所以零点在区间(1.25,1.375)内，此时|1.3751.25|0.1250.1；又f(1.312 5)0，所以零点在区间(1.312 5,1.375)内，此时|1.3751.312 5|0.062 50.1，故f(x)x3x1在区间(1,1.5)内的一个零点可取x1.312 5课堂小