2019届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.3圆的方程学案文北师大版

1、9.3日元的方程式最新的试验纲思情思向分析掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程式和一般方程式在调查圆的方程式中，关于圆的轨迹问题、最大值问题也是调查的无线热点，是中级问题。 问题类型主要以选择、填空问题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也出现在答题中圆的定义和方程式定义到平面内定点的距离等于一定长度的点的轨迹叫做圆方程式标准公式(x-a)2 (y-b)2=r2(r0)中心是(a，b )半径r通式x2 y2 Dx Ey F=0充要条件： D2 E2-4F0中心坐标：半径r=知识广博1 .确定圆方程的方法和程序决定圆方程式的主要方法是保留系数法，大致的步骤如下(1)根据题意选择标准方程式或一

2、般方程式(2)根据条件列出关于a、b、r或d、e和f的方程式；(3)将a、b、r或d、e、f代入标准方程式或一般方程式。2 .点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种已知圆的标准方程(x-a)2 (y-b)2=r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上： (x0-a)2 (y0-b)2=r2。(2)点在圆之外： (x0-a)2 (y0-b)2r2。点在圆内： (x0-a)2 (y0-b)20.()(4)方程x2 2ax y2=0必须表示圆。(5)如果点M(x0，y0)在圆x2 y2 Dx Ey F=0之外，则x y Dx0 Ey0 F0.()(6)方程(x a)2 (y b)2=t2(tR )表示中

3、心为(a，b )、半径为t的圆。问题小组2教材的改编2 .以点(3，-1)为中心，与直线3x 4y=0相切的圆的方程式为()A.(x-3)2 (y 1)2=1B.(x-3)2 (y-1)2=1C.(x 3)2 (y-1)2=1D.(x 3)2 (y 1)2=1答案a3 .当圆c的中心位于x轴上并通过点a (-1，1 )和点b (1，3 )时，圆c的方程式为：回答(x-2)2 y2=10分析将圆心坐标设为C(a，0 )，点a (-1，1，1 )和b (1，3 )在圆c上，|CA|=|CB|，即=、解答为a=2，圆心为c (2，0 )，半径|CA|=，圆c的方程是(x-2)2 y2=10。问题组3

4、容易出错4 .点(m 2，5 )和圆x2 y2=24的位置关系是()a .点在圆之外b .点在圆之内c .点在圆之上d .不能确定答案a分析是将点(m 2，5 )代入圆方程式，得到m4 2524 .因为故点在圆之外，所以选择了a。x2 y2-4x 2y 5k=0表示圆时，实数k的可取值范围为()A.R B.(-，1 )C.(-，1 D.1，)答案b关于分析，从方程式x2 y2-4x 2y 5k=0得到(x-2)2 (y 1)2=5-5k，若该方程式表示圆，则为5-5k0，得到k16 .如果圆c的半径为1，圆的中心位于第一象限，与直线4x-3y=0和x轴都相邻，则圆的标准方程式为()A.(x-2

5、)2 (y-1)2=1B.(x-2)2 (y 1)2=1C.(x 2)2 (y-1)2=1D.(x-3)2 (y-1)2=1答案a分析由于圆的中心在第1象限，与x轴相邻，因此，设圆的中心为(a，1)(a0)，圆与直线4x-3y=0相邻=1，解为a=2或a=-(舍去)。因为圆的标准方程式是(x-2)2 (y-1)2=1，所以选择了a。问题型一圆方程式典型例(1)(2018年黑龙江伊春市第二中学月考)通过点A(1，-1)、b (-1，1 )，中心在x y-2=0的圆的方程式是()A.(x-3)2 (y 1)2=4B.(x 3)2 (y-1)2=4C.(x-1)2 (y-1)2=4D.(x 1)2

6、(y 1)2=4答案c由于解析AB的中垂线方程式是y=x，所以根据y=x、x y-2=0的升交点，求出圆心(1，1 )、半径为2，这个圆的方程是(x-1)2 (y-1)2=4，所以选择了c。(2)已知的圆c通过p (-2，4 )、Q(3，-1)两点，在x轴上截断的弦长为6，圆c的方程式为答案x2 y2-2x-4y-8=0或x2 y2-6x-8y=0解析将圆的方程设为x2 y2 Dx Ey F=0(D2 E2-4F0)，分别代入p、q两点的坐标另外，如果y=0，则x2 Dx F=0.设x1、x2为方程式的2根|从|x1-x2|=6，即(x1 x2)2-4x1x2=36开始，得到D2-4F=36，

7、从中解除D=-2、E=-4、F=-8或D=-6、E=-8、F=0。求圆的方程式x2 y2-2x-4y-8=0或x2 y2-6x-8y=0。思想热升华(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，并写出方程式(2)未定系数法作为已知条件与圆的中心(a，b )和半径r有关系的圆的标准方程式，求出a、b、r的值选择圆的一般方程式，按照已知的条件列举与d、e、f有关的方程式，再求出d、e、f的值。跟踪训练(2017年广东七校联合考试)如果一个圆与y轴相邻，中心在直线x-3y=0上，在直线y=x上切的弦长为2，则该圆的方程式为答案x2 y2-6x-2y 1=0或x2 y2 6x 2y 1=0解析方法1求出的圆的

8、中心在直线x-3y=0上求出的圆的中心为(3a，a )，另外，求得的圆与y轴相接，半径r=3|a|、求出的圆在直线y=x上除的弦长为2，从圆心(3a，a )到直线y=x的距离d=、d2 ()2=r2，即2a2 7=9a2，a=1。求出的圆的方程式是(x-3)2 (y-1)2=9或者(x 3)2 (y 1)2=9，即x2 y2-6x-2y方法2将求出的圆的方程式设为(x-a)2 (y-b)2=r2，从圆的中心(a，b )到直线y=x的距离，r2=7，即2r2=(a-b)2 14.求出的圆与y轴相接，因此r2=a2，另外，求出的圆的中心在直线x-3y=0以上，a-3b=0，解联立或求出的圆的方程式

9、是(x-3)2 (y-1)2=9或者(x 3)2 (y 1)2=9，即x2 y2-6x-2y如果将求出方法3的圆的方程设为x2 y2 Dx Ey F=0，则圆的中心坐标为，半径r=。在圆的方程中，设x=0，y2 Ey F=0。求出的圆与y轴相接，因此，=0、E2=4F.从中心到直线y=x的距离d=、从已知的d2 ()2=r2开始，即，(D-E)2 56=2(D2 E2-4F).另外圆心在直线x-3y=0上，D-3E=0.解联立或所求得的圆的方程是x2 y2-6x-2y 1=0或x2 y2 6x 2y 1=0。有关问题型2日元的最大值问题典型例已知点(x，y )在圆(x-2)2 (y 3)2=1

10、上，求出x、y的最大值和最小值.假设t=x y，则y=-x t，t可以看作是直线y=-x t在y轴上的截距。x y的最大值和最小值是直线和圆具有共同点时的直线的纵切片的最大值和最小值，即直线和圆相接时的y轴上的切片从直线和圆相接的中心到直线的距离等于半径即=1，求解t=-1或t=-1。x y的最大值为-1，最小值为-1。补充探究1 .在本实施例的条件下获得的最大值和最小值解可以看作连接点(x，y )和原点的直线的倾斜，的最大值和最小值是通过与该圆具有共同点的原点的直线的倾斜的最大值和最小值，即直线与圆相接时的倾斜.设通过原点的直线方程为y=kx，从直线和圆相接的圆的中心到直线的距离为半径=1，

11、k=-2或k=-2-，的最大值为-2，最小值为-2-。2 .在本实施例的条件下获得的最大值和最小值求解=、其最大值能够求出从点(x，y )到定点(-1，2 )的距离的最大值，能够转换为求出从圆心(2，-3)到定点(-1，2 )的距离和半径之和或差的最大值为1，最小值为-1关于思维热升华圆的最大值问题的常见类型和解题策略(1)关于圆的长度或者距离的最大值问题的解法。一般从长度或者距离的几何意义上，利用圆的几何性质数形结合来解(2)关于圆顶点(x，y )的代数式最大值的常见类型和解法u=型这样的形状的最大值问题，能够转换为通过点(a，b )和点(x，y )的直线的倾斜的最大值问题的t=ax by型

12、这样的形状的最大值问题，能够转换为动直线的截距的最大值问题的形状如(x-a)2 (y-b)2型的最大值问题，可动跟踪训练已知点P(x，y )在圆C:x2 y2-6x-6y 14=0上。(1)求出的最大值和最小值(2)求出x、y的最大值和最小值。解(1)方程x2 y2-6x-6y 14=0可以变形为(x-3)2 (y-3)2=4。表示圆上的点p和原点连接的线的倾斜度，很明显PO(O是原点)与圆相接时，倾斜度最大或最小将切线方程式设为y=kx、即kx-y=0，从圆心c (3，3 )到切线的距离为半径2得到=2k=、最大值是最小值(假设x y=b，b表示在y轴上的移动直线y=-x b的截距，显然移动

13、直线y=-x b和圆(x-3)2 (y-3)2=4。从中心c (3，3 )到切线x y=b的距离等于圆的半径2，得到=2，即|b-6|=2，得到b=62，x、y的最大值为6 2，最小值为6-2。有关问题型3日元的轨迹问题已知典型例(2017潍坊调研)是圆x2 y2=4上的一点a (2，0 )，b (1，1 )是圆内的一点，p、q是圆上的动点。(1)求线段AP中点的轨迹方程式如果PBQ=90，则求出线段PQ中点的轨迹方程式。将解(1)ap的中点设为M(x，y )，从中点坐标式可知，p点坐标是(2x-2，2 y ) .由于p点在圆x2 y2=4以上，(2x-2)2 (2y)2=4，因此，线段AP中

14、点的轨迹方程式为(x-1)2 y2=1.(2)将pq的中点设为N(x，y )，在RtPBQ中，|PN|=|BN|。把o作为坐标原点连接ON时ONPQ，接着，接着，接着，接着，x2 y2 (x-1)2 (y-1)2=4。因此，线段PQ中点的轨迹方程式成为x2 y2-x-y-1=0.在思考热升华求出与圆相关的轨迹问题时，根据问题设定条件，经常采用以下方法(1)直接法：根据主题提供的条件直接列举方程式(2)定义法：由圆、直线等定义列方程式。(3)几何法：利用圆的几何性质列方程式(4)代入法：找出要求点和已知点的关系，代入满足已知点的关系式等。跟踪训练(2017河北衡水中学调查)知道RtABC的斜边是

15、AB，而且是a (-1，0 )，b (3，0 )。(1)垂直角顶点c的轨迹方程式(2)直角边BC中点m的轨迹方程式若设解(1)方法为C(x，y )，则a、b、c这三点不是共线，因此y0 .因为ACBC，所以kACkBC=-1，此外，kAC=、kBC=、所以=-1，简并性为x2 y2-2x-3=0。因此，垂直角顶点c的轨迹方程式成为x2 y2-2x-3=0(y0 )。方法： AB的中点为d，中点坐标式为d (1，0 )，根据垂直角三角形的性质为|CD|=|AB|=2.根据圆的定义，动点c的轨迹以d (1，0 )为圆心，以2为半径垂直角顶点c的轨迹方程式是(x-1)2 y2=4(y0 )。(2)设

16、为m (x，y )、C(x0，y0)，由于b (3，0 )、m是线段BC的中点，所以根据中点坐标式，x=，y=、x0=2x-3，y0=2y。由(1)可知，点c的轨迹方程式是(x-1)2 y2=4(y0 )，将x0=2x-3、y0=2y代入(2x-4 )中即，(x-2)2 y2=1。因此，动点m的轨迹方程式成为(x-2)2 y2=1(y0 )。利用几何性质巧设方程式求半径在典型的平面正交坐标系xOy中，曲线y=x2-6x 1和坐标轴的升交点都在圆c上，从而求出圆c的方程式。思想方法指导本题可以用代数法和几何法两种方法解(1)一般解法(代数法):可以求出曲线y=x2-6x 1和坐标轴这三个升交点，把圆的方程式作为一般式，代入点的坐标来求出解析式(2)巧解法(几何法):利用圆的性质，知道圆的中心一定在连接圆上两点的垂直平分线上，以圆的方程式为标准式，简化修正算法，明确几何法比代数法的修正算量小，平时的训练多用几何法解规范解答设解一般解法(代数法)曲线y=x2-6x 1和y轴的