03 化归法.ppt

1、波利亚数学启发法导引,主讲：方大凡,第三章 化归法,波利亚数学启发法导引, 000 000 000,3.1 善用化归法是数学家思维的一个重要特点,3.2 化归的方法,3.3 更一般的模式,化归法是把有待解决的问题转化、归结为已解决的某类问题的方法。本章分三节展开：,一般模式,3.1 善用化归法是数学家思维的重要特点,化归的方向,变化的成分,善于运用化归法解决问题是数学家思维的一个重要特点。我们分三目来简要叙述化归法。,引入：有趣的烧开水问题:,空水壶,自来水,火炉,数学家,物理学家。,装好了水的水壶,自来水,火炉,数学家,物理学家。,水壶装了水 的烧水问题,水壶未装水 的烧水问题,此问题的解已

2、知,原问题的解,问题,问题*,解答*,解答,化归法的一般模式,求四边形的内角和,三角形的内角和,求解方程组,化归的方向,由未知到已知 由难到易 由繁到简,求解方程组,方法二,哪个方法较好？,由(2)，,代入(1)得：,求和,求直角三角形的面积。,用一根定长的绳子在海滩上围出一个面积 尽可能大的沙滩（临海的一面不用围）。,一个农夫爬在地上数鸭脚。,镜象法 有时好用 有时不好用,我们可以通过配方将其化归为形如,由一般到特殊,的方程：,解方程,变化的成分,前述镜像法变的是未知成分。,下面给出一个不同的例：,鸡兔同笼：一个农夫有若干鸡和兔子，它们共有 50 个头 140 只脚，问鸡和兔子各有多少只？,

3、假设鸡都作金鸡独立状，兔则用一双后脚直立行走。,这里变的是已知成分。,例4：已知三角形的三条中线，求作这个三角形。,这里变的既有已知成分也有未知成分。,应当用可变观点而不是静止眼光看问题。,分割法,3.2 化归的方法,映射法,求变法,分割法,形体分割法,叠加法（见叠加模式）,轨迹交会法（见双轨迹模式）,局部变动法,逐步逼近法,形体分割法,弓形的面积计算。,Descartes：把你所考虑的问题，按照可能和需要，分成若干部分，使它们更易于求解。,叠加法,圆周角与圆心角关系定理的证明。,Descartes：把你所考虑的问题，按照可能和需要，分成若干部分，使它们更易于求解。,Descartes ：把你

4、所考虑的问题，按照可能和需要，分成若干部分，使它们更易于求解。,在叠加法中，未知成分被分割成了一些较简单成分的线性组合。这是叠加法的主要特点。,应用叠加法解决问题的关键在于通过分割实现由一般到特殊的化归。因为只有这样才能达到化未知为已知、化难为易、化繁为简的目的。,我们来看一个更典型的例子。,分割：求一个阶数最低的多项式，使其满足下述条件：,插值问题：给定个不同的数及另外个数，求一个阶数最低的多项式使其满足条件：,易知，上述插值问题的解就是：,而满足条件,的多项式是容易求得的：,这里，常数由确定。,满足条件,的多项式是容易求得的：,这里，常数 由确定：,插值问题：给定个不同的数及另外个数，求一

5、个阶数最低的多项式使其满足条件：,用上述方法求一个,多项式函数使它经过点(0,1),(1,2)(3,-1).,局部变动法,给定边数，在已知圆中具有最大面积的内接多边形是正多边形。,假设除一个顶点 X 外，多边形的其余各点都已固定且已位于它们所应处的位置，问题特殊化为如何选择 X 的位置以使多边形的面积最大。,端点分别在两条异面直线上的线段中长度最小的为什么是公垂线？请用局部变动法给出说明。,依赖于多因素的变量的极值问题,依赖于单因素的变量的极值问题,解*,解,逐步逼近法,解线性方程组的高斯消去法。,逐步逼近法,求圆锥曲线方程时，先确定方程的类型，再求方程的系数。,已知以坐标轴为对称轴的抛物线经

6、过点 (1,2)，试设计一个求此抛物线方程的解题方案？,充分利用已获得的知识作为新的行动基地。,google 的“在结果中搜索” 也是用的逐步逼近法。你能举出另外的例子吗？,用逐步逼迫的思想（待定系数法）做多项式乘法与因式分解。,问题,问题*,解答*,解答,映射法,利用映射，双二次方程可化归为二次方程而得到解决。例如：,对数计算法是应用映射法来简化问题的典型例子。,取对数,取反对数,这是求取某个未知量的具体问题。,几何问题,代数问题,代数结论,几何结论,解析几何的创立也可归结为映射法的成功应用。,解析表示,（坐标系）,这是涉及到理论的整体性结构的高层次的问题,例：证明三角形三条高线共点。,仅用

7、两次（沿直线进行的）切割把下面的图形变成一个与该图等积的正方形。,计算化：,求变法,有理函数的 积分问题,解,分解,部分分式的 积分问题,组合,恒等变形法,求有理函数的积分。,求有理函数的积分。,求有理函数的积分。,参数变异法,求标准三次方程的公式解。,直到 16 世纪这个问题才由意大利数学家塔塔里亚(Tartaglia)解决。塔塔里亚用的就是参数变异法。,他引进参数，并令， 这时，原方程就变形为：,取则有：,易知，是二次方程的两个根,令，则可取，使得：,这样，上述三次方程求解问题便已实质性得到解决。,参数变异法的特征是通过引进参数使问题的表现形式或解的结构处于可变的状态之中。,这种变化的目的

8、是什么？,参数变异法的特征是通过引进参数使问题的表现形式或解的结构处于可变的状态之中。,这种变化的目的是什么？,常用的待定系数法是参数变异法的具体运用。由此，也许你能悟出我们视待定系数为“可变”常数的妙处吧。,3.3 更一般的模式,多步化归与有反馈的化归,化归法的核心思想,多步化归与有反馈的化归,英国哲学家霍布斯说： “从一个愿望联想起我们曾经看到过的某些方法、手段，借助于这些方法、手段，我们可以得到如所求的目标那一类的东西。再从这些方法或手段出发，我们又联想到别的一些通向它们的方法或手段，这样继续下去，直到达到某个我们能力所及的起点为止”。,我们前面介绍的化归法只是一种简化了的模式，更一般的

9、表述如下：,问题,问题*,解答*,解答,问题* *,解答* *,不难看出，在数学问题解决中常用的 分析综合法可看成是多次化归法的应用。,计算圆台的体积。,圆台的 体积,解,圆锥的 体积,解*,圆锥 的高,解* *,相似三角形的计算,解* * *,在实际应用中，化归往往不是单向的、完全确定的过程，而是一种包含了多次反复与尝试（即信息的交流与反馈）的复杂过程。,在实际应用中，化归往往不是单向的、完全确定的过程，而是一种包含了多次反复与尝试（即信息的交流与反馈）的复杂过程。,只有通过多次的实践（包括错误的实践），才能不断加深对原问题的理解，从而也才有可能最终找到正确的化归方向和方法。,化归的核心思想

10、,应以可变的观点看问题，善于对所要解决的问题进行适当的变形。,盯住目标。,保持一定的灵活性。,正如波利亚在数学的发现一书中所指出的：,如果有几条可能的途径，而其中没有一个是十分有把握的，那么，在你沿着某一条路走得太远以前，最好先对每一条路都稍加探索，因为任何一条路都可能把你引入死胡同。 也就是说，不应过早地把自己局限于某一途径。,择其善者而从之。,波利亚在数学的发现一书中 提出如下“择优原则”：,困难少的应先于困难多的。 较熟悉的应先于不那么熟悉的。,化归法的局限性：,并非所有的问题都可通过化归而得到解决。例如，“由难到易，由繁到简”的化归显然就不可能无限制地永远进行下去。,用化归法解决问题的关键在于我们能否找到正确的化归方向与方法。因此，尽管化归法主要是（或者说，最终表现为）一种解决问题的方法，但是，它的成