2019版高考数学大一轮复习 第八章 解析几何 第45讲 椭圆优选学案

1、第45讲椭圆考试要求考试分析命题趋势1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质。2.了解圆锥曲线的简单应用和椭圆的实际背景。3.理解数字和形状相结合的概念。2017年国家卷二，202016年国家卷三，11天津卷2016年第20期1.解决与椭圆定义相关的问题；利用椭圆的定义求解轨迹方程；求椭圆的标准方程；确定椭圆焦点的位置。2.解决与椭圆的范围和对称性有关的问题；求解椭圆的偏心率；解决椭圆焦点三角形的相关问题。分数：5到12分1.椭圆的定义平面上某点的轨迹，该点与两个固定点F1和F2的距离之和等于常数(大于)，称为！_ _椭圆_ _ _ # # # #。这两个不动点叫做椭圆！_ _焦点

2、_ _ _ # # # #，两个焦点之间的距离称为椭圆！_ _焦距_ _ _ # # # #。设置p=m |=2a，=2c，其中a0、c0、a和c为常数。(1)如果！_ _ a c _ _ # # #，则集合p是一个椭圆；(2)如果！_ _ a=c _ _ _ # # # #，那么集p就是一个线段；(3)如果！_ _ a c _ _ # # #，则集合p为空集合。2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程+=1(ab0)+=1(ab0)数字性质量范围！_-a_#x!_ _ a _ _ _ # # # # #，！_ _-b _ _ _ # # # # #y !_ _ b _ _ _ # # # # #

3、！_ _-b _ _ _ # # # # #x !_ _ b _ _ _ # # # # #，！_ _-a _ _ # # # #y=!_a_#对称对称轴：_ _轴_ _ _ # # # #，对称中心：_(0，0)_ _ _ # # # #顶点A1！_(-a，0)_ _ _ # # # #，A2！_(a，0)_#，B1！_(0，-b)_#，B2！_(0，b)_ _ _ # # # #A1！_(0，-a)_#，A2！_(0，a)_#，B1！_(-b，0)_ _ _ # # # #，B2！_(b，0)_ _ _ # # # #轴长轴的长度是A1A2！_ _ 2a _ _ _ # # # # #，短

4、轴B1B2的长度为！_ _ 2b _ _ _ # # # # #焦距=！_ _ 2c _ _ _ # # # #古怪e=！#，e！_(0，1)_ _ _ # # # #a、b、c之间的关系c2=！_a2-b2_#1.思维辨别(在括号中打“”或“)。(1)平面中一个点的轨迹是一个椭圆，在该平面中，两个固定点F1和F2的距离之和等于一个常数。()(2)由椭圆上的点P和两个焦点F1和F2形成的PF1F2的周长为2a2c(其中A是椭圆的长半轴长度，C是椭圆的半焦距)。()(3)椭圆的偏心率越大，椭圆越圆。()(4)椭圆是轴对称的，也是中心对称的。()分析错误(1)。根据椭圆的定义，当常数大于时，它的轨

5、迹是椭圆，而当常数相等时，它的轨迹是线段F1F2，当常数小于时，就没有图形。(2)正确。根据椭圆的定义，=2a和=2c，所以=2a和2c。(3)错误。因为E=，E越大，它越小，椭圆越平。(4)正确。从椭圆的对称性来看，它关于原点中心的对称性也是关于双坐标轴的对称性。2.假设p是椭圆上的点=1，如果F1和F2是椭圆的两个焦点，那么=(c)A.4B.8C.6D.18根据定义，分辨率为=2a=6。3.如果等式=1代表一个椭圆，那么M的范围是(C)A.(-3，5)B.(-5，3)C.(-3，1)(1，5)D.(-5，1)(1，3)用方程表示的解析椭圆知识溶液为-3 m 5和m1。4.(2018广东惠州

6、二调)F1和F2为椭圆=1的两个焦点，点P在椭圆上。如果线段PF1的中点在Y轴上，则该值为(D)工商管理硕士如图所示，假设线段PF1的中点为m，因为o是F1F2的中点，所以ompf2可以得到PF2x轴，| PF2 |=，| PF1 |=2a-| PF2 |=，=。因此，d .5.已知F1和F2是椭圆C的左右焦点，点P在椭圆上且满足=2pf1 F2=30，则椭圆的偏心率为！_#。在PF1F2中，根据正弦定理，sinpf2f1=1，即PF2F 1=1。如果=1，那么=2，=，那么偏心率e=。椭圆的定义和应用椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确定与平面上两个不动点相关的轨迹是否为椭圆；其次，当p在椭

7、圆上时，由椭圆的两个焦点F1和F2形成的三角形通常称为“焦点三角形”，其周长可以通过定义计算，其面积可以通过定义和余弦定理计算，其面积可以通过整体替换计算。例1 (1)如图所示，一张圆形纸的中心是O，F是圆中的某一点，M是圆周上的移动点。折叠这张纸，使M和F重合，然后平滑这张纸，折痕是CD，让CD和OM在点P相交，然后点P的轨迹是(A)A.椭圆双曲线抛物线圆(2)已知F1和F2是椭圆c的两个焦点：=1 (AB0)，p是椭圆c上的一个点，以及.如果PF1F2的面积是9，那么B=！_ _ 3 _ _ _ # # # #。(1)从折叠过程可以知道，点m和点f关于直线CD对称，所以=，所以=r，根据椭

8、圆的定义，点P的轨迹是一个椭圆。(2)如果=R1和=R2，那么2r1r2=(r1+r2)2-(r+r)=4a2-4c2=4b2.和spf1f 2=r1r 2=B2=9， b=3。两个椭圆的标准方程椭圆标准方程的求法待定系数法是求解椭圆标准方程的基本方法。具体过程是先整形后量化，即先确定焦点的位置，然后根据条件建立关于A和B的方程。如果焦点的位置不确定，有必要考虑是否有两种解决方案。有时，为了解决问题的方便，椭圆方程也可以设置为MX2 Ny2=1 (M0，n0，mn)的形式。例2求出满足下列条件的椭圆的标准方程。(1)交叉点(，-)，并且具有与椭圆=1相同的焦点；(2)已知点P在一个具有对称轴的

9、椭圆上，从P到两个焦点的距离分别为5和3。穿过点P并垂直于长轴的直线正好经过椭圆的一个焦点；(3)两点后，(，)。(1)椭圆=1的焦点是(0，-4)，(0，4)，即c=4。根据椭圆的定义，2a=+，解是a=2。B2=4，C2=A2-B2。因此，椭圆的标准方程是=1。(2)因为焦点的位置是不确定的，让椭圆方程是=1 (a b 0)或=1 (a b 0)。A=4，c=2， B2=12。因此，椭圆方程为=1或=1。(3)假设椭圆方程为mx2 ny2=1 (m，n 0，mn)，M=，n=来自解。椭圆方程是=1。三个椭圆的几何性质椭圆偏心的求法(1)直接找出a和c，从而求解e，并通过设置具有已知条件的方

10、程来求解a和c的值。(2)构造A和C的齐次方程，求解E。由已知条件得到二元齐次方程，然后转化为关于偏心率的二次方程求解。(3)通过特殊值或位置计算偏心率。例3 (1)如果椭圆c的左右焦点：=1 (a b 0)是F1，F2，a和b是c上的两点，=3，baf2=90，那么椭圆c的偏心率是(d)工商管理硕士(2)已知F1 (-C，0)和F2 (c，0)是椭圆=1的两个焦点，P在椭圆=1上且满足=C2，所以椭圆偏心的取值范围是(C)工商管理硕士分析(1)如下：如果| |=x，那么| |=3x。在ABF2中，有(4x) 2 (2a-3x) 2=(2a-x) 2，x (3x-a)=0，即3x=a，x=，(

11、2)=2a由椭圆定义，2 2 2=4a2由正方形获得。和=C2，cosf1 pf2=C2。根据余弦定理，22-2cof1pf 2=2=4c 2。从 ，cosF1PF2=。e.0 cosf1 pf212=a2， 2a2-3c2 a2，a23c2，e,则椭圆偏心的取值范围为。因此，选择c。四条直线和椭圆的合成直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略(1)找出直线方程。根据设定的条件，找出两个条件来确定直线，然后得到直线方程。(2)计算面积。首先确定图形的形状，然后用条件找到确定面积的条件，然后得到面积的值。(3)判断图形的形状，可以根据平行和垂直条件判断棱角之间的关系，然后根据距离公式得到棱角之间的

12、关系(4)用根与系数的关系和弦长公式解决弦长问题。(5)中点弦或弦的中点。一般情况下，用点差分法来解决问题，并注意判断直线是否与椭圆相交。例4(国家二卷，2017)，以O为坐标原点，移动点M在椭圆C上：Y2=1，X轴的垂直线通过M，垂直脚为N，点P满足=。(1)求p点的轨迹方程；(2)让q在一条直线上，x=-3且=1。证明穿过点p并垂直于OQ的直线l穿过c的左焦点f .(1)让P(x，y)，M(x0，y0)，然后N(x0，0)，=(x-x0，y)，=(0，y0)。X0=x，y0=y从=。因为M(x0，y0)在c上，所以=1。因此，点p的轨迹方程为x2 y2=2。(2)从问题的意义上知道F (-

13、1，0)。如果Q (-3，t)，P(m，n)，那么=(-3，t)，=(-1-m，-n)，=3+3m-tn，=(m，n)，=(-3-m，t-n)，从=1，-3m-m2总氮-N2=1，从(1)，m2 N2=2，所以3 3m-总氮=0。因此=0，即，通过点p的唯一直线垂直于OQ，因此通过点p并垂直于OQ的直线l通过c的左焦点f .例5已知椭圆的顶点=1 (ab0)是B(0，4)，偏心率是e=，直线l在m和n点与椭圆相交。(1)如果直线l的方程是y=x-4，求弦长| MN |(2)如果BMN的重心恰好是椭圆的右焦点，求直线方程的通式。分析(1)由已知的b=4和=，即=，=，a2=20，椭圆方程是=1。

14、将4x2 5y2=80与y=x-4相结合，消除y得到9x2-40x=0，x1=0,x2=，弦长| Mn |=| x2-x1 |=。(2)椭圆右焦点f的坐标为(2，0)，线段MN的中点为Q(x0，y0)，根据三角形重心的性质，b=2f，和B(0，4)，(2,-4)=2 (x0-2，y0)，因此，x0=3，y0=-2，也就是说，Q的坐标是(3，-2)。设M(x1，y1)，N(x2，y2)，X1 x2=6，y1 y2=-4，并且=1，=1，将上述两个方程相减，得到=0。kMN=-=-=，直线MN的方程是y 2=(x-3)，也就是说，6x-5y-28=0。1.(浙江卷2017)椭圆=1的偏心率是(乙)工商管理硕士根据这个问题的意思，如果a=3，b=2，那么c=，椭圆的偏心率e=。因此，选择b。2.(国家三卷，2017)众所周知，椭圆C:=1 (A B 0)的左右顶点分别为A1和A2，线段A1A2直径的圆与直线BX-AY 2AB=0相切，则C的偏