第五章-测量误差的基本知识.ppt

1、第五章 测量误差的基本知识, 建筑工程测量 李仲 主编,本章要目,测量误差的概述； 衡量精度的指标； 算术平均值及其中误差； 误差传播定律的概念和应用；,5.1 测量误差的概述,测量误差及其来源 测量误差分类 偶然误差特性,引子：测量误差及其来源,1.两个事实： 重复 观测值之间的差异 观测值与理论值之间的差异 2.测量误差的客观性： 用重复观测、多余观测导致的差异，发现或反映了测量误差的客观存在。,一、测量误差产生的原因,观测者感官鉴别能力限制 测量仪器制造工艺误差： 外界环境变化 以上称为观测条件。 观测条件的客观性决定测量误差的客观性。 观测条件相同，观测值的精度相同，称为同精度观测值。

2、 否则是不等精度观测。,研究测量误差的目的,误差不可避免。 测量的目标： 研究误差的分类，针对不同误差采取不同的措施，以达到消除或减小误差对测量成果的影响的目的。,二、 测量误差的分类,测量误差按其对测量成果质量的影响性质，分为: 系统误差: 偶然误差: 粗差: 测量误差按其表示形式，分为: 绝对误差: 相对误差: 还可以按误差来源、计算原理和应用范围等分类: 仪器误差、人为误差、环境误差；真误差、最或是误差、中误差、极限误差、容许误差；测距误差、测角误差、高差误差、坐标误差、高程误差等。,1、系统误差:,定义：在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出现的大小和符号均相同或按一定的

3、规律变化，称为系统误差。 系统误差产生的主要原因是原理误差、仪器设备不完善、外界环境不标准、人为习惯等。 例如：尺长误差 对测量成果的影响： 具有累积性，给观测结果带来系统的偏差，在观测中应采取措施消除。 如： 计算修正、适当的观测方法、仪器的检验校正。,2、偶然误差:,定义：在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果单个误差的出现没有一定的规律性，误差数值的大小和符号均不定，表现出偶然性，称为偶然误差，又称为随机误差。 人的感官分辨力，外界条件变化，仪器等多种因素，综合影响，客观因素 例如，经纬仪测角误差。(读数、瞄准、对中、大气湍流等)。 对测量成果的影响： 使观测值之间相互离散。 就

4、单个值而言，偶然误差在观测前不能预知其大小和符号。但随着观测次数的增多，偶然误差会呈现出一定的统计规律。,2、偶然误差:,处理对策： 利用这一统计规律，处理误差，获得最可靠值。 并且进行精度的评定。,另外，还有粗差：也称错误,由于 观测者使用仪器不正确或疏忽大意，如测错、读错、听错、算错等。 外界条件发生意外的显著变动 对测量成果的影响性质： 严重影响测量成果的正确性。 处理对策： 严格遵守测量规范，工作中认真仔细，重复观测,多余观测,对观测结果作必要的检核，是可以避免和发现粗差，进而排除粗差。,测量平差,在观测过程中，粗差、系统误差和偶然误差往往是同时存在的。 对一组剔除了粗差的观测值，首先

5、应寻找、判断和排除系统误差，或将其控制在允许的范围内，然后根据偶然误差的特性（？）对该组观测值进行数学处理，求出最接近未知量真值的估值，称为最或是值；同时，评定观测结果质量的优劣，即评定精度。 这项工作在测量上称为测量平差，简称平差。,三、 偶然误差的特性,举例：在相同的条件下对某一个平面三角形的三个内角重复观测了358次，由于含有误差，每次观测得到的三角形内角之和一般不等于180。 各次观测的误差i(称为三角形闭合差）,1.三角形内角和观测误差统计表,2.三角形内角和观测误差频率直方图,有界性：在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。 密集性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现

6、的机会多。 (趋向性) 对称性：绝对值相等的正、负误差出现的机会相等。 抵偿性：在相同观测条件下（等精度观测），偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增多而趋于零。,偶然误差的特性：,3.偶然误差分布密度曲线-高斯正态分布,n ， d 0 高斯偶然误差分布密度曲线，,理论分布函数：,第二节 衡量精度的指标,什么是精度？ 在测量中，又称精密度，对某一量多次观测值之间的离散程度。集中则精密度高，离散精密度低。 精度主要取决于偶然误差。 在相同的观测条件下的一组观测，都有相同的精度。,衡量观测值精度的方法：,误差分布表 频率直方图 数值指标（衡量精度的指标）,设在同精度观测下出现一组偶然误差 , 中

7、误差由各个真误差平方的平均值计算，又称标准差。,一、中误差,用真误差计算中误差：必须知道真值。,两组观测值中误差：,第一组观测值精度高于第二组。中误差能突出反映大误差的影响。,根据偶然误差的第一个特性，在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，该限值称为极限误差，简称限差。限差是偶然误差限制值，用作观测成果取舍的标准。,二、极限误差与容许误差,误差出现在K倍中误差区间内的概率为：,将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率： P(| m)=0.683=68.3 P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 ,取

8、三倍中误差作为偶然误差的极限误差。 |限|=3|m| 实际测量工作中，通常取三倍中误差作为测量误差的容许值，称为容许误差： |容|=3|m| 当精度要求高时，常取二倍中误差作为容许误差。 |容|=2|m|,在实际测量工作中由于观测次数有限，绝对值大于三倍中误差的偶然误差出现的机会很小，所以通常取三倍中误差作为偶然误差的极限误差的估值。,极限误差与容许误差,三、相对误差,绝对误差：在测量中不考虑某量的大小，而只考虑该量的近似值对其准确值的误差本身的大小。真误差、中误差、极限误差。 即绝对误差的大小不能反映与观测量的大小的关系。 所以，在有些情况下，绝对误差并不能全面反映观测精度。 例如：分别丈量

9、两段不同距离，一段为100m，一段为200m，中误差都是0.02m。此时是否能认为两段距离观测结果的精度相同？ 必须引入相对误差的概念，目的是为了更客观地反映实际测量精度。,绝对误差的绝对值与观测值之比，用分子为1的分数形式表示。无量纲。分母越大，相对误差越小，精度越高。分子是中误差则有：,相对闭合差：距离往返测量的较差的绝对值为分子。 相对容许误差：容许误差的绝对值为分子。,相对误差（K）的定义,第三节 观测值的算术平均值及其中误差,1.求最或是值 定义：根据已有的观测数据所能求得的观测量及其函数的最接近真值的近似值，称为最或是值或最或然值。用该值作为未知量真值的估值。 2.评定精度 定义：

10、计算观测值、最或然值、观测值函数的的中误差，评价观测值、最或然值、观测值函数的精度。,1、算术平均值,在相同观测条件下对某未知量进行了一组等精度观测，设观测值分别为l1, l2.ln，观测值的真值为X，则观测值的真误差为：,等式两边求和除以观测次数n可得：,当观测次数无限增大时，根据偶然误差第四特性，有,当观测次数有限时，通常取算术平均值为最可靠值（最或是值），作为测量的最终结果。算术平均值一般用 表示。,或,2、同精度测量成果的精度评定,（1）观测值的精度评定：,观测值中误差：,最或是误差：观测值与最或然值的差值。用符号“v”表示。,证明:,(1),(2),将上列（1）、（2）两式相加并移项

11、，得:,(3),(4),（4）式两边平方，求和,因为：v=0， 所以：,所以,计算观测值中误差例子,一、已知真值X，则真误差 二、观测值中误差,一、真值不知，则 二、观测值中误差,2、同精度测量成果的精度评定,第四节 误差传播定律,一、定义：阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律称为误差传播定律。 二、线性函数：mz与mx的关系？ 三、非线性函数：mz与mx的关系？,1.倍数函数 2.和差函数 3.一般线性函数 4.非线性函数,Z=Kx Z=x1x2 Z=x1x2xn Z=K1x1K2x2Knxn Z=f (x1,x2xn ),设有函数Z=Kx，x为直接观测值，中误差为mx，K为常数，

12、Z为观测值x的函数。求mz ？ 如果对x作n次等精度观测，真误差分别为x1、 x2、. xn，对应的函数真误差为Z1、 Z2、. Zn，观测值与函数间的真误差存在如下关系：,1、倍数函数,将上述关系式平方、求和、除以n得：,设有函数Z=xy，x、y是两个相互独立的观测值，均作n次观测，中误差分别为mx和 my，真误差关系式为,2、和差函数,由于x、y是相互独立的，偶然误差x、 y出现正负符号的机会相等，且正负符号互不相关，乘积x y也具有正负机会相同的性质。根据偶然误差的第三、第四特性，当n趋于无穷大时，第三项趋于零。,推广到n个独立观测值代数和差：,当n个独立观测值是等精度观测时：(如水准测

13、量）,根据倍数函数与和差函数的中误差公式：,3、一般线性函数,算术平均值中误差与观测次数的平方根成反比，算术平均值的精度比各观测值的精度提高了 倍。,算术平均值的精度评定：,设有非线性函数Z=f (x1,x2xn)，式中x1, x2 xn为独立观测值，相应的中误差为m1、 m2. mn。,由于非线性函数的真误差关系式难于表达，考虑到真误差是个小量，真误差关系式可用全微分近似表达：,4、非线性函数,全微分表达式的系数项是函数f 对各自变量的偏导数，以变量的近似值（观测值）代入，所得数值为确定的常数。非线性函数线性化后，可得误差传播定律的一般形式：,mz=,误差传播定律的广泛应用：求观测值函数的中

14、误差；研究容许误差的确定；分析观测可能达到的精度,通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结出求观测值函数中误差的步骤： 1.列出函数式； 2.检查各观测值是否相互独立； 3.对函数式求偏微分，并代入观测值确定系数； 4.套用误差传播定律，写出中误差式。,四、误差传播定律的应用,例1：倍数函数：,量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm, 计算该两点实地距离S及其中误差ms：,解：列函数式: 求全微分： 中误差式：,例2：和差函数：,设对某一个三角形观测了其中，两个角，测角中误差分别为 ： 现按公式 =180 求得角值，试求 角的中误差m 。,解：列函数式: 求全微分： 中误差式：,在三角高程测量中，已知仪器高和站标高相等，测得两点间的水平距离为D=120.25m0.05m，竖直角=1204700 30 ，求两点间高差及其中误差？,注意统一量纲,例题3：非线性函数：,一个边长为l的正方形，若测量一边中误差为ml 1cm，求周长的中误差？若四边都测量，且测量精度相同，均为m l ，则周长中误差是多少？,S=4l,S= l 1+ l 2+ l 3+ l 4,注意这两种方法测得周长的中误差并不相同，关键是要正确列出函数式。,