2018版高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角导学案新人教A版必修

1、2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模数和夹角学习目标：1 .了解两个向量的数量乘积的坐标表示的推导过程，能够利用数量乘积的坐标表示进行向量的数量乘积运算；2.根据向量的坐标计算向量的模，并推导出平面上两点之间的距离公式；3.根据向量的坐标找出向量的夹角，判断两个向量是否垂直。知识点-平面向量数量积的坐标表示设I和J是相互垂直的两个单位矢量，它们分别与X轴和Y轴的正半轴方向相同。思考1什么是ii，jj和ij？答案是ii=11cos0=1，jj=11cos0=1，ij=0。把I和j作为坐标平面上的一组基数，让a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，试着把a和b表示为I和j，然后计算ab。答案是：

2、a=x1i y1j，b=x2i y2j，ab=(x1i+y1j)(x2i+y2j)=x1x2i2+(x1y2+x2y1)ij+y1y2j2=x1x2+y1y2.思考3如果ab，a和b坐标之间的关系是什么？答案是 Bab=0x1x2 y1y2=0。结合向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a和b之间的角度为。数量产品ab=x1x2+y1y2向量垂直abx1x2+y1y2=0知识点二平面向量模块的坐标形式及两点间距离公式思考1:如果a=(x，y)，试着用坐标表示向量的模。答案是：a=Xi yj，x，yR，a2=(xi+yj)2=(xi)2+2xy ij+(yj)2=x2i2+2xy ij+y

3、2j2。并且I2=1，J2=1，ij=0，a2=x2+y2,|a|2=x2+y2，|a|=.思考2如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量的模？答案是=(x2，y2)-(x1，y1)=(x2-x1，y2-y1)，|=.梳理矢量模块长度a=(x，y)|a|=以A(x1，y1)和B(x2，y2)为端点的向量|=知识点三个平面向量夹角的坐标表示假设a和b是非零向量，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，是a和b之间的角度，cos 如何用坐标表示？答案是cos =。类型平面矢量积的坐标表示例1已知a和b在同一方向，b=(1，2)，ab=10。(1)找到a的坐标；(2)如果c=(2，-1)

4、，则找到(bc)和(ab) C .(1)如果a= b=(，2)(0)，那么ab= 4=10， =2， a=(2，4)。(2)BC=12-21=0，ab=10，a(bc)=0a=0，(ab)c=10(2，-1)=(20，-10)。对这类题目的反思和理解是关于矢量积的坐标运算，而基本公式的灵活运用是前提。设置矢量有两种方式：一种是直接设置坐标，另一种是通过共线或垂直关系设置矢量，还可以验证(ab)ca(bc)一般无效。跟踪训练1向量a=(1，-1)，b=(-1，2)，那么(2a b) a等于()A.-1 B.0 C.1 D.2答案三解析是因为a=(1，-1)，b=(-1，2)，所以2a b=2 (

5、1，-1) (-1，2)=(1，0)，然后(2a b) a=(1，0) (1，1)二型向量的模和夹角例2在平面直角坐标系xOy中，o是原点(如图所示)。点a (16，12)和b (-5，15)是已知的。(1)寻道| |，| |；(2)寻找OAB。溶液(1)由=(16，12)组成，=(-5-16，15-12)=(-21，3)，获得| |=20，|=15。(2)cos OAB=cos,=。其中=-=-(16，12)(-21，3)=-(16(-21)+123=300。因此，cosOAB=。OAB=45.反思与理解：用向量的数量积计算两个向量夹角的一般步骤；(1)利用向量的坐标，我们可以找到这两个向量

6、的数量积。(2)用| a |=求两个向量的模。(3)用夹角公式求cos ，根据的范围确定的值。跟踪训练2被称为a=(1，-1)，b=(，1)。如果a和b之间的角度是钝角，则找出的取值范围。解a=(1，-1)，b=(，1)，|a|=,|b|=,ab=-1.a和b之间的角度是钝角，即1和1。 的范围是(-，-1)(-1，1)。三矢量垂直坐标形式实施例3 (1)已知a=(-3，2)和b=(-1，0)。如果向量 a b垂直于a-2b，实数的值是()A.华盛顿特区回答乙解析地，矢量 a b垂直于a-2b，并且它被获得(a+b)(a-2b)=0。因为a=(-3，2)，b=(-1，0)，因此，(-3-1，2

7、) (-1，2)=0，即3 1 4=0，解=-。(2)在ABC中，=(2，3)，=(1，k)，如果ABC是一个直角三角形，求k的值.解为(2，3)=(1，k)，=-=(-1,k-3).如果a=90，则=21 3k=0，k=-；如果b=90，则=2 (-1) 3 (k-3)=0。k=；如果c=90，则=1 (-1) k (k-3)=0。k=.因此，k的值是-or或。反思与感悟利用矢量积的坐标表示解决垂直问题的实质是对垂直条件进行代数化。如果不清楚三角形问题中哪个角是直角，就应该分类讨论。在平面直角坐标系xOy中跟踪训练3，我们知道a (1，4)，b (-2，3)，c (2，1)，如果(-t) ，

8、那么实数t=_ _ _ _。答案-1解析=(-3，-1)，-t=(-3-2t,-1+t)，和(2，-1)，(-t) ，(-3-2t)2+(-1+t)(-1)=0.t=-1.1.假设a=(3，-1)和b=(1，-2)，a和b之间的夹角为()A.不列颠哥伦比亚省回答乙解析|a|=a |=，b |=，ab=5。cosa,b=.a和b之间的夹角为0，。a和b之间的夹角是。2.如果向量=，=已知，则ABC等于()公元前30年45年60年120年回答一解析| |=1，| |=1，cosABC=，ABC=30.3.已知向量m=( 1，1)，n=( 2，2)，如果(m n)(m-n)，那么等于()A.-4b-

9、3c-2d-1回答乙分析原因是m-n=(23，3)，m-n=(-1，-1)，从(m n)(m-n)，我们可以得到(m n)(m-n)=(23，3) (-1，-1)=-2-6=0，解是=-3。4.给定平面向量A和B，如果A=(4，-3)，| B |b|=1，AB=5，那么向量B=_ _ _ _ _ _。回答分辨率| a |=5，cos =1，a和b有相同的方向， B=A=(，-)。5.众所周知，A=(4，3)和B=(-1，2)。(1)求a和b之间夹角的余弦；(2)如果(a- b) (2a b)，它就是实数的值。解(1)AB=4(-1)32=2，|a|=5，| b |=，cosa,b=.(2)a-

10、b=(4+，3-2)，2a+b=(7，8)，(a-b)(2a+b)，(a-b)(2a+b)=7(4+)+8(3-2)=0，=.1.平面矢量数量积的定义和坐标表示提供了两种不同的计算数量积的方法。准确把握这两种方式，根据不同情况选择不同的方式，可以优化问题解决过程。同时，平面矢量积的两种形式连接了“数”和“形”之间的桥梁，成为解决距离、角度和垂直等相关问题的有力工具。2.两个矢量的垂直度、平行度、夹角、长度等几何问题可以通过应用数量积运算来解决，在学习中要不断提高用矢量工具解决数学问题的能力。3.注意区分两个矢量的平行和垂直坐标形式，不能混淆，可以通过比较来学习和记忆。如果A=(x1，y1)，B

11、=(x2，y2)，那么abx1 y2-x2 y1=0，A b=(x2 y1y2=0。4.事实上，在用平面向量的数量积公式求解一些平面向量问题时，向量角问题中隐藏着许多陷阱和误解，由于模糊了“两个向量之间的角”的概念，忽略了“两个向量之间的角”的范围，往往会导致错误和失误。课堂作业首先，选择题1.如果向量a=(-5，6)和b=(6，5)是已知的，那么a和b=(6)A.b .既不垂直也不平行C.平行且方向相同回答一分辨率ab=-56 65=0，ab.2.已知向量A=(1，n)，B=(-1，n)，如果2A-B垂直于B，|a|等于()A.1 BC.2 D.4答案三(2a-b)b=2ab-| b | 2

12、的分析=2(-1+n2)-(1+n2)=n2-3=0，n2=3,|a|=2.3.如果向量A=(1，2)和B=(1，1)，那么2A B和A-B之间的角度等于()A.- B。C.D.答案三解析方程2a b=2(1，2) (1，1)=(3，3)，a-b=(1，2)-(1，-1)=(0，3)，(2a+b)(a-b)=9，|2a+b|=3，|a-b|=3。假设两个矢量之间的夹角为，那么cos =，0,=.4.如果A=(2，-3)，垂直于向量A的单位向量的坐标是()A.(3，2)B.C.或者D.以上都不正确答案三垂直于a的矢量被解析地假设为单位矢量(x，y)，(x，y)是单位向量，=1，即x2 y2=1，

13、用(x，y)表示的矢量垂直于a，2x-3y=0,从 得到或5.假设平面向量A=(1，2)，B=(4，2)，C=MA b=(4 m r)，并且C和A之间的角度等于C和B之间的角度，那么M等于()A.-2b-1C.1 D.2答案D根据分析，因为a=(1，2)，b=(4，2)，c=ma b=(m 4，2m 2)，AC=m 4 2 (2m 2)=5m 8，BC=4 (m 4) 2 (2mc和a之间的角度等于c和b之间的角度，所以=，也就是=，所以=，解是m=2，所以d .6.我们知道向量a=(1，2)，b=(2，-3)。如果向量c满足(c a)b，c (a b)，那么c等于()A.B.C.D.答案D分

14、析上，如果c=(x，y)，那么c a=(x 1，y 2)，(c+a)b,2(y+2)+3(x+1)=0. (a b)，(x，y)(3，-1)=3x-y=0。X=-，y=-来自 。第二，填空假设a=(3)，b=(1，0)，那么(a-2b) b=_ _ _ _ _ _ _。回答1解析a-2b=(1，(a-2b)b=11+0=1。8.假设A (-3，0)，B(0)，O是坐标的原点，C在第二象限，并且AOC=30，=，那么实数的值是_ _ _ _ _ _ _ _ _。回答1该分析基于问题的含义=(-3，0)=(0)、然后=(-3，从迎角=30，以X轴的非负半轴为起始侧，以迎角为最终侧的角度为150。坦

15、150=，is,-=-, =1。9.假设A=(1，3)，B=(2 ，1)，并且A和B之间的角度是锐角，实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _。答案(-5，-)(-，)分析上，a和b之间的夹角是一个锐角，得到ab=2 3 0， -5，当ab，(2 ) 3-1=0，=-。因此，的范围是 -5和-。10.给定点A(1，-2)，如果向量与a=(2，3)方向相同，并且| |=2，那么点b的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ _。答案(5，4)解析地让=(2，3)(0)，然后| |=2，132=1322,=2，=(4,6)，=+=(1,-2)+(4,6)=(5,4).b点的坐标是(5，4)。

16、第三，回答问题11.众所周知，a、b和c是同一平面上的三个向量，其中a=(1，2)。(1)如果| c |c|=2，c和a的方向相反，求c的坐标；(2)如果| b |=，a 2b垂直于2a-b，求a和b之间的角度.(1)让c=(x，y)，ca和| c |c|=2，可获得性左右因为c和a相反，所以c=(-2，-4)。(2)因为(a 2b) (2a-b)，因此，(a 2b) (2a-b)=0，也就是说，2a2 3ab-2b2=0，因此2 | a | 2 3ab-2 | b | 2=0，所以25 3ab-2=0，所以ab=-。所以cos =-1。因为0，=。12.已知三个点a (2，1)，b (3，2)和d (-1，4)。(1)验证：abad；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标和由矩形ABCD的两条对角线形成的锐角的余弦。D(-1)证明a(2，1)，b (3，2)，d (-1，4)，=(1,1),=(-3,3)，并且=1(-3)13=0， ，也就是ABAD.(2)解为，四边形ABCD为矩形，=.假设点C的坐标是(x，y)，