变化率与导数、导数的计算.ppt

1、3.1 变化率与导数、导数的计算,第三编 导数及其应用,要点梳理 1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为 ， 若x=x2-x1,y=f（x2）-f（x1），则平均变化率可表示为 .,基础知识 自主学习,2.函数y=f（x）在x=x0处的导数 （1）定义 称函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率 = 为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作f（x0）或y|x=x0， 即f(x0)= = . （2）几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f（x）上点 处的 .相应地，切线方程为 .,(x0,f(x0),切线的斜率,

2、y-y0=f(x0)(x-x0),3.函数f(x)的导函数 称函数f(x)= 为f（x）的导函 数，导函数有时也记作y. 4.基本初等函数的导数公式,cos x,0,-sin x,axln a(a0),nxn-1,ex,5.导数运算法则 （1）f（x）g(x)= ; (2)f(x)g(x)= ; (3) = (g(x)0). 6.复合函数的导数 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的 导数间的关系为y = ，即y对x的 导数等于 的导数与 的导数的乘积.,(a0,且a1),f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),yu,y对u,u对x,x,u,x,基础自测

3、 1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点 （1+x，2+y），则 为（） A.x+ +2B.x- -2 C.x+2D.2+x- 解析 y=（1+x）2+1-12-1=(x)2+2x, =x+2.,C,2.设正弦函数y=sin x在x=0和x= 附近的平均变化率为k1,k2,则k1,k2的大小关系为（） A.k1k2B.k1k2 C.k1=k2D.不确定 解析 y=sin x,y=(sin x)=cos x, k1=cos 0=1，k2=cos =0，k1k2.,A,3.曲线y=x3-3x2+1在点（1，-1）处的切线方程为（） A.y=3x-4B.y=-3x+2 C.y=-4

4、x+3D.y=4x-5 解析 由y=3x2-6x在点（1，-1）的值为-3，故切线方程为y+1=-3(x-1)，即y=-3x+2.,B,4.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)-f(x)恒成立，且常数a,b满足ab,则下列不等式一定成立的是（） A.af(b)bf(a)B.af(a)bf(b) C.af(a)bf(b)D.af(b)bf(a) 解析 令g(x)=xf(x),g(x)=xf(x)+f(x)0. g(x)在R上为增函数，ab, g（a)g(b),即af(a)bf(b).,B,5.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是0， ，则点

5、P横坐标的取值范围为（） A. B.-1，0 C.0，1D. 解析 y=x2+2x+3，y=2x+2. 曲线在点P(x0,y0)处切线倾斜角的取值范围是 0, , 曲线在点P处的切线斜率0k1. 02x0+21,-1x0 .,A,题型一 利用导数的定义求函数的导数 【例1】求函数y= 在x0到x0+x之间的平均变化 率. 紧扣定义 进行 计算. 解,思维启迪,题型分类 深度剖析,探究提高 求函数 f（x）平均变化率的步骤： 求函数值的增量f = f（x2）- f（x1）； 计算平均变化率 解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简 单，只要注意运算过程就可以了.,知能迁移1 利用导数定义，求

6、函数 在x=1处 的导数. 解 方法一 （导数定义法）,方法二 （导函数的函数值法）,题型二 导数的运算 【例2】求下列函数的导数. （1）y=2x3+x-6； （2）y= ； （3）y=(x+1)(x+2)(x+3)； （4）y=-sin (1-2cos2 ）； （5） . 如式子能化简的，可先化简，再利用导数公式和运算法则求导.,思维启迪,解 （1）y=6x2+1.,(3)方法一 y=(x2+3x+2)(x+3) =x3+6x2+11x+6， y=3x2+12x+11.,方法二 y=(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3) =(x+1)(x+2)+(x+1)(x+2)

7、(x+3)+(x+1)(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x2+12x+11.,求函数的导数要准确地把函数分割为基本 函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法 则求导数.在求导过程中，要仔细分析函数解析式的 结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式. 对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形，如 （3）小题;对于比较复杂的函数，如果直接套用求导 法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时，可 将解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形 式，再求导数，如（2）、（4）、（5）都是如此.但 必须注意变形

8、的等价性，避免不必要的运算失误.,探究提高,知能迁移2 求下列函数的导数. （1）y=5x2-4x+1；(2)y=(2x2-1)(3x+1)； （3）y= . 解 (1)y=(5x2-4x+1) =(5x2)-(4x)+(1)=10 x-4. (2)y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1, y=(6x3+2x2-3x-1) =(6x3)+2(x2)-(3x)-(1) =18x2+4x-3.,【例3】求下列复合函数的导数. (1)y=(2x-3)5; (2)y= ; (3)y=sin2（2x+ ）; (4)y=ln(2x+5).,思维启迪 先正确地分析函数是由哪些基本函数经过

9、怎样的顺序复合而成;求导时,可设出中间变量,注意 要逐层求导不能遗漏,每一步对谁求导,不能混淆. 解 (1)设u=2x-3,则y=(2x-3)5由y=u5与u=2x-3 复合而成, y=f(u)u(x)=(u5)(2x-3)=5u42 =10u4=10(2x-3)4. （2）设u=3-x, 则y= 由y=u 与u=3-x复合而成.,由复合函数的定义可知，中间变量的选择 应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析 函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内， 一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基 本函数，逐步确定复合过程.,探究提高,(3)设y=u2,u=sin v,v=2x+

10、, （4）设y=ln u,u=2x+5,则,知能迁移3 求下列复合函数的导数. (1)y= ; (2)y=x ; (3) 解 (1)y=-3(1-3x)-4(1-3x)= .,题型三 导数的几何意义 【例4】 （12分）已知曲线方程为y=x2, （1）求过A（2，4）点且与曲线相切的直线方程； （2）求过B（3，5）点且与曲线相切的直线方程. （1）A在曲线上,即求在A点的切线方程. （2）B不在曲线上，设出切点求切线方程. 解 （1）A在曲线y=x2上, 过A与曲线y=x2相切的直线只有一条，且A为切点. 2分 由y=x2,得y=2x,y|x=2=4, 4分 因此所求直线的方程为y-4=4(

11、x-2), 即4x-y-4=0. 6分,思维启迪,（2）方法一 设过B（3，5）与曲线y=x2相切的直线 方程为y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k, 8分 y=kx+5-3k, y=x2 得x2-kx+3k-5=0,=k2-4(3k-5)=0. 整理得:(k-2)(k-10)=0,k=2或k=10.10分 所求的直线方程为2x-y-1=0,10 x-y-25=0.12分 方法二 设切点P的坐标为(x0,y0), 由y=x2得y=2x, x=x0=2x0,8分 由已知kPA=2x0,即 =2x0. 又y0= 代入上式整理得:x0=1或x0=5,10分 切点坐标为(1,1),(5,25),

12、 所求直线方程为2x-y-1=0,10 x-y-25=0.12分,由,探究提高 （1）解决此类问题一定要分清“在某点 处的切线”，还是“过某点的切线”的问法. （2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点 坐标为P（x0，y0），然后求其切线斜率k=f(x0), 写出其切线方程.而“在某点处的切线”就是指“某 点”为切点. （3）曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当 曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且 只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确.,知能迁移4 已知曲线 . (1)求曲线在x=2处的切线方程； (2)求曲线过点（2，4）的切线方程. 解 （1）y=x2, 在点

13、P（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4. 曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.,（2）设曲线 与过点P（2，4）的切线 相切于点 ， 则切线的斜率k=y|x=x = . 切线方程为y- 即,0,点P（2，4）在切线上，4= 即 (x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.,方法与技巧 1.在对导数的概念进行理解时，特别要注意f(x0)与(f(x0)是不一样的，f(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一

14、个常量，其导数一定为0，即(f(x0)=0. 2.对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.,思想方法 感悟提高,3.复合函数的求导方法 求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法 则，将问题转化为基本函数的导数解决. （1）分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量； （2）分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的关系； （3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并

15、把中间变量转换成自变量的函数； （4）复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程.,失误与防范 1.利用导数定义求导数时，要注意到x与x的区别，这里的x是常量，x是变量. 2.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆. 3.求曲线切线时，要分清点P处的切线与过P点的切 线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者. 4.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.,一、选择题 1.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位 移为 ，那么速度为零的时刻是 （） A.0秒B.1秒末 C.2秒末D.1秒末和2秒末 解析

16、v=s（t）=t2-3t+2， 令v=0，得t1=1,t2=2.,D,定时检测,2.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为（） A.1B. C. D. 解析 过点P作y=x-2的平行直线,且与曲线y=x2-lnx 相切，设P（x0,x -ln x0）,则k=y|x=x0=2x0- 2x0- =1,x0=1或x0= (舍去). P(1,1),B,3.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的 方程为（） A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0 C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0 解析 y=4x3=4,得x=1,即切点为（1，1），所

17、以过该点的切线方程为y-1=4(x-1),整理得4x-y-3=0.,A,4.曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角 形的面积为 （ ） A. B.2e2 C.e2 D. 解析 点（2，e2）在曲线上， 切线的斜率k=y|x=2=ex|x=2=e2, 切线的方程为y-e2=e2(x-2). 即e2x-y-e2=0. 与两坐标轴的交点坐标为（0，-e2），（1，0）， S=,D,5.（2009全国理，9）已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为（） A.1B.2C.-1D.-2 解析 设直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)的切点为（x0,y0）,则y0=1+x0,

18、y0=ln(x0+a),又y= 即x0+a=1.又y0=ln(x0+a), y0=0,x0=-1,a=2.,B,6.（2009安徽文，9）设函数 其中 ，则导数f(1)的取值范围是 （ ） A.-2，2B. ， C. ，2D. ，2 解析 由已知f(x)=sin x2+ cos x,D,二、填空题 7.如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B,C的坐标分别为（0，4）,（2，0）,（6， 4），则f（f（0）= ； . （用数字作答）,解析 由A（0，4），B（2，0）可得线段AB所在直 线的方程为f(x)=-2x+4 (0 x2).同理BC所在直线 的方程为f(x)=x-2 (

19、2x6). -2x+4(0 x2), x-2(2x6), 所以f(0)=4,f(4)=2. f(1)=-2. 答案 2 -2,所以f(x)=,8.（2009福建理，14）若曲线f(x)=ax5+ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 . 解析 f(x)=5ax4+ ,x(0,+), 由题知5ax4+ =0在（0，+）上有解. 即a=- 在（0，+）上有解. x(0,+), (-,0). a(-,0).,(-,0),9.（2009江苏，9）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3-10 x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为 . 解析 设P（x0,y0）(x00),由题意知 =2, =4.x0=-2,y0=15. P点的坐标为（-2，15）.,（-2，15）,三、解答题 10.求曲线f(x)=x3-3x2+2x过原点的切线方程. 解 f(x)=3x2-6x+2.设切线的斜率为k. （1