2019版高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 8.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程学案 理

1、8.1直线的倾角、斜率和方程知识梳理1.直线的斜率(1)当90时，tan代表直线l的斜率，用k表示，即k=tan 。当=90时，直线l的斜率k不存在。(2)斜率公式给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)，通过两点P1和P2的直线的斜率公式为k=1。2.线性方程的五种形式诊断自检1.概念推测(1)如果直线的斜率为，则其倾角为。()(2)两条斜率相等的直线的倾角不一定相等。()(3)通过点P(x0，y0)的所有直线可以由等式y-y0=k (x-x0)表示。()(4)通过任意两个不同点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的直线可以由等式(y-y1) (x2-x1)=(x-x1)

2、 (y2-y1)表示。()答案(1)、(2)、(3)、(4) 。2.教科书演变(1)(要求A2P109A组T2)如果AC0和BC0，则直线ax通过c=0不通过()A.第一象限C.第三象限答案三从分析上来说，已知直线的截距在X轴上为-0，在Y轴上为-0，因此直线穿过第一、第二和第四象限，但不穿过第三象限。(2)(强制性A2P95T3)在Y轴上具有150倾角和-3截距的直线方程是_ _ _ _ _ _。答案是y=-x-3分析表明，直线的斜率为k=tan150=-，y=-x-3由直线的斜截面方程y=kx b求得。3.预热一个小问题(1)(贵州模拟，2017)如果已知直线L通过点P (-2，5)，斜率

3、为-，则直线L的方程为()A.3x+4y-14=0C.4x+3y-14=0 D.4x-3y+14=0回答一解析地说，直线l的方程是y-5=-(x 2)，也就是说，3x 4y-14=0，所以a .(2)假设直线的截距在X轴和Y轴上相等，A的值为()a . 1 B- 1C.-2或-1d-2或1答案D分析上，当A=0时，线性方程是Y-2=0，这不满足问题的意义，所以a0，所以X轴上的截距是2 A，然后2 A=，A=-2或A=1。因此，d .问题1直线的倾角和斜率如果直线L穿过点P(1，0)，并且与以A(2，1)和B (0，0)为端点的线段有一个公共点，则直线L的斜率可以在_ _ _ _ _ _的范围

4、内。结合数字和形状，我们可以通过斜率公式得到kPA和kPB。答案(-，-；1，)分辨率如图所示，=1。kBP=-,k(-,-1,+).方法技巧解决直线倾斜角和斜率问题的策略1.0，上正切函数y=tanx的单调性常用于计算直线的倾斜角或斜率的范围。这里，当 时，应特别注意斜率k0。当=时，斜率不存在。当时，斜率k(-，0)。2.先画一个满足条件的图，找出直线经过的点，然后找出由固定点和终点确定的直线的斜率。请看典型的例子。冲关的目的是训练众所周知，线PQ两端的坐标分别是P (-1，1)和Q (2，2)。如果直线L: x my m=0与直线PQ相交，则实数m的取值范围为_ _ _ _ _ _ _

5、_ _。答案是- m 分析如图所示，直线l: x my m=0穿过固定点A(0，-1)，当m0，kQA=，kpa=-2，KL=-,-2或-,解为00，b0)，则=1。当且仅当=，即a=4，b=2时，AOB的面积s=ab的最小值为4。此时，直线l的方程为=1，即x 2y-4=0。(2)假设直线L的方程为y-1=k (x-2)。然后可以得到a，b (0，1-2k) (k0)。截距的总和是1-2k=3-2k-3+2=3+2。这时，-2k=-k=-。因此，截距之和的最小值是3 2，l的方程是y-1=-(x-2)，即x y-2-=0。方法技巧与线性方程相关的常见问题类型及解决策略1.要求解与线性方程相关

6、的最大值问题，首先建立线性方程，建立目标函数，然后用基本不等式求解最大值或用函数的单调性来求解。2.找到参数值或范围。如果该点在直线上，则该点的坐标适用于直线方程，然后众所周知，直线L穿过点M(1，1)，并分别在点A和点B处与X轴和Y轴的正半轴相交，并且O是坐标的原点。(1)当| OA | | ob |得到最小值时，方程为直线l；(2)当| ma | 2 | MB | 2得到最小值时，直线l的方程.(1)让A(a，0)，B(0，b)(a0，B0)。让直线l的方程为=1，然后=1。因此，| OA | | ob |=a b=(a b)=22=4。如果且仅当“a=b=2”被视为等号，则直线l的方程为

7、x y-2=0。(2)假设直线l的斜率是k，然后是k0，直线l的方程是y-1=k (x-1)，然后a，b (0，1-k)，因此，| ma | 2 | MB | 2=2 12 12(1-1k)2=2 k22 2=4。如果且仅当k2=，即k=-1，则直线l的方程为y-1=-(x-1)，即x y-2=0。1.(2017大庆模拟)两条直线的图像-=A和-=A(其中A是不为零的常数)可能是()回答乙解析直线方程-=a可以转换为y=x-na，直线-=a可以转换为y=x-ma，因此可以看出两条直线的斜率具有相同的符号，因此选择b。2.(2017河南九校联考)如果是直线L的倾角，sin cos =，那么L的斜

8、率是()A.-b .-或-2C.或2d-2答案D解析sincos=，(sin+cos)2=1+sin2=，2sincos=-,(sin-cos)2=，很容易知道sin0，cos0，sin-cos=,根据 ，坦=-2，即l的斜率是-2，所以d .3.(2018南昌模拟，江西)众所周知，通过固定点P(2，0)的直线L和曲线Y=在两点A和B相交，O是坐标的原点。当AOB的面积达到最大时，直线L的倾角为()A.150 B.135C.120 D.105回答一X 2 Y 2=2 (Y 0)由Y=得到，Y=表示以原点O为圆心和半径的圆的一部分，如图所示。根据问题的意思，直线L的斜率是存在的。假设直线L通过点

9、P(2，0)的方程为Y=K (x-2)，那么从圆心到这条直线的距离为D=，弦长为| AB |=2=2，所以s AOB=2 =1，当且仅当(2k) 2=2-2k2，即k2=，等号成立，而k=-可以从图中得知，所以直线l的倾角为150，所以选择a .4.(2014四川高考)如果mR，移动线X MY=0通过定点A，移动线MX-Y-M 3=0通过定点B在点P(x，Y)相交，则|PA|PB|的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ _。回答5解析很容易知道A(0，0)，B(1，3)和PAPB， | pa | 2 | Pb | 2=| ab | 2=10， | pa | | Pb | =5(当且仅当| p

10、a |=基本发送点和加速疯狂刷牙练习首先，选择题1.(2018朝阳仿真)直线x1=0的倾角为()A.B.C.D.答案D解析直线的斜率为-，即tan =-，0， =，所以d .2.(2017年正定质检)xcos140 ysin40 1=0的直线倾角为()A.40 B.50C.130 D.140回答乙线xcos140 ysin40 1=0转换为xcos40-ysin40-1=0，斜率k=tan50，倾角50。因此，乙.3.(哈尔滨模拟2018)如果函数y=asinx-bcosx的一个对称轴为x=，则直线l: ax-by c=0的倾角为()A.B.C.D.答案D解析地，函数y=f (x)=asinx

11、-bcosx的对称轴是x=know，f (0)=f，即-b=a，直线l的斜率是-1，倾斜角是。因此，d .4.(衡阳，2018年底)已知直线PQ的斜率为-，顺时针旋转直线60得到的直线斜率为()A.B.-C.0 D.1+回答一如果解析直线PQ的斜率为-，那么直线PQ的倾角为120，计算直线的倾角为60，tan60=。因此，答.5.在等腰三角形AO=AB中，其中AO=AB，点O(0，0)，A(1，3)和点B在X轴的正半轴上，那么直线AB的方程是()A.y-1=3(x-3)C.y-3=3(x-1)答案D分析上，因为AO=AB，直线AB的斜率和直线AO的斜率彼此相反，所以kab=-KOA=-3，所以

12、直线AB的逐点方程是y-3=-3 (x-1)。6.(2017河南新乡第一中学周考)如果m和n满足m 2n-1=0，则直线mx3y n=0穿过不动点()A.B.C.D.回答乙解析方程m 2n-1=0，m 2n=1。* MX 3y n=0， (MX n) 3y=0，当x=，MX n=m n=，7.如果通过点P(1，4)的直线在两个坐标轴上的截距都是正的，并且截距之和是最小的，那么直线的方程是()2x+2y-6=0C.x-2y+7=0 D.x-2y-7=0回答乙解析解1:直线通过P(1，4)，被取代，a和d被排除；两个坐标轴上的截距是正的，所以C被排除了，所以b .解决方案2:让等式=1，将(1，4)代入=1。a+b=