2018版高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数学案 新人教A版必修1

1、2.3功率功能1.通过例子理解幂函数的概念，可以区分幂函数和指数函数。2.组合函数y=x，y=x2，y=x3，y=x，y=x-1的图像，并理解它们的变化。(困难)3.能够利用幂函数的简单性质来比较实数的大小。基础探索教材整理1幂函数概念阅读课本倒数第二段的P77，完成下列问题。幂函数：通常，函数y=x 被称为幂函数，其中x是一个独立变量，是一个常数。判断(正确键入“”和“错误键入”)(1)函数y=x-是幂函数。()(2)函数y=2-x是幂函数。()(3)函数y=-x是幂函数。()分析 (1)。函数y=x-符合幂函数的定义，所以它是幂函数；(2)幂函数中的自变量X是基数，而不是指数，所以Y=2-

2、X不是幂函数；(3)幂函数中的x系数必须为1，所以y=-x不是幂函数。回答 (1) (2) (3)教科书整理2幂函数图像和性质阅读P77倒数第二个自然段落到P78“示例1”上面的部分，完成下列问题。幂函数的图像和性质；幂函数y=xy=x2y=x3y=xy=x-1数字喜欢定义领域rrr0，+)(-，0)(0，+)范围r0，+)r0，+)(-，0)(0，+)同等奇数的甚至奇数的非奇数和非偶数奇数的单调性提高x(0，)增加x(-，0减提高提高x(0，)减x(-，0)减共同点(1，1)如果幂函数的图像与点(3)相交，其单调递增的区间为()A.-1，+)b0，+)C.(-，+) D.(-，0)resol

3、ution让幂函数为f (x)=x，因为幂函数的图像穿过点(3)，所以f (3)=3=3，解为=，所以f (x)=x，所以幂函数的单调递增区间为0，)，所以b .回答乙小组合作类型幂函数的概念(1)在函数y=x-2，y=y=x-2，y=(x 1) 2，y=3x中，幂函数的个数是()A.0B.1C.2D.3(2)如果幂函数y=f (x)的图像交叉点(2)是已知的，那么f (9)=_ _ _ _ _ _。(3)如果幂函数f (x)=(m2-2m-2) XM m2是(0，)上的递减函数，则m=_ _ _ _ _ _。【亮点】(1)根据幂函数y=x 的定义判断。(2)从幂函数的定义出发，建立了一个解析

4、公式，用点的坐标代替得到幂函数的解析公式，从而得到f(9)的值。(3)利用幂函数的概念，我们可以得到关于m的关系式，然后求解。独立解 (1)根据幂函数的定义，只有Y=x-2是幂函数，所以b .(2)根据问题的含义，让Y=f (x)=x ，得到=2，=， Y=f (x)=x， f (9)=3，因为图像与点(2)相交。(3)f(x)=(m2-2m-2)XM m2是(0，)上的递减函数，m=-1.答案 (1) B (2) 3 (3)-1一个函数是否是幂函数取决于它是否是y=x (是常数)，也就是说，(1)指数是常数，(2)基数是自变量，(3)基数系数是1。再练习一个问题1.如果函数f(x)是幂函数并

5、且满足f (4)=3f (2)，那么f的值等于_ _ _ _ _ _ _ _ _。TutorialNo。分辨率让f (x)=x，因为f (4)=3f (2)， 4=32，解是=log23， f=log23=。回答幂函数的图像和性质(1)如图231所示，图中的曲线是第一象限中幂函数y=xn的图像。众所周知，n取两个或四个值，因此依次对应于C1、C2、C3和C4的n是()。图231A.-2，-2B.2、-、-2C.-，-2，2，D.2，-2，-(2)已知幂函数y=x3m-9 (m n *)关于y轴对称，并且在(0，)上单调递减，因此获得了满足(a 3)-(5-2a)-的值范围。亮点 (1)根据幂函

6、数的图像特征和性质确定相应的函数图像；(2)首先用幂函数的定义，奇偶性和单调性来确定m的值，然后用幂函数的单调性来解决关于a的不等式.(1)根据幂函数y=xn的性质，当第一象限中的图像为n0时，n越大，y=xn增加得越快，所以C1的n=2，C2的n=，当n0时，n|越大，曲线越陡，所以曲线C3的n=-，曲线C4的n=-2。回答乙(2)由于函数在(0，)上单调递减，3m-90的解是m3，mN*，所以m=1，2。因为函数的图像关于Y轴对称，3m-9是偶数，所以如果m=1，原来的不等式可以简化为(a 3)-(5-2a)。y=x-在(-，0)，(0，)上单调递减，因此a 35-2a0或5-2 ag(x

7、)；(2)f(x)=g(x)；(3)f(x)g(x)；(2)当x=1时，f(x)=g(x)；(3)当x(0，1)和f(x)0时，幂函数y=x 在(0，)上单调增加；当0时，幂函数y=x 在(0，)上单调递减。探究2 23.1和23.2可以看作是哪一个函数的两个函数值？它们之间的大小关系是什么？提示 23.1和23.2可视为函数f (x)=2x的两个函数值，因为函数f (x)=2x单调增加，所以23.1 23.2。查询3 2.3-0.2和2.2-0.2可以看作是哪个函数的两个函数值？它们之间的大小关系是什么？提示 2.3-0.2和2.2-0.2可视为幂函数f (x)=x-0.2的两个函数值，因为

8、函数f (x)=x-0.2在(0，)上单调递减，所以2.3-0.2 2.2-0.2。比较以下各组的功率值。(1)30.8，30.7；(2)0.213，0.233；(3)2，1.8；(4)1.2，0.9-，亮点构造一个幂函数或指数函数，用它的单调性求解。(1)函数y=3x是递增函数，0.8 0.7，30.830.7.(2)函数y=x3是递增函数，0.21 0.23，0.2130.233.(3)函数y=x是递增函数，2 1.8，21.8.y=1.8x是递增函数，1.81.8,21.8.(4)0.9-=，=1.1。1 . 21 . 1，y=x在0，)上单调增加。1.21.1，也就是1.20.9-。比

9、较幂的大小的关键是找出基数是否与指数相同。如果基数相同，用指数函数的单调性比较大小；如果指数相同，用幂函数的单调性来比较大小；如果基数和指数不同，请考虑使用中间值方法来比较大小，其中中间值可以是“0”或“1”，或者示例3(3)中的1.8。再练习一个问题3.比较下列组的大小。TutorialNo。解 (1)因为函数y=x-是(0，)中的递减函数。33.1所以3-3.1。1.如果幂函数y=f (x)的图像通过点是已知的，那么f(2)=f(2)=1A.B.4C.D.分辨率让幂函数为y=x 。*图像通过点的幂函数，=4， =-, y=x-, f (2)=2-=，所以选择c .答案 C2.在下列函数中，具有不同域和值域的函数是()TutorialNo。A.y=x B.y=x-C.y=x D.y=x【分析】A中的值域和值域都是R；B中的定义域和值域都是(0，)；C中的值域和值域都是R；在d中，定义域是r，值域是0，)。答案 D3.如果a，函数y=xa的定义域是r，所有奇数函数a的值是()A.1，3 B- 1，1C.-1，3d-1，1，3解析当a=-1时，y=x-1的定义域为x|x0，并且是奇数函数；当a=1时，函数y=x的定义域是r，是奇数函数。当a=，函数y=x的定义域是x|x0，