3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题

1、3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域,问题1：在平面直角坐标系中， x+y=0 表示的点的集合表示什么图形？,我们在平面直角坐标系下作出这些直线。观察它们之间的关系及相对位置。,这个不等式中含有两个未知数，并且未知数的次数都是一次,这样的不等式叫做二元一次不等式。,我们会得到一个不等式,二一次不等式及其解的定义,含有两个未知数，并且未知数的次数都是一次的不等式叫做二元一次不等式，使不等式成立的未知数的值叫做它的解，例如x+y-10就是一个二元一次不等式，它的解是一些数对(x,y)。,那么，以这个二元一次不等式的解为坐标的点在平面直角坐标下的分布情况如何呢？这就是我们这一节课要解决的问题。,

2、x+y=0,x+y=0,x+y0,x+y0,(x。,y。),(x0 , y),1,-1,左上方 x-y+10,x-y+1=0,(x，y）,（x。，y。）,右下方 x-y+10,以二元一次不等式的解为坐标的点的集合所表示的平面图形,叫做二元一次不等式表示的平面区域。,概念:,问题：一般地，如何画不等式AX+BY+C0表示的平面区域？,（1）二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。,（2）由于对直线同一侧的所有点(x,y)，把它代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ，从Ax0+By

3、0+C的正负可以判断出Ax+By+C0表示哪一侧的区域。,一般在C0时，取原点作为特殊点。,例1：画出不等式 2x+y-60 表示的平面区域。,3,6,2x+y-60,2x+y-6=0,练习1：画出下列不等式表示的平面区域： （1） （2）,（1）,（2）,例2：画出不等式组 表示的平面区域,x+y=0,x=3,x-y+5=0,注：不等式组表示的平面区域是各不等式 所表示平面区域的公共部分。,-5,5,解：,0-0+50,1+00,(1)(2),4,-2,3,3,2,练习2 :1.画出下列不等式组表示的平面区域,2,(1),例3：根据所给图形，把图中的平面区域用不等式表示出来：,(2),应该注

4、意的几个问题：,1、若不等式中不含0，则边界应画成虚线，,2、画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。,3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。,否则应画成实线。,则用不等式可表示为:,解：此平面区域在x-y=0的右下方， x-y0,它又在x+2y-4=0的左下方， x+2y-40,它还在y+2=0的上方， y+20,2，求由三直线x-y=0;x+2y-4=0及y+2=0 所围成的平面区域所表示的不等式。,3.3.2简单线性规划,画出不等式组 表示的平面区域。,3x+5y 25,x -4y - 3,x1,3x+5y25,x-4y-3,x1,问题：有无最大(小)值？,x,y,o,问题：2+有

5、无最大(小)值？,x,y,o,x=1,C,B,设z2+,式中变量、满足下列条件， 求的最大值和最小值。,3x+5y25,x-4y-3,x1,x-4y=-3,3x+5y=25,x,y,o,x-4y=-3,x=1,C,设z2+,式中变量、满足下列条件 ， 求的最大值和最小值。,B,3x+5y=25,问题 1: 将z2+变形?,问题 2: z几何意义是_。,斜率为-2的直线在y轴上的截距,则直线 l： 2+=z是一簇与 l0平行的直线,故 直线 l 可通过平移直线l0而得，当直 线往右上方平移时z 逐渐增大： 当l 过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3 当l 过点A(5,2)时，最大,即

6、zmax25+212 。,析: 作直线l0 ：2+=0 ,最优解：使目标函数达到最大值或 最小值 的可 行 解。,线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程。,有关概念,约束条件：由、的不等式（方程）构成的不等式组。,目标函数：欲求最值的关于x、y的一次解析式。,线性目标函数：欲求最值的解析式是关于x、y的一次解析式。,线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值。,可行解：满足线性约束条件的解（x，y）。,可行域：所有可行解组成的集合。,x,y,o,x-4y=-3,x=1,C,B,3x+5y=25,设Z2+,式中变量、 满足下列条件 ， 求的最大值和最小值。,例1：

7、设z2xy,式中变量x、y满足下列条件 求的最大值和最小值。,解：作出可行域如图：,当0时，设直线 l0：2xy0,当l0经过可行域上点A时， z 最小，即最大。,当l0经过可行域上点C时， 最大，即最小。, zmax2528 zmin214.4 2.4,(5,2),(1,4.4),平移l0，,平移l0 ，,2xy0,解线性规划问题的步骤：,2、 在线性目标函数所表示的一组平行线 中，用平移的方法找出与可行域有公 共点且纵截距最大或最小的直线；,3、 通过解方程组求出最优解；,4、 作出答案。,1、 画出线性约束条件所表示的可行域；,画,移,求,答,3x+5y=25,例2：已知x、y满足 ，设zaxy (a0)， 若 取得最大值时，对应点有无数个，求a 的值。,x,y,o,x-4y=-3,x=1,C,B,解：当直线 l ：y ax z 与直线重合时，有无数个点，使函数值取得最大值，此时有： k l kAC, kAC,k l = -a, -a =, a =,例3：满足线性约束条件 的可行域中共有 多少个整数解。,1,2,2,3,3,1,4,4,5,5,x,y,0,解：由题意得可行域如图:,由图知满足约束条件的 可行域中的整点为(1,1)、 (1