第2章 解析函数.ppt

1、第二章 解析函数,2.1解析函数的概念 2.2解析函数和调和函数的关系 2.3初等解析函数,2.1 解析函数的概念,1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念,定义：,存在, 则就说f (z)在 z0可导, 此极限值就称为f (z)在 z0 的 导数，记作,应该注意：上述定义中 的方式是任意的。,如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在内可导.,一. 复变函数的导数,例1 问 f (z) = x +2yi 是否可导?,解 这里,所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在.,（即 f (z) = x + 2yi 在整个复平面处处不可导.）,例2 证明 f (z)=

2、zRez只在z=0处才可导。,证明,例3 讨论,的可导性。,解：,所以,在复平面上除原点外处处不可导。,例4 求 f (z) = z2 的导数。,解 因为,所以f (z) = 2z .,（即f (z) = z2 在复平面处处可导。）,可导与连续的关系 若函数 在点 处可导，则 在点 处必连续. 证因为 知 ，故 在点 处连续.,复变函数的微分 定义2 称函数 的改变量 的线性部分 为函数 在点 处的微分，记作,亦即,由此可知，函数 在点 处可导与可微是等价的.,可导 可微 ；,可导 连续。,(2)求导公式与法则, 复常数的导数 c=(a+ib)=0. (zn)=nzn-1 (n是自然数).,-

3、实函数中求导法则的推广, 设函数f (z),g (z) 均可导，则 f (z)g (z) =f (z)g(z)， f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g(z),复合函数的导数 ( f g(z) =f (w)g(z)， 其中w=g(z)。, 反函数的导数 ，其中: w=f (z) 与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。,例5,解,例6 求下列函数的导数. （1） （2） 解 （1） （2）,例7 设 . 解 因为 所以,函数在一点解析,在该点可导。,反之不一定成立。,在区域内：,例如 f (z) = z2,在整个复平面上解析；,仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；,f

4、 (z) = x +2yi,在整个复平面上不解析。,定义,否则称为奇点 。,如果函数 不仅在点 处可导，而且在点 的某邻域内的 每一点都可导，则称 在点 处解析，并称点 是函数的解 析点；,如果函数 在区域 内每一点都解析，则称 在区域 内解析 或称 为区域 内的解析函数，区域 称为的 解析区域,二. 解析函数的概念,例8 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性.,解：,故 f (z)=1/z 除 z = 0外处处解析；,z = 0 是它的一个奇点。,解析函数的性质：,(1) 两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数； (2) 两个解析函数的复合函数仍为解析函数； (3) 一个解析函数不可能仅

5、在一个点或一条曲线上解析； 所 有解析点的集合必为开集。,问题：对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，,如何判别其解析（可导）性？,定理1 函数f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内一点z =x+iy 可导的充分必要条件是: u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微, 在该点满足,上式称为柯西黎曼(Cauchy-Riemann)条件(或方程)，简称 CR条件(或方程),CR条件只是可导的必要条件而非充分条件,定理2 函数f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在其定义域D内解析的充要条件是 u(x,y) 与 v(x,y) 在D内可微, 并满

6、足Cauchy-Riemann方程,三、解析的充分必要条件,注：,在 内存在且连续,在 内可微,推论 ：,例2 讨论函数 的可导性，并求其导数.,解 由,得,则,显然在复平面内 和 的偏导数处处连续,且,即和处处满足CR条件且处处可微，所以，在复平面内处处可导且,例3 讨论函数 的可导性,解 因为,得,显然， 、 处处具有一阶连续偏导数，但仅当 时， 、 满足CR条件.因此， 仅在点 处可导.,例4 证明 在复平面上不可微.,证 由于 ，于是，,从而,显然，对复平面上任意一点 ， 都不满足CR条件，所以 在整个复平面上不可微.,例5 讨论下列函数的解析性.,解,设,因为,且这四个偏导数处处连续

7、，故,在复平面上处处解析,2.2 解析函数与调和函数的关系,定义1,(称为调和方程或Laplace方程),定理1：,证明：,且u, v有任意阶连续偏导数,同样可得,注：逆定理显然不成立，即,对区域D内的任意两个调和函数 u, v,不一定是解析函数 .,定义2,若u与v是区域D内的调和函数且满足C-R程，,则称v为u的共轭调和函数 .,定理2：,在区域D内解析,v为u的共轭调和函数 .,解析函数的虚部为实部的共轭调和函数,例如：,是解析函数，,不是解析函数。,公式不用强记！可如下推出：,类似地，,然后两端积分得，,例,解,偏 积分 法,故,又解,曲线积分法,又解,凑 全 微分 法,又解,不定 积

8、分 法,例2 验证 是z平面上的调和函数,并求以 为实部的解析函数 ,使,解 因在z平面上任一点,故 在平面z上为调和函数.,先由C.-R条件中的一个得,故,再由C.-R条件中的另一个得,即,故,因此,即,由,故,2.3初等解析函数,1.指数函数,2.对数函数,3.幂函数,4.三角函数,5.反三角函数,定义：,性质：,1. 指数函数,2 对数函数,定义：,记：,多值性,-主值支,例1 求,解 因为 的模为 ，其辐角的主值为 ，,所以,而,又因为 的模为 ，而其辐角的主值为 ，,所以,性质：,(2) Ln z为无穷多值函数，每两个值相差2 i的整数倍,(4) 除去原点与负实轴, ln z在复平面

9、内处处解析：,今后我们应用对数函数Ln z时, 指的都是它在除去 原点及负实轴的平面内的某一单值分支.,问题：,复变量对数函数具有与实变量对数函数同样的基本性质：,（1）,（2）,（3）,3 幂函数,定义：,- 单值函数,- n值函数,- n值函数,- 无穷多值函数,在除原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且,例2 求,解,例3 求,解,例4 求,解,所以 的三个值分别为,例5,解下列方程：,解,4. 三角函数,定义4 设 为任一复变量，称,与 分别为复变量 的正弦函数与余弦函数，分别记为 与 ，即,正弦函数与余弦函数的性质：,（1） 与 都是以 为周期的周期函数，即,（2） 为奇函数， 为偶函数，即对任意的 有,（3）实变函数中的三角恒等式，在复变函数中依然成立，如,（4） 和 都是无界的.,因为,可见，当 无限增大时， 趋于无穷大，,同理可知， 也是无界的.,（5） ， 在复平面内均为解析函数，且,其它四个三角函数，利用 和 来定义：,例6 求,解 根据定义，