第5章电路与信号分析基础

1、第5章电路与信号分析基础,本章要点,周期信号的傅里叶级数展开 周期信号的频谱 非周期信号的傅里叶变换 傅里叶变换性质 线性系统的频域分析,章 节 内 容,5.1 连续周期信号的傅里叶级数展开,5.2 连续周期信号的频谱,5.3 连续非周期信号的傅里叶变换,5.4 傅里叶变换性质,5.5 线性系统的频域分析,5.6 滤波器,5.7 Multisim频域分析,信号与系统的频域分析法，是指运用傅里叶级数展开(或傅里叶变换)将信号分解为多个正弦函数的和(或积分)，得到信号的频谱，然后求电路系统对各个正弦分量的响应，得到响应的频谱，最后经过傅里叶反变换求得响应的方法。,频域分析法的意义：,1、傅里叶变换

2、将时域中的微分方程变换为频域中的代数方 程，避开了微分方程的求解和卷积积分的计算。,2、容易推广到复频域分析法，进而分析高阶复杂激励信号作 用下的电路响应 。,3、利用信号频谱的概念便于说明和分析信号失真、滤波、调 制等许多实际问题，从而获得清晰的物理概念。,5.1 连续周期信号的傅里叶级数展开,将信号表示为不同频率的正弦分量的线性组合，称为信号的频谱分析。对连续周期信号进行频谱分析的数学工具是是傅里叶级数，简称傅氏级数。,5.1.1 信号分类,连续,连续,连续,连续,连续,离散,周期,周期,周期,非周期,非周期,非周期,因果,因果,因果,因果,非因果,非因果,图中所有信号都为有界信号,5.1

3、.2 周期信号分解为傅里叶级数,当任何周期函数满足狄利克雷条件时，即满足：,(1) 在一个周期内绝对可积，即,(2) 在一个周期内只有有限个间断点。,(3) 在一个周期内只有有限个极大或极小值。,则该周期函数可展开为一组正交函数的无穷级数之和。,1三角型傅里叶级数,5.1.2 周期信号分解为傅里叶级数,对于周期为T1的周期信号 f(t) ,其三角型傅里叶级数展开式为,式中,称为周期信号的角频率也称为基波角频率,a0是直流分量,an和bn分别是余弦分量和正弦分量的幅度，又称为傅里叶系数。,5.1.2 周期信号分解为傅里叶级数,a0、an和bn的计算公式为：,周期信号还可写为紧凑的三角型傅里叶级数

4、形式,5.1.2 周期信号分解为傅里叶级数,两种表示形式的傅里叶级数的系数有如下关系：,2指数型傅里叶级数,根据,5.1.2 周期信号分解为傅里叶级数,得,令,由于an是n的偶函数，bn是n的奇函数，于是有,5.1.2 周期信号分解为傅里叶级数,如果将n的取值范围理解为,则,称该式为指数型傅里叶级数，,式中,三角型傅里叶级数的系数与指数型傅里叶级数的系数之间的转换关系为,5.1.2 周期信号分解为傅里叶级数,式中,5.1.3 信号对称性与傅里叶系数的关系,1偶对称信号,若f(t)关于纵轴对称,称 f(t)为偶信号，,式中,则有,5.1.3 信号对称性与傅里叶系数的关系,2奇对称信号,若f(t)

5、关于原点对称,称 f(t)为奇信号，,式中,则有,5.1.3 信号对称性与傅里叶系数的关系,3偶谐函数信号,若f(t)沿时间轴平移半个周期后与原波形完全重叠 ,称 f(t)为偶谐函数信号，,式中,则有,5.1.3 信号对称性与傅里叶系数的关系,4奇谐函数信号,若f(t)沿时间轴平移半个周期后与原波形相对于时间轴镜像对称 ,称 f(t)为奇谐函数信号，,式中,则有,例,解,5.1 如图5.6所示的周期对称方波，求其傅里叶级数展开式。,f(t)是奇函数，因此,傅里叶级数展开式为,例,解,f(t)是偶函数，因此,傅里叶级数展开式为,5.2 连续周期信号的频谱,周期信号各个频率分量的振幅及相位沿频率轴

6、分布的图形，称为信号的频谱图，包括幅度频谱图和相位频谱图两种。按照展开式的形式不同，分为单边频谱图和双边频谱图。,5.2.1 单边频谱,若周期信号f(t)的三角函数形式的傅里叶级数展开式为,5.2.2 双边频谱,若周期信号f(t)的三角函数形式的傅里叶级数展开式为,式中n为-+的整数，f(t)对应的频谱图在频率轴的正、负频率各边均有谱线,例,解,单边幅度频谱和单边相位频谱,根据三角型傅里叶级数与指数型傅里叶级数系数间的关系，得,5.2.3 典型矩形脉冲信号的频谱,1周期矩形脉冲信号的频谱,脉宽为，脉冲幅度为A，重复周期为T1的周期矩形脉冲信号，在一个周期内的表达式为,其指数型傅里叶系数为,5.

7、2.3 典型矩形脉冲信号的频谱,它有如下特点：,(1) Sa(x)是偶函数。,(2) 除了x = 0外，Sa(x)的过零点与sinx类似,(3),(4) Sa(x)随着x的增大其幅度按1/x的规律单调衰减并趋于0,据此可绘出周期矩形脉冲信号 的双边幅度频谱图,由于Fn为实数，当n0，且满足,时，Fn0，Fn对应的相位为0,当n0，且满足,时，Fn0，Fn对应的相位为,对称的，可以讨论n0时的相位频谱情况,5.2.3 典型矩形脉冲信号的频谱,5.2.3 典型矩形脉冲信号的频谱,周期矩形脉冲信号的双边幅度频谱图和相位频谱图，分别如右图所示。,2周期信号频谱的特点,(1) 离散性,(2) 谐波性,(

8、3) 收敛性,3周期信号的有效频谱宽度,5.2.3 典型矩形脉冲信号的频谱,周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，它可以分解为无限多个频率分量，但其主要能量却集中在第一个零分量频率之内。因此，通常把 0 2/这段频率范围称为矩形脉冲信号的有效频谱宽度或信号占有频带，记为,显然，有效频谱宽度与脉冲宽度成反比。,5.2.3 典型矩形脉冲信号的频谱,4周期信号的脉冲宽度和周期对频谱的影响,当周期矩形信号的周期 T1不变时，减小脉冲宽度时，信号的频带宽度增大，并且各次谐波的振幅减小，即振幅收敛速度变慢。反之，增加脉冲宽度时，信号的频带宽度减少，各次谐波的振幅收敛速度变快。,当脉冲宽度不变，增大周期 T1

9、，则,(1)零分量频率的位置不变，信号的有效频谱宽度也不变。,(2)离散谱线的间隔变小（ ），即谱线变得更密集 。,(3) 各谱线的幅度（ ）变小，包络线变化缓慢，即振幅收敛速度变慢。,5.2.4 傅里叶级数在电路分析中的应用,1非正弦周期信号的有效值,若任一周期信号i(t)对应的傅里叶级数展开式为,可以证明 ， i(t)的有效值可按下式计算:,各次谐波有效值与最大值之间的关系为,任一周期信号u(t)也有类似结论,2非正弦周期信号电路中的平均功率,5.2.4 傅里叶级数在电路分析中的应用,可以证明，二端网络吸收的平均功率可按下式计算：,必须注意，只有相同频率的谐波电压和电流才能构成平均功率，不

10、同频率的谐波电压和电流不能构成平均功率，也不等于端口电压的有效值与端口电流有效值的乘积。,3非正弦周期电路的分析,5.2.4 傅里叶级数在电路分析中的应用,一般的分析步骤如下：,把给定的非正弦输入信号分解成直流分量和各次谐波分量, 并根据精度的具体要求取前几项。,(2) 分别计算各谐波分量单独作用于电路时的电压和电流。,(3) 应用线性电路的叠加原理, 将各次谐波作用下的电压或电 流的瞬时值进行叠加。,例,解,直流分量作用于电路时,电路等效模型如图 (b)所示,电流源端电压中直流分量为,U0 = (10+22)=14 V,频率为的正弦信号分量激励下，电路的相量模型如图 (c)所示,电流源端电压

11、相量求解如下,解得,电流源的端电压瞬时表达式为,电流源的端电压有效值为,电流源发出的平均功率为,5.3 连续非周期信号的傅里叶变换,5.3.1 非周期信号的傅里叶变换,任何非周期连续信号，当满足狄里克雷条件，即满足,(1) 在一个周期内绝对可积，即,(2) 在一个周期内只有有限个间断点；,(3) 在一个周期内只有有限个极大或极小值。,都可表示为,其中,称为傅里叶反变换,称为傅里叶正变换,f(t)和F（j)合称为傅里叶变换对，表示为,或,5.3.2 傅里叶变换的物理意义,对于周期信号f(t) ，定义,为频谱密度函数，简称频谱函数，它表示单位频率上的谐波幅度。,可以证明，实信号f(t) 的频谱密度

12、函数的幅度谱 为偶函数，而其相位谱 为奇函数,则,可见，非周期连续信号f(t)可表示为无限多个余弦信号的叠加。,5.3.3 典型非周期信号的傅里叶变换,常用信号是组成复杂信号的基础，掌握一些典型非周期信号的频谱，再结合傅里叶变换的性质，几乎可以分析工程上遇到的绝大多数信号的频谱。,1单边指数信号,其表达式为,， a 0,则,5.3.3 典型非周期信号的傅里叶变换,2单位阶跃信号,由于,其表达式为,则,解得,3单位符号信号,5.3.3 典型非周期信号的傅里叶变换,其表达式为,由于,则,4单位冲激信号,5.3.3 典型非周期信号的傅里叶变换,其表达式为,根据傅里叶变换的定义和冲激信号的取样特性，可

13、得,5. 单位直流信号,由于,则,5.3.3 典型非周期信号的傅里叶变换,6矩形窗信号,其表达式为,则,返回,5.4 傅里叶变换性质,傅里叶变换的性质揭示了信号在时域与频域变化的对应关系。利用这些变换性质可方便地求出傅里叶正、反变换，避免直接用傅里叶变换定义求解时遇到的积分运算困难。,5.4.1 线性,若,则,5.4.2 时移性,若,则,5.4.3 频移性,若,则,5.4.4 尺度变换,若,则,5.4.5 对称性,若,则,例,解,根据门信号的频谱和傅里叶变换的时移特性，有,例,解,根据门信号的频谱和傅里叶变换的尺度变换性，有,例,解,根据门信号的频谱有,根据对偶性有,即,5.4.6 时域微分性

14、、积分性,1时域微分性,若,则,2时域积分性,若,则,5.4.7 频域微分性、积分性,1频域微分性,若,则,2频域积分性,若,则,5.4.8 卷积定理,1时域卷积定理,若,则,2频域卷积定理,若,则,例,解,由于,根据时域微分性有,例,解,由于,根据时域积分性有,5.17 求阶跃信号的傅里叶变换。,且,5.5 线性系统的频域分析,5.5.1 系统的频率特性H(j),1H( j)的定义,对于任意一个线性时不变系统，若激励为x(t) ，响应为y(t),激励的傅里叶变换为X(j),响应的傅里叶变换为Y (j),则定义,为该系统的系统函数，也称为该系统的频率响应特性,写成指数形式，则有,|H()|称为

15、H(j)的模，()为H(j)的辐角。,2H( j)的求法,5.5.1 系统的频率特性H(j),当给定描述系统的微分方程时，可对微分方程两边同时做 傅里叶变换后，再由定义式求解,(2) 当已知系统的单位冲激响应h(t) ,对其进行傅里叶变换 即可,(3) 当给定系统电路模型时，可用正弦稳态电路相量模型求解,例,解,由时域微分性,因此,例,解,5.21 试求图5.28(a)中以i2(t)为响应时的频域系统函数,因此,(1) 用冲激响应的傅里叶变换求解,根据三要素法先求出阶跃响应,而单位冲激响应为,根据傅里叶变换的时域微分性得,(2) 用正弦稳态电路相量模型求解,电路对应的相量模型为,根据相量分析法

16、，可知,因此,5.5.2 频域分析法,系统的频域分析法是从信号频谱分析的角度来讨论连续时间信号作用于系统时，在频域中求解响应的方法，一般步骤如下：,(1) 对激励信号进行傅里叶变换，得到其频谱函数F(j),(2) 求出系统频率特性H(j),(3) 求系统响应的傅里叶变换,(4) 如果要求输出时域解，再将Y(j)从频域反变换到时域， 求出时域响应函数 y( t ),例,解,5.22 单位阶跃电压作用于如图5.29(a)所示的RC电路，求电容C上电压的响应uc(t),(1)求激励信号的频谱,(2) 求系统频率特性,电路对应的相量模型为,令,则,(3) 求输出响应的频谱,由于单位阶跃信号对应的频谱函

17、数为,输出响应频谱函数为,(4) 由输出响应的频谱，经傅里叶反变换求得时域响应,5.5.3 电路无失真传输信号的条件,所谓无失真传输，是指传输系统的响应与激励相比，只是大小与出现的时间不同，而在波形上无变化。如图所示：,系统的无失真传输的时域条件表示为,进行傅里叶变换，并根据时移特性，得到,无失真传输系统的频率特性为,5.5.3 电路无失真传输信号的条件,即,无失真传输系统的频率特性如图5.31所示,5.5.3 电路无失真传输信号的条件,如果系统的输入为单频信号，由于这种激励下响应仅仅是激励信号幅度大小的变化和波形位置的变化，则该系统的响应不会失真。,如果系统的输入包含多个频率分量，当系统对不

18、同频率分量的幅度加权系数不同，或者是对不同频率分量附加的相移不同时，将使得不同的频率分量在时间轴上移动的距离不同，那么系统线性叠加后，系统的响应将有失真 。,5.6 滤波器,5.6.1 滤波器概述,从一个输入信号中提取或增强所需要的频率分量，滤除或衰减某些不需要的频率分量，这个处理过程称为信号的滤波。其中，滤除或衰减的频率范围称为滤波器的阻带 ；提取或保留的频率范围为滤波器的通带，通带和阻带之间的分界频率称为截止频率，用C表示。,根据滤波器通带与阻带在频率轴上占据的相对位置不同，将滤波器分为低通滤波器（LPF)、高通滤波器(HPF)、带通滤波器BPF)、带阻滤波器(BEF)、全通滤波器(APF

19、)等不同类型。,5.6.1 滤波器概述,根据滤波器所采用的元器件的不同，分为无源滤波器和有源滤波器两种。根据所处理的信号不同，分为模拟滤波器和数字滤波器两种。,5.6.2 理想滤波器的频率特性,理想滤波器是指能使通带内信号的幅值和相位都不失真，阻带内的频率成分都衰减为零的滤波器。,即,对应的频率特性为,四种理想滤波器的频率特性如图5.34所示,5.6.3 理想低通滤波器的单位冲激响应,当理想低通滤波器的激励信号为单位冲激信号(t)时，对应的频率特性为,对应的单位冲激响应为,单位冲激响应波形如下图,可以看出：,（1）冲激响应延迟了t0秒,（2）输出脉冲在其建立之前和建立之后都出现了震荡现象。 特

20、别是在t 0时， (t)=0，但 h(t)却不为零，这在现实 的物理系统中是不可能实现的。,5.6.4 理想低通滤波器的单位阶跃响应,根据,经过积分，得单位阶跃响应为,其中,波形如图所示,可见，虽然单位阶跃信号(t)在t 0时为零，但s(t)不为零，同样反映了理想低通滤波器的非因果性。而且单位阶跃响应也产生了t0的延时 。,而,是不能积分的超越函数，可将抽样函数展开为幂级数再积分求解。其结果已经制成表格。,5.6.4 理想低通滤波器的单位阶跃响应,为了衡量一个系统的快速反映性能，定义系统的上升时间tr为单位阶跃响应从最小值上升到最大值所需要的时间。可以推导出上升时间为,单位阶跃响应的上升时间与

21、理想低通滤波器的带宽成反比，滤波器的截止频率越高，上升时间越短，边沿变化越陡峭。,5.6.5 实际的低通滤波器,物理可实现的实际滤波器具有如下特点:,(1)通带和阻带之间有缓冲形成过渡带；,(2)允许通带内各个频率的增益有一定的差异，即允许通带内的起伏。,(3)允许在阻带内幅频特性不等于零，只要幅度小到足以阻止相应信号通过即可。,5.7 Multisim频域分析,5.7.1 用Multisim对信号进行傅里叶分析,例,解,5.25 用Multisim对三角波信号进行傅里叶分析。,(1) 按图5.40(a)所示建立仿真电路,(2)设置傅里叶分析 参数,(3)设置输出变量，单击“Simulate”按 钮进行仿真。,傅里叶分析结果如下图,频谱具有离散性、谐波性、收敛性的特点,5.7.2 用Multisim对网络的传输特性进行分析,例,解,5.26 用Multisim对RC低通电路的传输特性进行分析。,(1) 按图5.44所示建立仿真电路,(2) 启动仿真按钮，双击示波器图标，示波器的参数设置及其仿真曲线如图5.45所示,(3)使用波特仪或Multis