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文档简介

1、12.4.2 幂级数性质,幂级数不仅形式简单, 而且具有优良的分析性质.,通过本节学习, 要求做到：,2. 会用幂级数的性质求和函数.,1.理解幂级数的运算性质和分析性质;,定理1 设,则对,用级数和的定义-部分和的极限可以证明:,(1),(2),一、幂级数的线性运算性质,及任意常数 , 有:,(常数因子可以提出),(级数相加可合并系数),则,评注 1) 上述运算不改变收敛半径, 故可在收敛区间上反复进行;,二、和函数的分析运算性质,2) 运算未涉及收敛区间的端点, 故结果级数的收敛域仍需讨论.,定理2 设,3)应用-给出了幂级数求和函数的主要方法,根据微分和积分的关系, 借助几何级数的求和结

2、果, 有公式:,或,例1 求下列级数的和函数,解 此处的收敛半径 r = 1.,(在收敛区间求出和函数,和函数定义域即级数收敛域),对,原级数显然发散, 和函数也无定义.,.,解 此处 r = 1,而在x =1处, 函数无定义.,收敛,故,对,例2 对下列级数求和：,解 由上例1 可知：,故,由于此处, 在中取,即得,注 和函数为数项级数求和提供了另类重要途径.如:,解 由例2 知, 该级数的收敛半径 r+.,例3,可得,解此一阶微分方程(分离变量, 积分求解):,的和函数 .,设,亦即,例4 求和函数,提示 这里半径等于1;先积分化为几何级数,后求导即得和函数,提示 这里r =1;先求导化为几何级数,后积分即得和函数,提示 取级数,则有 r = 1,由于,所以,(互动练习),在收敛区间(-1,1)上:,注 根据需要, 求和函数时可以多次应用级数的分析性质.,答,不一定.,例如, 对,计算可知: 它们的收敛半径都是1,但收敛域却分别是:,三、有关分析性质的问题与思考,1.幂级数的连续性、逐项积分均保持其收敛域不变,那么逐项求导后, 其收敛域是否也不变？,逐项求导, 得到:,n 为奇数,n 为偶数,能否确定它的收敛半径不存在 ?,答 不能.,因为,时级数发散 ,原因 可以证明,比值判别法成立,根值判别法成立.,3.和函数已知的常用幂级数有：,以后均可作为幂级数求和函数的公式.,2

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