2013年上海市中考数学试卷(附答案解析)

1、 1 2013 年上海市初中毕业生统一学业考试 数学试卷 （满分 150 分，考试时间 100 分钟） 考生注意： 1本试卷含三个大题，共 25 题；2答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿 纸、本试卷上答题一律无效；3除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置 上写出证明或计算的主要步骤 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 6 题，每题题，每题 4 4 分，满分分，满分 2424 分）分） 【下列各题的四个选项中， 有且只有一个选项是正确的， 选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上 】【下列各题的四个选项中， 有且只有一个选项是

2、正确的， 选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上 】 1下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） （A） 9； （B） 7 ； （C） 20； （D） 1 3 【答案】 B 【考点分析】 本题主要考察最简二次根式的概念 【解题思路】 本题解题的关键在于紧扣住最简二次根式的概念逐个辨析所给选项即可获得答案 B 【解题过程】 根据题意选项 A：9=3，选项 C：202 5，选项 D： 11 3 33 ，根据最简二 次根式的概念，可以发现答案选择 B 【方法总结】 一个根式是否为最简二次根式，必须满足两个条件（1）根号内不含有开方开的尽的 因数或因式， （2）二次根式的根号内不含有分母 【关键词】

3、 二次根式 最简二次根式 2下列关于 x 的一元二次方程有实数根的是（ ） （A） 2 10 x ； （B） 2 10 xx ； （C） 2 10 xx ； （D） 2 10 xx 【答案】D 【考点分析】 本题主要考察一元二次方程中的根的判别式的概念 【解题思路】 本题解题的关键在于知晓并应用一元二次方程中的根的判别式的概念逐个辨析所给选 项即可获得答案D 【解题过程】 根据题意选项 A：明显无实数根，选项 B：0，选项 C：0，根据一元二次方 程中的根的判别式的概念，可以发现答案选择D 【方法总结】 一元二次方程（形如： 2 00axbxca）根的判断： （1）0方程有两个不 等实数根（2

4、）0=方程有两个相等实数根（3）0方程没有实数根 【关键词】 一元二次方程 根的判别式 2 3如果将抛物线 2 2yx向下平移 1 个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） （A） 2 (1)2yx； （B） 2 (1)2yx； （C） 2 1yx； （D） 2 3yx 【答案】C 【考点分析】 本题主要考察二次函数图像的平移的知识点 【解题思路】 本题解题的关键在于掌握二次函数的图像的知识点逐个辨析所给选项即可获得答案C 【解题过程】 根据题意选项 A：应该是向右平移 1 个单位，选项 B：应该是向左平移 1 个单位， 选项 D：应该是向上平移 1 个单位，可以发现答案选择C 【方法总结】

5、二次函数（ 2 0yaxbxc a）化成 2 ya xhk，h控制左右平移即左加右减 k控制上下平移，即上加下减 【关键词】 二次函数 二次函数图像 平移 4数据 0，1，1，3，3，4 的中位线和平均数分别是（ ） （A） 2 和 2.4 ； （B）2 和 2 ； （C）1 和 2； （D）3 和 2 【答案】B 【考点分析】 本题主要考察统计初步中的平均数和中位数的概念及算法 【解题思路】 本题解题的关键在于掌握平均数和中位数的概念及算法即可获得答案B 【解题过程】 由于给予的数据是一组从小到大排列的数据，所以我们只需要根据平均数和中位数的 计算方法。可以发现答案选择是B 【方法总结】 平

6、均数的求法： 12 1 n xxxx n ； 中位数的求法：数据从大到小或从小到大排好顺序以后，若为偶数个数，就是最中间的两个数加起来 除以 2，即两个数的平均数。比如：1，2，3，4，5，6，中位数就是 34 3.5 2 ；若为奇数个数，比 如：1，2，3，4，5，6，则其中位数为 3 【关键词】 统计 中位数 平均数 5如图 1，已知在ABC 中，点 D、E、F 分别是边 AB、AC、BC 上的点， DEBC，EFAB，且 ADDB = 35，那么 CFCB 等于（ ） （A） 58 ； （B）38 ； （C） 35 ； （D）25 【答案】A 【考点分析】 本题主要考察平行线分线段成比例

7、定理的推论 【解题思路】 本题解题的关键在于掌握 DEBC，EFAB 这两个条件 将平行四边形的边长进行转换，即可获得答案A 【解题过程】 通过题目条件可以得到 3 8 ADDE ABBC ，由于/ /DEBC、/ /EFAB得到四边形DEFB 是平行四边形，得到DEBF， 3 8 CF BC ，即可以发现答案选择A 【方法总结】 平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延 长线）所得对应线段成比例；两组对边平行的四边形是平行四边 【关键词】 平行线分线段成比例定理 平行四边形 图 1 C F ED B A 图 1 3 6在梯形 ABCD 中，ADBC，对角线

8、AC 和 BD 交于点 O，下列条件中，能判断梯形 ABCD 是等腰 梯形的是（ ） （A）BDC =BCD； （B）ABC =DAB； （C）ADB =DAC； （D）AOB =BOC 【答案】C 【考点分析】 本题主要考察等腰梯形的判定和全等三角形的判定方法 【解题思路】 本题解题的关键在于掌握等腰梯形的判定方法，即可获得答案C 【解题过程】 逐个辨析发现当ADBDAC时，可推出ACBD，根据等腰梯形判定定理中的“对 角线相等的梯形是等腰梯形” ，即可以发现答案选择C 【方法总结】 等腰梯形的判定有： （1）有两腰相等的梯形是等腰梯形 （2）对角线相等的梯形是等 腰梯形（3）同一底边上的两

9、个底角相等的梯形是等腰梯形 【关键词】 梯形 等腰梯形判定 二、填空题： （本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 请将结果直接填入答题纸的相应位置 7因式分解： 2 1a = _ 【答案】11aa 【考点分析】 本题主要考察因式分解的意义以及平方差公式 【解题思路】 本题解题的关键在于掌握因式分解中的平方差公式，即可获得答案11aa 【解题过程】 根据平方差公式，可以发现答案11aa 【方法总结】 平方差公式： 22 ababab 【关键词】 因式分解 平方差 8不等式组 10 23 x xx 的解集是_ 【答案】1x 【考点分析】 本题主要考察解一元一次不等式组的方法 【解题思

10、路】 本题解题关键在于掌握一元一次不等式组的方法，即可获得答案1x 【解题过程】 根据解一元一次不等式组 101 1 233 xx x xxx 【方法总结】 一元一次不等式组的解法方法： （1）先分别求出不等式组中各个不等式的解集 （2）利用数轴找出各个不等式的解集的公共部分（3）写出不等式的解集 【关键词】 一元一次不等式 一元一次不等式组 4 9计算： 2 3ba ab = _ 【答案】3b 【考点分析】 本题主要考察分式乘法计算的方法 【解题思路】 本题解题关键在于掌握分式乘法计算的方法，即可获得答案3b 【解题过程】 2 3b a a b 3b 【方法总结】 分式的运算是初中数学的重要

11、内容之一，其方法：（1）注意运算顺序及解题步骤， 把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算 中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。 【关键词】 分式的运算 10计算： 23abb= _ 【答案】2ab 【考点分析】 本题主要考察向量的加减法 【解题思路】 本题解题关键在于掌握向量的加减法，即可获得答案2ab 【解题过程】 232232abbabbab 【方法总结】 向量的加减法的方法： （1）运算法则 （2）向量的加法的运算律 【关键词】 向量的加减法 11已知函数 2 3 1 f x x ，那么 2f=

12、 _ 【答案】1 【考点分析】 本题主要考察函数的映射概念 【解题思路】 本题解题关键在于掌握函数的映射概念，将2x 代入，即可获得答案1 【解题过程】 2 33 21 3 21 f 【方法总结】 在某一变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值 与它对应，则y与x有函数关系。只需讲给予的x代入所给的函数解析式中即可 【关键词】 函数的映射 对应 5 12将“定理”的英文单词 theorem 中的 7 个字母分别写在 7 张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上， 任取一张，那么取到字母 e 的概率为_ 【答案】 2 7 【考点分析】 本题主要考察初步学会用树形图分析

13、概率问题的方法或者初步掌握等可能试验中事件 的概率计算公式，会运用公式计算简单事件的概率 【解题思路】 本题解题关键在于会使用树形图或是公式计算简单事件的概率，即可获得答案 2 7 【解题过程】 利用公式计算： 2e 77 一共有2个 一共 个字母 【方法总结】 等可能概率计算公式： m n P 事件可能发生的结果数 一次试验所有可能出现的结果数 【关键词】等可能事件 概率计算 13某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图 2 所示，那么报名参加甲组和丙组的人数 之和占所有报名人数的百分比为_ 【答案】40% 【考点分析】 本题主要考察能够通过频数直方图获取数据 【解题思路】 本题

14、解题关键在于对于图表数据的获取，即可获得答案40% 【解题过程】 从频数直方图中获取数据： 5030802 40% 508030402005 【方法总结】 计算百分比的方法： （1）辨析频数直方图和频率直方图 （2）看清楚题目所求的具体是哪一块 （3）根据公式求出百分比 【关键词】频数直方图获取数据 14在O中，已知半径长为 3，弦AB长为 4，那么圆心O到AB的距离为_ 【答案】5 【考点分析】 本题主要考察圆的有关性质垂径定理及其推论 【解题思路】 本题解题关键在于对于垂径定理的辅助线以及计算，即可获得答案5 【解题过程】 过圆心O作AB的垂线交AB于点D，由垂径定理，得 1 2 2 AD

15、AB，在Rt AOD中，运用勾股定理，得5OD 【方法总结】 垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧 【关键词】 垂径定理 D BA O 图 2 丁 丙 乙甲 40 30 80 50 人数 6 15如图 3，在ABC和DEF中，点 B、F、C、E 在同一直线上，BF = CE，ACDF，请添加一个 条件，使ABCDEF，这个添加的条件可以是_ （只需写一个，不添加辅助线） 【答案】AD 或ACDF或/ /ABDE等 【考点分析】 本题主要考察全等三角形的判定 【解题思路】 本题解题关键在于对于全等三角形的判定的几种方法的 熟练程度，即可获得答案AD 或ACDF或/ /ABDE等 【

16、解题过程】 由题目条件BFCE可得到BCEF； / /ACDF可得到ACBDFE，要使ABCDEF缺了边或角 【方法总结】 全等三角形的判定方法： （1）角边角（. .AS A） （2）角角边. .A AS（3）边角边. .S AS （4）边边边（. .S S S） （5）斜边、直角边（.H L） 【关键词】 全等三角形 16李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间 是一次函数关系，其图像如图 4 所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是_升 【答案】20 【考点分析】 本题主要考察一次函数图像及其应用 【解题思路】 本题解题关键在于一次函数解析式的确

17、定以及对于 题目所求的数据的把握，即可获得答案是20 【解题过程】 由给予的图像，设一次函数350ykxk 将160,25代入，得 1 16 k ，则 1 35 16 yx 再将240 x 代入 得此时20y 【方法总结】 利用待定系数法确定一次函数的解析式 【关键词】 一次函数图像及其应用 17当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形” ，其中称为 “特征角” 如果一个“特征三角形”的“特征角”为100，那么这个“特征三角形”的最小内角的 度数为_ 【答案】30 【考点分析】 本题主要考察“特征三角形”中的“特征角”的概念 【解题思路】 本题解题关键在于掌握新定义

18、类题目的解法读懂题目的定义，根据定义来求得具体 角度。即可获得答案是30 【解题过程】 根据题目给予的定义，得100210050，进一步求出最小内角是 1801005030 【方法总结】 准确地理解题目中出现的新定义 【关键词】 新定义 新概念 D E C F B A 图 3 x (千米) y (升) 35 25 240160 O 图 4 7 18如图 5，在ABC中，ABAC，8BC ， tan C = 3 2 ，如果将 ABC沿直线 l 翻折后，点B落在 边AC的中点处，直线 l 与边BC交于点D，那么BD的长为_ 【答案】15 4 【考点分析】 本题主要考察翻折的知识点 【解题思路】 本

19、题解题关键在于掌握轴对称图形的画法，来确定D点， 运用锐角三角比或是勾股定理以及中位线定理的辅助。即可获得答案是15 4 【解题过程】 解法一：通过作BE的垂直平分线，确定D点的位置， 过点A、E分别作BC的垂线，垂足为G点和H点。 由于E点是AC的中点，EH是AG的中位线。 由于ABAC， 3 tan 2 C ，得到6AG ，3EH ； 4GC ，2HC 因为8,6BCDHBD 在Rt EDH中， 222 EHDHED， 进一步代入，得 2 22 36BDBD，解得： 15 4 BD 解法二：3EH ，6BH ，得到3 5BE ，可知RtBEH 是1,2, 5的直角三角形，且Rt BDF也是

20、1,2, 5的直角三角形， 3 55 2 2 25 BF BD BD 15 4 【方法总结】 解翻折题的方法： 第一种类： （1）中垂线确定点 （2）设x （3）利用锐角三角比 （4）勾股定理 第二种类： （1）连接对应点的连线出现中点和垂足 （2）利用直角三角形相似 【关键词】 翻折 中垂线 勾股定理 锐角三角比 三、解答题： （本大题共 7 题，满分 78 分） （本大题共 7 题，1922 题 10 分，23、24 题 12 分，25 题 14 分，满分 48 分） 将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上 19计算： 01 1 821( ) 2 【答案】 3 2 【考点分析】 本题

21、主要考察四则混合计算的知识点 【解题思路】 本题解题的关键是掌握好根式、绝对值、零次幂以及负指幂的化简及其计算，即可获 得答案是3 2 CB A 图 5 HG E D CB A A BC D E GH F 8 【解题过程】 01 1 821( ) 2 2221123 2 【方法总结】根式化简方法： （1）乘法公式法（2）因式分解法（3）整体代换法（4）巧构常值代入法 绝对值化简方法： （1）根据题目条件 （2）借用数轴 （3）零点归纳法 整数指数幂运算： （1） mnm n aaa （2） n mmn aa（3） n nn aba b（4） mnm n aaa （5） n n n aa bb

22、【关键词】计算 整数指数幂 绝对值 根式 20解方程组： 22 2 20 xy xxyy 【答案】 1 1 4 2 x y 或 2 2 1 1 x y 【考点分析】 本题主要考察二元二次方程组的计算 【解题思路】 本题解题的关键是选择合适的方法解方程组，即可获得答案是 1 1 4 2 x y 或 2 2 1 1 x y 【解题过程】 22 2 20 xy xxyy 由得20 xyxy 20 xy或0 xy，原方程组可化为 2 20 xy xy ， 2 0 xy xy 解这个两个方程组，得 1 1 4 2 x y 或 2 2 1 1 x y 【方法总结】 解方程组的方法： （1）代入消元法 （2

23、）加减消元法 （3）因式分解法 【关键词】二元二次方程组 21已知平面直角坐标系xoy（如图 6） ，直线 1 2 yxb经过第一、二、三象限，与y轴交于点B，点A （2，t）在这条直线上，联结AO，AOB的面积等于1 （1）求b的值； （2）如果反比例函数 k y x （k是常量，0k ）的图像经过点A， 求这个反比例函数的解析式 【答案】 （1）1b （2） 4 y x 【考点分析】 本题主要考察一次函数和反比例函数的概念、图像及其应用 【解题思路】 本题解题的关键是根据所给的1 AOB S，列出相应的等式求出未知的1b ，进一步求 出A点的坐标代入反比例函数的解析式，即可获得答案是 4

24、y x 【解题过程】 （1）因为直线 1 2 yxb经过第一、二、三象限，且与y轴交于点B，OBb O x 1 y 1 图 6 9 又因为2,At，1 AOB S（即 1 1 2 A x b ）解得：1b ，进一步得到2,2A； （2）将2,2A代入 k y x ，得到4k ，即 4 y x 【方法总结】 解函数综合题的方法： （1）看清题目条件，函数图像搞清楚 （2）根据条件设未知数， 来求具体的解析式，一定要保证解析式的正确 （3）掌握好点具体的方位，包括在哪个函数上等 【关键词】 一次函数 反比例函数 面积 22 某地下车库出口处 “两段式栏杆” 如图 7-1 所示， 点A是栏杆转动的支

25、点， 点E是栏杆两段的连接点 当 车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图 7-2 所示，其示意图如图 7-3 所示，其中ABBC， / /EFBC，143EAB，1.2ABAE米， 求当车辆经过时， 栏杆EF段距离地面的高度 （即直线EF 上任意一点到直线BC的距离） （结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75 ） CB 图 7-3 F 图 7-2 图 7-1 F F E E AA E A 【答案】2.2米 【考点分析】 本题主要考察解直角三角形的应用 【解题思路】 本题解题的关键在于如何构造计算简单的直角三角形 根据所给的数据的

26、提示，即可获得答案是2.2米 【解题过程】 分别延长BA和FE交于点M， 因为/ /EFBC，ABBC， 所以90AME 因为143EAB，所以37MAE，在Rt AME中， cosMAAEMAE1.2 0.800.96米，0.96 1.22.162.2MBMAAB米 【方法总结】 解答这类问题主要是把实际问题转化为解直角三角形问题，即将实际问题中的数量关 系，转化为直角三角形中元素之间的关系，并画出正确的示意图，利用已学过图形的性质，作出必要 的辅助线来解决。解直角三角形的关键是构造直角三角形，然后再利用有关的三角知识进行求解。 【关键词】 解直角三角形应用 精确到0.1米 23如图 8，在

27、ABC中，90ABC，BA ，点D为边AB的中点，/ /DEBC交AC于点E， / /CFAB交DE的延长线于点F （1）求证：DEEF； （2）联结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G， 求证：BADGC 【考点分析】 本题主要考察中位线、全等三角形、直角三角形中斜边上 的中线等于斜边的一半、外角定理等的知识点 【解题思路】 本题解题的关键是掌握解几何证明综合题的能力， Rt ABC和点D为边AB的中点，可以知道ADC是等腰三角形，可以转换具体的角度，之后运用外 角性质进一步证明 M CB 图 7-3 F E A 图 8 F E C B D A 10 【解题过程】 （1）点D为边AB

28、的中点，/ /DEBC，AEEC；/ /CFAB， AFCE ，在ADE和CFE中， AFCE AECE AEDCEF . .ADECFE AS A DEEF （2）在Rt ACB中，90ACB，点D为边AB的中点， CDAD，1A ， DGDC 1390 又90AB ，3B / /CFAB 2A 32DGC BADGC 【方法总结】 中点中点中位线；中点直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 直角直角同角的余角相等；角度繁琐的角度转换外角定理 【关键词】 中位线 全等三角形 余角 外角 24如图 9，在平面直角坐标系xoy中，顶点为M的抛物线 2 0yaxbx a经过点A和x轴正半轴上的 点

29、B，2AOOB，120AOB （1）求这条抛物线的表达式； （2）联结OM，求AOM的大小； （3）如果点C在x轴上，且ABC与AOM相似，求点C的坐标 【答案】 （1） 2 32 3 33 yxx （2）150AOM （3）4,0C或8,0C 【考点分析】本题主要考察二次函数解析式的确定，一次函数图像的特殊性以及相似三角形的分类讨论 【解题思路】本题解题关键在于利用特殊角度求出关键点A和点B，来确定二次函数的解析式；解析式 的准确性为第二小题奠定了一个决定性的作用，可以求出顶点M的坐标之后根据一次函数来求出 AOM的角度第二小题更是第三小题分类讨论的提示，我们可以确定150ABC，为分类讨论

30、奠 定基础 【解题过程】 （1）过点A作AH垂直于x轴，垂足为H，120AOB，2AO 1, 3A 由题意得，点B的坐标为2,0抛物线 2 yaxbx经过点A和点B， 3 420 ab ab 解这个方程组，得 3 3 2 3 3 a b 这条抛物线的表达式是 2 32 3 33 yxx M A B O x y 图 9 E 3 21 H G F C B D A M A B O x y H 11 （2）由题意得，顶点M的坐标为 3 1, 3 2 3 3 OM ，30BOM 150AOMAOBBOM （3）150AOM 30OAM，30AMO AOBO，120AOB 30ABO ABC与AOM相似，

31、点C应该在线段OB的延长线上 150ABC，即AOMABC，又可得2 3AB 分两种情况讨论： BCOM ABAO 可得2BC ，4,0C BCAO ABOM 可得6BC ，8,0C x y 30 C2 C1 M B A O 综上所述，ABC与AOM相似时，点C的坐标为4,0C或8,0C （当然可以根据30150ABOABC，再进行进一步的分类讨论） 【方法总结】 二次函数解析式确定最常用的方法：待定系数法 函数综合解题方法： （1）需要有对于坐标与坐标之间关系的嗅觉 （2）平面直角坐标系本身就有直角 （3）一次函数图像的特殊性，形成了可对于我们解题有帮助的特殊角度 （4）每小题之间的联系性 【关键词】二次函数解析式确定 相似三角形分类讨论 25在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，联结BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q， 垂足为点M，联结QP（如图 10） 已知13AD，5AB ，设APx，BQy （1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）当以AP长为半径的P 和以QC长为半径的Q 外切时，求x的值； （3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果4EFEC，求x的值 Q M D CB AP 图 10 D CB A 备 用 图 12 【答案】 （1） 2 25 113 2 x yx x （2） 25 13 x （3） 65 10