离散2-2-代数系统.ppt

1、1,主要内容：,二元代数运算的特殊元素 单位元 零元 逆元： 幂等元 可约元 代数系统的基本概念 代数系统间的关系 同类型,2,逆元： 定义：设*是A上的二元运算，e是关于*的单位元，aA 若alA, 使得al*a=e, 则称al为a关于*的左逆元. 若arA, 使得a*ar=e, 则称ar为a关于*的右逆元. 若aA, 使得a*a=a*a=e, 则称a为a关于*的逆元. 例1中：,7.1 代数运算与代数系统 3.与二元运算相关的特殊元(4),关于+: aR的左逆元、右逆元和逆元均为-a. 关于: aRa0, a的左逆元、右逆元和逆元均为1/a.,例2中:关于: (A)中，的左逆元、右逆元和逆

2、元均为 . 关于: (A)中，U左逆元、右逆元和逆元均为U. 例3中:关于o: *中，空串的左逆元、右逆元和逆元均为. 例4中:关于*: A中，浅色的左逆元、右逆元和逆元均为浅色.,3,定理7.1.6 设*是A上的可结合的二元运算，e是关于*的 单位元, al, ar分别为a关于*的左右逆元， 则al=ar且它是a关于*的唯一逆元。 (P145证明) 幂等元： 定义：设*是A上二元运算，aA，若a*a=a, 则称a是关于*的幂等元。,7.1 代数运算与代数系统 3.与二元运算相关的特殊元(5),4,7.1 代数运算与代数系统 3.与二元运算相关的特殊元(6),可约元： 定义：设*是A上二元运算

3、，aA， x,yA,a*x=a*yx=y,则称a关于*左可约； x,yA,x*a=y*ax=y,则称a关于*右可约； 若a关于*既左可约又右可约，则称a关于*可约； 若aA 都是可约的，则称*满足消去律。 分析例1：R上的加法+、乘法运算 关于+: aR均为左可约，右可约，也是可约的； 关于: aRa0均为左可约，右可约，也是可约的； +， 满足消去律。,5,例2中：关于：是可约的；关于：U可约。 例3中：关于o: * 均可约。 例4中：关于*: 浅色可约。 定理7.1.7 设*为A上的可结合的二元运算，aA， 若a关于*可逆，则a关于*可约。 * 此定理的逆不成立。 例6：N中的乘法运算.

4、关于乘法运算，N中每个非零元素均可约，但不可逆。,7.1 代数运算与代数系统 3.与二元运算相关的特殊元(7),6,定理7.1.7:设*为A上的可结合的二元运算，aA， 若a关于*可逆，则a关于*可约。,证明：x, yA，如果 a*x=a*y, a关于*可逆,=e*x,由a*x=a*y，又有a-1*(a*x)=a-1*(a*y),=(a-1*a)*y,=e*y,=y,=x, x=y 故a关于*左可约。, 有a-1,使a-1*a=a*a-1=e; a-1*(a*x)=(a-1*a)*x,同理可证a关于*右可约。 分析例4的运算表，识别运算的性质及特殊元 封闭性 交换性 单位元 零元 幂等元 x与

5、y互逆,iff 运算表中的每个元素均属于A; iff 运算表关于主对角线对称； iff 该元素对应行与表头行相同,对应列与表头列相同; iff 零元素对应的行和列全部元素都等于零元； iff 主对角线上元素与该行（列）的表头元素相同。 iff x行y列的元素以及y行x列的元素都是幺元。,7,设S为非空集合，*1, *2, *n为S上的代数运算， 称 为一个代数系统/代数结构， S为该代数系统的定义域。 有限代数系统：若S是有限集，其中|S|称为该系统的阶。 例7：, , 其中:,7.1 代数运算与代数系统 4. 代数系统,时钟代数,称1为生成元。 子代数。,8,作业：pp.146 7(1),主要内容：,二元代数运算的特殊元素 逆元： 幂等元 可约元 代数系统、有限代数系统、子代数,9,代数运算例题,例1：R上的加法+、乘法运算是R上的二元运算。 例2：幂集(U)上, 补是(U)上的一元运算，交、并是二元运算。 例3：字符串的连接运算是字符串集合上的二元运算。 字母集合，*由中的字母构成的字符串集合， o字符串的连接运算, o: (*)2* 例4：设A