高考数学一轮复习 2.2函数的单调性精品学案

1、2012版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用2.2函数的单调性【高考目标导航】一、考纲点击1理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义 2会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最值。二、热点、难点提示1利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点；2利用函数的单调性求最值，及利用它们求参数取值范围问题是重点，也是难点；3题型以选择题和填空题为主，与导数知识点交汇时则以解答题的形式出现。【考纲知识梳理】一、函数的单调性（1）单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2，改

2、变量x= x2- x10当x1 x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的（2）单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做f(x)的单调区间。注：单调区间是定义域的子区间函数的单调性反映在图象上是在某一区间上是上升的或下降的；而最大（小）值反映在图象上为其最高（低）点的纵坐标的值。二、函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件 对于任意xI，都有f(x)M 存在x

3、I，使得f(x)=M 对于任意xI，都有f(x)M 存在xI，使得f(x)=M结论M为最大值M为最小值注：函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在。相关提示：函数的单调区间与该函数定义域间的关系函数的单调区间是该函数定义域的子集；函数的定义域不一定是函数的单调区间。一个函数在定义域内的单调性与在某几个子区间上的单调性的关系如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增（减）函数，不能说这个函数在定义域上是增（减）函数，如函数相同单调性函数的和、差、积、商函数的单调性两个增（减）函数的和函数仍是增（减）函数，但两个增函数的差、积、商

4、的函数单调性不确定，同样两个减函数的差、积、商的函数单调性也不确定。奇函数在对称区间上的单调性奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反。因此，具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性。求函数单调性解题策略第一， 看函数的类型，如果是基本函数，常常记住函数的单调区间；第二， 如果是复杂函数，常常利用导数进行研究；第三， 如果是抽象函数，常常利用定义解决，或者借助图象，或者用具体函数代替处理。【要点名师透析】一、函数单调性的判定1、用定义证明函数单调性的一般步骤，即：（1）取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x10且2x0 的定义域为 判断在上是增

5、函数，下证明之：1分设任2分3分 x2x10，2x10，2x20则4分用数学归纳法易证 证略. 12分二、复合函数的单调性1求复合函数y=f(g(x)的单调区间的步骤（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成基本初等函数：y=f(u),u=g(x).（3）分别确定这两个函数的单调区间；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间。注：求函数单调区间时，易忽略函数的定义域。2例题解析例1判断函数的单调区间.思路分析：利用复合函数单调性的判断方法求解解答：y=，例2（1）求函数的单调区间；（2）已知若试确定的单调区间和单调性。解：（1）函数的定义域为，分解基本函数为、显然在上是单调递减的，而在上

6、分别是单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规则：所以函数在上分别单调递增、单调递减。（2）解法一：函数的定义域为R，分解基本函数为和。显然在上是单调递减的，上单调递增；而在上分别是单调递增和单调递减的。且，根据复合函数的单调性的规则：所以函数的单调增区间为；单调减区间为。解法二：， 令 ，得或，令 ，或单调增区间为；单调减区间为。注：判定复合函数的单调性及确定单调区间,关键是把复合函数分解成已知单调性的初等函数.另外，注意不要忽略函数的定义域.三、抽象函数的单调性及最值例1已知f(x)是定义在R上的增函数，对xR有f(x)0，且f(5)=1，设F(x)= f(x)+，讨论F (x)的单

7、调性，并证明你的结论解析：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。在R上任取x1、x2，设x1x2，f(x2)= f(x1)， f(x)是R上的增函数，且f(10)=1，当x10时0 f(x)10时f(x)1； 若x1x25，则0f(x1)f(x2)1， 0 f(x1)f(x2)1，0， F (x2)x15，则f(x2)f(x1)1 ，f(x1)f(x2)10 F(x2) F (x1)综上，F (x)在（，5）为减函数，在（5，+）为增函数注：对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目中所给性质和相应的条件，对任意x1、x2在所给区间内比较f(x2)-f(x1)与0的大

8、小，或f(x1)/ f(x2)与大小。有时根据需要，需作适当的变形：如例2已知函数f(x)对于任意x，yR,总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x0时，f(x)0,f(1)=.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2) 求f(x)在-3，3上的最大值和最小值思路分析：用定义法判断抽象函数的单调性；求函数的最值需借助函数的单调性进行。解答：(1)方法一：函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，令x=y=0，得f(0)=0再令y=-x，得f(-x)=-f(x)在R上任取x1x2，则x=x1-x20，y=f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x

9、2)=f(x),又x0时，f(x)0而x0，f(x)0，即y0,y=f(x1)-f(x2) =f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)=f(x)又x0时，f(x)0，而x0，f(x)0，即y0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c，E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v-c|成正比，比例系数为；（2）其他面的淋雨量之和，其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100，面积S=时，（）写出y的表达式；（）设0v试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少.【思

10、路点拨】本题考查学生运用知识的能力，重点考查学生的以下能力：一是阅读能力.二是转化能力.三是表达能力.能否把文字语言转化为符号语言的理解能力.四是解题能力.本题主要考查学生的阅读能力和建模能力和运算能力，阅读后建立函数模型是关键.【精讲精析】（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，故.（II）由(I)知，当时，当时，故.(1)当时，是关于的减函数.故当时，.(2) 当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，.5. （2010重庆理数）(5) 函数的图象A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称解析： 是偶函数，图像关于y轴对称6.

11、 （2010北京文数）(6)给定函数，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（A） （B） （C） （D）答案：B7. （2010江苏卷）11、已知函数,则满足不等式的x的范围是_。解析 考查分段函数的单调性。8. （2010安徽文数）20.（本小题满分12分）设函数，求函数的单调区间与极值。【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.【解题指导】（1）对函数求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导

12、数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.【考点精题精练】一、选择题1(2011哈尔滨模拟)已知函数是(-,+)上的减函数，则a的取值范围是( )(A)(0,3) (B)(0,3 (C)(0,2) (D)(0,2【解析】选D.f(x)为减函数,解得0a2.2(2011济南模拟)定义新运算“”：当ab时,ab=a;当ab时,ab=b2,则函数f(x)=(1x)x-(2x),x-2,2的最大值等于( )(A)-1 (B)1 (C)6 (D)12【解析】选C.当-2x1时,f(x)= (1x)x-(2x)=1x-2=x-2,此时-

13、4f(x)-1,当1x2时,f(x)=x2x-2=x3-2,此时-1f(x)6,综上可知-4f(x)6,f(x)max=6.3（2011青岛模拟）已知函数f(x)=ax+logax（a0且a1）在1，2上的最大值与最小值之和为loga2+6，则a的值为( )（A） （B） （C）2 （D）4【解析】选C函数f(x)=ax+logax(a0且a1)在1，2上具有单调性，因此最大值与最小值之和为a+a2+loga2=loga2+6，解得a=2,故选C4（2011广州模拟）下列函数f(x)中，满足“对任意x1,x2(-,0),当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的函数是( )(A)f(x)=-x

14、+1 (B)f(x)=x2-1(C)f(x)=2x (D)f(x)=ln(-x)【解析】选C.f(x)=-x+1在(-,0)上为减函数，A选项错误;f(x)=x2-1的图象开口向上，对称轴为x=0,该函数在(-,0)为减函数，B选项错误；f(x)=2x在R上是增函数,f(x)=2x在（-,0）上也是增函数，C选项正确;y=ln(-x)在(-,0)上为减函数，D选项错误.5已知关于x的函数y=loga(2-ax)在0，1上是减函数，则a的取值范围是( )（A）（0，1） （B）（1，2） （C）（0，2） （D）2，）【解析】选B依题意a0且a1，所以2-ax在0,1上递减，因此，解得1a2,故

15、选B6（2011届长沙市一中高三月考（文）函数的最大值是（ ）A BC D答案：D7已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f(x1)|1的解集的补集是（ ） A(1，2) B(1，4) C(，1)4，） D(，1)2，）答案：D8（2011届江西吉安一中高三开学模拟（理）已知偶函数f(x)在区间0，+）单调递增，则满足f(2x-1)a,则实数a的取值范围是( )（A）(-,-3) （B）(-,-1)（C）(1,+) （D）(0,1)【解析】选B.当a0时,f(a)a,a-1a,a-3(不合题意,舍去)当aa, a,解得:a-1.故a的取值范围

16、是(-,-1).11（2011届湖北省监利一中学高三8月月考（文）定义在R上的偶函数，在上是增函数，则（ ）A B . C D.答案：C12定义在R上的函数y=f(x)在(，2)上是增函数，且y=f(x2)图象的对称轴是x=0，则（ ）Af(1)f(3)Bf (0)f(3) Cf (1)=f (3) Df(2)f(3)答案：A二、填空题1、已知奇函数f(x)在定义域(-1，1)内单调递减，则满足f(1-a)+f(1-a2)0的实数a的取值范围为_.【解析】函数f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)，又f(1-a)+f(1-a2)0,f(1-a)-f(1-a2)，即f(1-a)f(a2-1).函数f(x)在定义域(-1，1)内单调递减，11-aa2-1-1，解得0a1，故a的取值范围为(0，1).答案：(0，1)2、若f(x)=x2-2(1-a)x+2在(-,4上是减函数，则实数a的取值范围是_.【解析】由已知得1-a4，解得a-3.答案:(-,-33、设是上的减函数，则的单调递减区间为 .答案：4、若f(x)=在（-1，+）上满足对任意x1x2，都有f(x1)f(x2)，则a的取值范围是_【解析】f(x)= =2+，中心为（-a,2)，由题设知f(x)在(-1,+)上是减函数，故得1a答案: 1a三、解答题1、已知f(x)是定