高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）第五章 数列的综合应用教学案（含解析）新人教A版

1、数列的综合应用知识能否忆起1数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下：2数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn1之间的递推关系小题能否全取1某学校高一、高二、高三共计2 460名学生，三个年级的学生人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数是()A800B820C8

2、40 D860解析：选B由题意可设高一、高二、高三三个年级的人数分别为ad，a，ad.则adaad2 460，解得a820.故高二年级共有820人2(教材习题改编)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A6秒钟 B7秒钟C8秒钟 D9秒钟解析：选B设至少需n秒钟，则121222n1100，即100，解得n7.3数列an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a6b7，则有()Aa3a9b4b10Ba3a9b4b10Ca3a9b4b10 Da3a9与b4b10的大小

3、不确定解析：选Ba3a9222a62b7b4b10，当且仅当a3a9时，不等式取等号4一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为，公差为，则这个多边形的边数为_解析：由于凸n边形的内角和为(n2)，故n(n2).化简得n225n1440.解得n9或n16(舍去)答案：95设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，xn_，令anlg xn，则a1a2a99的值为_解析：yxn1，y(n1)xn，它在点(1,1)处的切线方程为y1(n1)(x1)，与x轴交点的横坐标为xn1，由anlg xn得anlg nlg(n1)，于是a1a2a99lg 1lg 2lg 2l

4、g3lg 99lg 100lg 1lg 100022.答案：21.对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，有的数列并没有指明，但可以通过分析构造，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题2数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步提高，这一部分内容也将受到越来越多的关注等差数列与等比数列的综合问题典题导入例1在等比数列an(nN*)中，a11，

5、公比q0，设bnlog2an，且b1b3b56，b1b3b50.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求bn的前n项和Sn及an的通项an.自主解答(1)证明：bnlog2an，bn1bnlog2log2q为常数，数列bn为等差数列且公差dlog2q.(2)b1b3b56，b32，a11，b1log2a10.b1b3b50，b50.解得Sn4n(1).an25n(nN*)试比较(2)求出的Sn与an的大小解：an25n0，当n9时，Sn0，n9时，anSn.a116，a28，a34，a42，a51，a6，a7，a8，S14，S27，S39，S410，S510，S69，S77，S84，当n3,4

6、,5,6,7,8时，anSn.由题悟法解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解以题试法1(2012河南调研)已知an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a655，a2a716.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an和数列bn满足等式an(n为正整数)，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)设等差数列an的公差为d，则依题意知d0，由a2a716，得2a17d16，由a3a655

7、，得(a12d)(a15d)55，由得2a1167d，将其代入得(163d)(163d)220，即2569d2220.d24，又d0，d2，代入得a11，an1(n1)22n1.(2)当n1时，a1，b12.当n2时，an，an1，两式相减得anan1，bn2n1，bn当n1时，S1b12；当n2时，Snb1b2b3bn22n26，当n1时上式也成立综上，当n为正整数时，Sn2n26.等差数列与等比数列的实际应用典题导入例2(2011湖南高考改编)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每

8、年初M的价值为上年初的75%.则第n年初M的价值an_.自主解答当n6时，数列an是首项为120，公差为10的等差数列，an12010(n1)13010n；当n7时，数列an是以a6为首项，为公比的等比数列，又a670，所以an70n6.答案an由题悟法1数列实际应用题的解题策略解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，然后求解2处理分期付款问题的注意事项(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)(2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所生的利息之和

9、等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可以顺利建立等量关系以题试法2从经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业估计收入400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？解：(1)第一年投入为800万元，第二年投入为800万元，第n年内的总投入为800n1万元，所以，n年的投入为：an800800800n14

10、 0004 000n.第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400万元第n年旅游业收入为400n1万元，所以，n年内的旅游业总收入为bn400400400n11 600n1 600.(2)设经过n年旅游业的总收入超过总投入，由此bnan0，即1 600n1 6004 0004 000n0，化简得2n5n70，设nx，代入上式，得5x27x20，解此不等式，得x1(舍去)，即n0)(1)求数列an的通项公式；(2)设bnaqnn，若b1a1，b5a5，试比较a3与b3的大小解：(1)设等差数列an的公差为d，则S5S23a19d243t，又a12t，所以d2，故an2nt(t0)(2)

11、由已知可得aq1t0，aq55t，可得3t(aqaq5)，又aq5aqaq(q41)4，则q41，得q21.则a3b33taq3(q21)20，故a3b3.1数列an是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列bn中连续的三项，则数列bn的公比为()A.B4C2 D.解析：选C设数列an的公差为d(d0)，由aa1a7得(a12d)2a1(a16d)，解得a12d，故数列bn的公比q2.2已知等差数列an的前n项和为Sn，S936，S13104，等比数列bn中，b5a5，b7a7，则b6的值为()A4 B4C4 D无法确定解析：选A依题意得，S99a536b5a54，S1313a710

12、4b7a78，所以b64.3已知数列an，bn满足a11且an，an1是函数f(x)x2bnx2n的两个零点，则b10等于()A24 B32C48 D64解析：选D依题意有anan12n，所以an1an22n1，两式相除得2.所以a1，a3，a5，成等比数列，a2，a4，a6，也成等比数列，而a11，a22.所以a1022432，a1112532.又因为anan1bn，所以b10a10a1164.2412xyz4.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么xyz的值为()A1 B2C3 D4解析：选B由题知表格中第三列中的数成首项为4，公比为的等比数列，

13、故有x1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，故第四列的公比为，所以y53，同理z64，故xyz2.5(2011上海高考)设an是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai1的矩形的面积(i1,2，)，则An为等比数列的充要条件为()Aan是等比数列Ba1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等比数列Ca1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列Da1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同解析：选DAiaiai1，若An为等比数列，则为常数，即，.a1，a3，a5，a2n1，和a2，a4，a2n，成等比数列，且公比相等反之，若奇数项和偶数项

14、分别成等比数列，且公比相等，设为q，则q，从而An为等比数列6已知数列an满足3an1an4且a19，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Snn6|的最小整数n是()A5 B6C7 D8解析：选C由递推式变形得3(an11)(an1)，则an18n1，所以|Snn6|a11a21an16|6n250，所以满足条件的最小整数n是7.7等比数列an的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则等比数列an的公比为_解析：设等比数列an的公比为q(q0)，由4S2S13S3，得4(a1a1q)a13(a1a1qa1q2)，即3q2q0，故q.答案：8(2011陕西高考)植树节某班20名同学在

15、一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为_米解析：当放在最左侧坑时，路程和为2(01020190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2(1001020180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2(201001020170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2(908001020100)2 000米答案：2 0009(2012安徽模拟)在数列an中，若aap(n2，nN*，p为常数)，则称an为“等方差数列”下列是对

16、“等方差数列”的判断：若an是等方差数列，则a是等差数列；已知数列an是等方差数列，则数列a是等方差数列(1)n是等方差数列；若an是等方差数列，则akn(kN*，k为常数)也是等方差数列；其中正确命题的序号为_解析：对于，由等方差数列的定义可知，a是公差为p的等差数列，故正确对于，取an，则数列an是等方差数列，但数列a不是等方差数列，故错对于，因为(1)n2(1)n120(n2，nN*)为常数，所以(1)n是等方差数列，故正确对于，若aap(n2，nN*)，则aa(aa)(aa)(aa)kp为常数，故正确答案：10已知数列an的前n项和为Sn，且Snn2，数列bn为等比数列，且首项b11，

17、b48.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若数列cn满足cnabn，求数列cn的前n项和Tn；解：(1)数列an的前n项和为Sn，且Snn2，当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1.当n1时，a1S11亦满足上式，故an2n1(nN*)又数列bn为等比数列，设公比为q，b11，b4b1q38，q2.bn2n1(nN*)(2)cnabn2bn12n1.Tnc1c2c3cn(211)(221)(2n1)(21222n)nn.所以Tn2n12n.11已知各项均为正数的数列an满足：a2aanan1，且a2a42a34，其中nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足：bn，是

18、否存在正整数m，n(1m0，所以2anan10，即2anan1.所以数列an是公比为2的等比数列由a2a42a34，得2a18a18a14，解得a12.故数列an的通项公式为an2n(nN*)(2)因为bn，所以b1，bm，bn.若b1，bm，bn成等比数列，则2，即.由，可得，所以2m24m10，从而1m1，所以m2，此时n12.故当且仅当m2，n12时，b1，bm，bn成等比数列12设同时满足条件：bn1；bnM(nN*，M是常数)的无穷数列bn叫“嘉文”数列已知数列an的前n项和Sn满足Sn(an1)(a为常数，且a0，a1)(1)求数列an的通项公式；(2)设bn1，若数列bn为等比数

19、列，求a的值，并证明数列为“嘉文”数列解：(1)因为S1(a11)a1，所以a1a.当n2时，anSnSn1(anan1)，整理得a，即数列an是以a为首项，a为公比的等比数列所以ana an1an.(2)由(1)知，bn1，(*)由数列bn是等比数列，则bb1b3，故23，解得a，再将a代入(*)式得bn3n，故数列bn为等比数列，所以a.由于，满足条件；由于，故存在M满足条件.故数列为“嘉文”数列1设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x，yR，都有f(x)f(y)f(xy)，若a1，anf(n)(nN*)，则数列an的前n项和Sn的取值范围是()A. B.C. D.解析：选C由

20、题意得an1f(n1)f(1)f(n)an，故Sn1n.则数列an的前n项和的取值范围是.2(2012安庆模拟)设关于x的不等式x2x2nx(nN*)的解集中整数的个数为an，数列an的前n项和为Sn，则S100的值为_解析：由x2x2nx(nN*)，得0x0，故有2n240n720，解得2n0，即15n1log115.85.当n15时，an0.故n15时，Sn取得最小值2在正项数列an中，a12，点An(，)在双曲线y2x21上，数列bn中，点bn，Tn在直线yx1上，其中Tn是数列bn的前n项和(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列bn是等比数列；(3)若cnanbn，求证：cn1c

21、n.解：(1)由点An在y2x21上知，an1an1，数列an是一个以2为首项，以1为公差的等差数列，ana1(n1)d2n1n1.(2)证明：点(bn，Tn)在直线yx1上，Tnbn1.Tn1bn11(n2)两式相减得bnbnbn1(n2)，bnbn1，bnbn1.令n1，得b1b11，b1，bn是以为首项，以为公比的等比数列(3)证明：由(2)可知anbn(n1)，cn1cn(n2)(n1)(n2)3(n1)(2n1)0，cn10，a74.a5a7q24221.3(2012银川联考)若数列an的前n项和为Snn21，则向量m(a1，a4)的模为()A53 B50C. D5解析

22、：选C依题意得，a1S12，a4S4S3(421)(321)7，故m(2,7)，|m|.4已知数阵中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列，若a224，则这九个数的和为()A16 B32C36 D40解析：选C依题意得，a11a12a13a21a22a23a31a32a333a123a223a329a2236.5(2012朝阳统考)设数列an是公差不为0的等差数列，a11且a1，a3，a6成等比数列，则an的前n项和Sn等于()A. B.C. Dn2n解析：选A由a1，a3，a6成等比数列可得aa1a6，设数列an的公差为d(d0)，则(12d)21(15d)，而d0，故d

23、，所以Snn.6(2012银川联考)设数列an满足a12，an11，记数列an的前n项之积为n，则2 013的值为()A B1C. D2解析：选B由a2，a31，a42可知，数列an是周期为3的周期数列，从而2 013(3)6711.7(2012东北三校模拟)等差数列an中，S150，S160成立的n的最大值为()A6 B7C8 D9解析：选C依题意得S1515a80，即a80；S168(a1a16)8(a8a9)0，即a8a90，a9a80成立的n的最大值是8.8已知数列an满足a1，且对任意的正整数m，n都有amnaman，则等于()A. B.C. D2解析：选B令m1，得an1a1an，

24、即an1ana1，可知数列an是首项为a1，公差为d的等差数列，于是an(n1)n，即.9(2012“江南十校”联考)已知函数f(x)cosx，x(0,2)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)m(m0)有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m()A. BC. D解析：选D若m0，则公差d，显然不成立，所以ma的n的值为()A2 012 B4 024C2 D3解析：选D设等差数列an的公差为d，则由a2，a3，a5成等差数列得2a3a2a5，即2(a12d)(a1d)(a14d)，有d0，于是ana1，由S2 0124 024得2 012a14 024，

25、有a12，即an2，由nana得n22n，结合函数y2x与yx2的图象知n3.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13已知等比数列an为递增数列，且aa10,2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an_.解析：aa100，根据已知条件得25，解得q2.所以aq8a1q9，所以a12，所以an2n.答案：2n14(2012衡阳六校联考)设函数f(x)2，若a，b，c成等差数列(公差不为零)，则f(a)f(c)_.解析：依题意得bacb，(ab)cb，则f(a)f(c)224044.答案：415数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为_解析：an1(1)nan

26、2n1，a21a1，a32a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.答案：1 83016(2012衡阳六校联考)在一个数列中，如果nN*，都有anan1an2k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积已知数列an是等积数列，且a11，a22，公积为8，则a1a2a3a12_.解析：依题意得数列an是周期为3的数列，且a11，

27、a22，a34，因此a1a2a3a124(a1a2a3)4(124)28.答案：28三、解答题(本题共6小题，共70分)17(本小题满分10分)(2012陕西高考)已知等比数列an的公比q.(1)若a3，求数列an的前n项和；(2)证明：对任意kN，ak，ak2，ak1成等差数列解：(1)由a3a1q2及q，得a11，所以数列an的前n项和Sn.(2)证明：对任意kN，2ak2(akak1)2a1qk1(a1qk1a1qk)a1qk1(2q2q1)，由q得2q2q10，故2ak2(akak1)0.所以对任意kN，ak，ak2，ak1成等差数列18(本小题满分12分)(2012陕西高考)设an是

28、公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列(1)求数列an的公比；(2)证明：对任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列解：(1)设数列an的公比为q(q0，q1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3a5a4，即2a1q2a1q4a1q3.由a10，q0得q2q20，解得q12或q21(舍去)，故q2.(2)证明：法一：对任意kN，Sk2Sk12Sk(Sk2Sk)(Sk1Sk)ak1ak2ak12ak1ak1(2)0，所以对任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列法二：对任意kN，2Sk，Sk2Sk1，2Sk(Sk2Sk1)2(1qk)(2qk2qk1)(q2q2)0，因此，对任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列19(本小题满分12分)(2012潍坊模拟)已知数列an是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足S2n1a，nN*.(1)求an；(2)数列bn满足bnTn为数列bn的前n项和，求T2n.解：(1)设数列an的首项为a1，公差为d，在S2n1a中，令n1,2，得得解得a12，d4，故an4n2.(2)由(1)得bn则T2n1223222432422n222n31222422n24(12n)3n43n2n2n.20(本小题满分12分)(2012石家庄质检)已知数列an为公差不为零的等差数列，a11，各项均为正数