垂直于弦直径课件[1]

1、我深深地理解，耗费了多少时间，战胜了多少困难，你才取得眼前的成绩。请你相信，在你追求、拼搏和苦干的过程中，我将永远面带微笑地站在你的身旁。,老师寄语,24.1.2 垂直于弦的直径,高基庙中学数学组,九（2）班,赵州桥是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m.,赵州桥主桥拱的半径是多少？,问题情境,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,活动一,（1）两条直径AB、C

2、D，CD平分AB吗？ （2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？,活动二,思考并猜想：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系时，弦AB有可能被直径CD平分？,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为E，沿着直径CD折一折，你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？,O,A,B,C,D,E,活 动 三,线段： AE=BE,弧：,动动脑筋,叠 合 法,垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,题设,结论,（1）过圆心 （2）垂直于弦,（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧,判断下列图形，能否使用垂径定理？,1

3、.在O中，若CD AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是（ ）,练一练(1),2.已知O的直径AB=10，弦CD AB，垂足为M，OM=3，则CD= .,3.在O中，CD AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则O的半径是 .,C,8,13,注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一种辅助线的添法往往结合勾股定理计算。,推论（1）,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧,（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对和的另一条弧,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备,（1）

4、过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4） 平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论,注意,判断,（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.( ),（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.( ),（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.( ),（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧( ),（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）,例1如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径,例题解析,解：连接OA,答：O的半径为5cm.,在RtAOE中,由勾股定理得,在O中,OEAB,拓

5、展练习：如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证：四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又AC=AB, AE=AD, 四边形ADOE为正方形.,由垂径定理得：,OD AB,OEAC,AC AB,例2 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 求证：ACBD。,证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE。 AECEBEDE。 所以，ACBD,E,讲解,讲解,2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？,证明：过O作OEAB，垂足

6、为E， 则AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即 ACBD,1.在半径为30的O中，弦AB=36，则O到AB的距离是= 。,练一练(2),24mm,注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法,学生练习,已知：AB是O直径，CD 是弦，AECD，BFCD 求证：ECDF,变式. 已知：如图，线段AB与O交于C、D两点，且OA=OB 求证：AC=BD ,证明圆中与弦有关的线段相等时, 常借助垂径定理,利用其平分弦的性质来解决问题.,例4.如图是一条排水管的截面。已知排水管的半径10cm，水面宽AB=12cm。求水的最大深度.,E,D,求圆中有关线段的

7、长度时,常借助垂径定理转化为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题.,B,A,O,驶向胜利的彼岸,挑战自我画一画,1.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.,2.如图，O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A、B）上移动，则OM的取值范围是_,课堂小结,1.本节课我们主要学习了圆的轴对称性 和垂径定理,垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧,2.垂径定理的证明，是通过“实验观察猜想证明” 实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想 后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思 想方法,3.有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是 一条非常重要的辅助线圆心到弦的距离、半径、弦长 构成直角三角形，便将问题转化为解直角三角形的问题,课堂小结,1、圆是轴对称图形，其对称轴是每一条直径所在的直线或 经过圆心的每一条直线。,3、在 O中，若 O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中， 任意知道两个量，可根据垂径定理求出第三个量：,问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半