第10章电荷和静电场-2

1、一、金属导体的静电平衡 (electrostatic equilibrium), 10-5 静电场中的金属导体,静电感应,静电平衡条件,（1）导体内部任何一点处的电场强度为零； （2）导体表面处的电场强度的方向,都与导体表面垂直.,导体表面是等势面,导体内部电势相等,处于静电平衡状态的导体的性质：,1、导体是等势体，导体表面是等势面。,2、导体内部处处没有未被抵消的净电荷，净电荷只分布在导体的表面上。,3、导体以外，靠近导体表面附近处的场强大小与导体表面在该处的面电荷密度 的关系为,详细说明如下,二、导体表面的电荷和电场,导体表面电荷的分布与导体本身的形状以及附近带电体的状况等多种因素有关。,

2、孤立导体的电荷面密度与其表面的曲率有关，曲率越大电荷面密度越大。,表面突出尖锐部分曲率大, 电荷面密度大;,表面比较平坦部分曲率小, 电荷面密度小;,表面凹进部分曲率为负, 电荷面密度最小。,用很长的细导线连接两导体球,证明:,A 球：,B 球：, 结论：,导体球上的电荷仍均匀分布。,设有两个相距很远的带电导体球，如图：,整个导体系统是等势体。,忽略两球间的静电感应，,孤立导体表面曲率处处相等时， 也处处相等。,表面向外；,表面指向导体。,证明:,(7-1),三、导体外紧靠导体表面附近的场强,导体表面外附近的场强与该处表面的电荷面密度成正比：,E 仅由 S 处电荷产生而与其它电荷无关吗？为什么

3、？,？, 注意：,导体表面外侧附近的场强 是空间所有电荷共同激发的！,由 共同激发 。,例：,导导体表面外附近的场强,对于有尖端的带电导体, 由于曲率越大电荷面密度越大，在尖端处的场强特别强。空气中残留的离子在强电场作用下将剧烈运动，并获得足够大的动能与空气分子碰撞而产生大量的离子。,尖端放电 电晕损耗（略）,带电粒子的运动过程就好像是尖端上的电荷不断地向空气中释放一样。,金属针上的电荷形成的“电风”会将蜡烛的火焰吹向一边，这就是尖端放电现象。,带电导体尖端附近电场最强,带电导体尖端附近的电场特别大，可使尖端附近的空气发生电离而成为导体产生放电现象，即尖端放电 .,尖端放电会损耗电能, 还会干

4、扰精密测量和对通讯产生危害 . 然而尖端放电也有很广泛的应用 .,尖端放电现象,尖端放电现象的利与弊,尖端放电现象的利用,三、导体空腔,1.内表面上不存在净电荷，所有净电荷都只分布在外表面。,2.空腔内部电场强度为零，即它们是等电势。,可能有两种情形，第一种情形是等量异号电荷宏观上相分离，并处于内表面的不同位置上，与静电平衡条件相矛盾。因此只能是第二种情形，即内表面上处处电量为零。,腔内若存在电场，则电场线只能在腔内空间闭合，而静电场的环路定理已经表明其电场线不可能是闭合线，所以整个腔内不可能存在电场，电势梯度为零。即电势处处相等并等于导体的电势。,若金属空腔导体内部有带电体,由高斯定理可得:

5、,S,说明空腔内表面所带总电量与空腔内带电体的电量相等、符号相反。导体空腔是等势体，腔内场强不为零，不是等电势区间。,在导体内：,在空腔内：,Q,利用导体静电平衡的性质，使导体空腔内部空间不受腔外电荷和电场的影响，或者将导体空腔接地，使腔外空间免受腔内电荷和电场影响，这类操作都称为静电屏蔽。无线电技术中有广泛应用，例如，常把测量仪器或整个实验室用金属壳或金属网罩起来，使测量免受外部电场的影响。,四、导体静电平衡性质的应用,1. 静电屏蔽 (electrostatic shielding),2. 场致发射显微镜 右图是场致发射显微镜的原理图。在真空玻璃泡内充以少量氦气并在中心放置被测试金属针，泡

6、的内壁涂敷荧光导电膜。若在金属针与荧光导电膜之间有很大的电势差，泡内上部空间会产生辐射状的电场。氦分子在尖端处被电离成氦离子并沿辐射状电场线射向荧光导电膜。于是就在膜上产生一个荧光点，它就是该氦离子与金属尖端相碰的那个金属原子的“像”。利用荧光膜上的光点将描绘出金属针尖端表面的原子分布图像。,3. 范德格拉夫静电高压起电机 这种起电机是利用导体空腔所带电荷总是分布在外表面的原理做成的。右图是范德格拉夫静电高压起电机的示意图，起电机工作时A的电势可达2106 V。这种装置是静电加速器的关键部件，主要用于加速带电粒子以进行核反应实验，也用于离子注入技术以制备半导体器件。,4. 库仑平方反比律的精确

7、证明 由于库仑定律是电磁理论的基本规律之一，另外，库仑定律是否为严格的平方反比律，即在下式中是否严格等于零，是与一系列重大物理问题相联系的,在证明高斯定理时我们已经看到，高斯定理的成立是由于库仑定律满足平方反比律，即 = 0；而处于静电平衡的金属导体内部不存在净电荷的结论，是高斯定理的直接结果。试设想，库仑平方反比律不严格成立，高斯定理就不存在，处于静电平衡的金属导体内部就可能存在净电荷。所以，用实验方法测量导体内部不存在净电荷，可以精确地验证库仑平方反比律。,电荷分布,有导体存在时场强和电势的计算,丁留贯例题,一、孤立导体的电容,电容使导体升高单位电势所需的电量。,10-6 电容和电容器,单

8、位,例如 孤立的导体球的电容,地球,注意： C 仅由导体本身的形状、大小和 决定。,二 电容器,电容的大小仅与导体的形状、相对位置、其间的电介质有关. 与所带电荷量无关.,导体组合，使之不受周围导体的影响 电容器,电容器的电容： 当电容器的两极板分别带有等值异号电荷Q时，电量Q与两极板间相应的电势差VA-VB的比值。,三、电容的计算,电容器电容的计算步骤,(1) 给电容器充电 ，用高斯定理求 ；,(2) 由 求 ；,(3) 由定义 计算 C 。,将真空电容器充满某种电介质,电介质的电容率（介电常数）,几种常见电容器的电容,1. 平行板电容器的电容,则极板间场强为：,(2) 两极板间电势差：,(

9、3) 由电容定义：,极板面积 S ，间距 d ( S d 2 ),(1) 充电 ；,（是均匀电场）,得：,平板电容器电容：,仅由 决定，与其所带电量、极板间电压无关。,2. 同心球形电容器的电容,两板间场强：,(3) 电容：,(1) 充电 ；,(2) 两极板间电势差：,球形电容器电容：,两极板的半径,仅由 决定，与其所带电量、极板间电压无关。, 讨论：,(1) 若,则：,可视为平板电容器的电容。,(2) 若,可视为孤立导体球的电容。,球形电容器电容：,或 孤立导体球可视为一个极板在 处的球形电容器。,3. 同轴圆柱形电容器的电容（同轴电缆）,(3) 电容：,(1) 充电 ，,(2) 两极板间电

10、势差：,两板间场强：,两极板的半径为,圆柱形电容器电容：,长为 L 。,仅由 决定，与其所带电量、极板间电压无关。,单位长度的电容,解 设两金属线的电荷线密度为,例1 两半径为 的平行长直导线中心间距 ，且 , 求单位长度的电容 .,设q,场强分布,电势差,例2.平行板电容器 已知 :S、d插入厚为t的铜板,求： C,四、电容器的联接,1. 并联电容器的电容,令,2.串联电容器的电容,令,有极分子：分子正负电荷中心不重合。,无极分子：分子正负电荷中心重合；,电介质,甲烷分子,水分子,分子电偶极矩,一、电介质的极化,10-7 静电场中的电介质,电介质的极化,1. 无极分子的位移极化,极化电荷,极

11、化电荷,2. 有极分子的取向极化,转向外电场,二、电极化强度 (polarization),单位体积内分子电偶极矩的矢量和,描述了电介质极化强弱，反映了电介质内分子电偶极矩排列的有序或无序程度。,如果电介质内各处极化强度的大小和方向都相同，就称为均匀极化。我们只讨论均匀极化的电介质。,三、极化强度与极化电荷的关系,对于均匀极化的电介质，极化电荷只出现在介质的表面上。在电介质内切出一个长度为l、底面积为S的斜柱体，使极化强度P的方向与斜柱体的轴线相平行，而与底面的外法线n的方向成角。,若把整个斜柱体看为一个“大电偶极子”，它的电矩的大小为Sl，所以，斜柱体内分子电矩的矢量和的大小可以表示为,斜柱

12、体的体积为,极化强度的大小为,上式表示，极化强度沿任意闭合曲面的面积分(即P对该闭合曲面的通量)，等于该闭合曲面所包围的极化电荷的负值。,为了得到极化强度与极化电荷更一般的关系, 在闭合曲面S上取面元dS，以dS乘以上式等号两边，并对整个曲面S 积分得,由此得到 = P cos = Pn , 或 表示极化电荷面密度等于极化强度沿该面法线方向的分量。,也可以引入P 线来表示在介质中极化强度的分布状况， P 线起自极化负电荷，终止于极化正电荷。,例： 半径R 的介质球被均匀极化，极化强度为P。 求：1) 介质球表面的分布；2) 极化电荷在球心处的场。,由此可知，右半球面上,左半球面上,2) 在球面

13、上取环带,解：1) 球面上任一点,E沿x轴负方向。,在球心处的场,处于静电场E0中的电介质由于极化而在其表面上产生极化电荷，极化电荷在空间产生的电场称为附加电场，用E 表示。空间各处的电场强度E应为外加电场E0与附加电场E 的矢量和，即,在电介质内部，由于E 与E0的方向相反，于是有E = E0 E ，在电介质内部的附加电场 E 有一个特殊的名称，叫做退极化场(depolarization field)。,四、极化电荷对场强的影响,以平行板电容器为例 , 如果极板电容器上所带自由电荷面密度分别为 和， 则两板之间的电场强度的大小为E0=s /e 0 。在电容器内充满均匀电介质时E=s /e0

14、。总电场强度E 的大小可以表示为,实验表明，对于各向同性的电介质，极化强度P与作用于电介质内部的实际电场 E 成正比，并且两者方向相同，可以表示为,式中e是电介质的极化率。引入电介质的 相对电容率，定义为 r = 1+e,联立 r = 1+e 可以得到,式中 0 r 是电介质的绝对电容率，也称电介质的电容率。由于电场强度的减小，电容器极板间的电势差U12也相应减小了，为电介质不存在时的1/r ，即,式中U012是电介质不存在时电容器极板间的电势差，d是两极板之间的距离。,在保持电容器极板所带电量不变的情况下，电容与电势差成反比，所以,即 C = r C0 式中C0是电介质不存在时电容器的电容。

15、 可见，由于电容器内充满了相对电容率为 r的电介质， 其电容增大为原来的 r倍。,例1.把一块相对电容率 的电介质,放在极板间相距d =1mm 的平行平板电容器的两极板之间.放入之前,两极板的电势差是1000V.试求两极板间电介质内的电场强度E , 极板和电介质的电荷面密度, 电介质内的电位移P.,解:,五、电介质存在时的高斯定理,自由电荷,束缚电荷,根据真空中的高斯定理,而现在电场中有电介质，高斯面内可能同时包含自由电荷和极化电荷这两种电荷，高斯定理应表示为,自由电荷,对于任一闭合曲面电感应强度的通量，等于 该闭合曲面内所包围的自由电荷的代数和。,物理意义,高斯定理的微分形式：,对于各向同性

16、的电介质,定义电感应强度矢量 electric displacement,介质中的高斯定理,通过任意闭合曲面的电位移通量，等于该闭合曲面所包围的自由电荷的代数和。,电位移线,大小:,方向:切线,线,线,有电介质存在时的高斯定理的应用,（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面，求出电位移矢量。,（2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。,（3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。,（4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。,* 三矢量之间关系,例1：半径为R的金属球带电量Q，球外同心的放置相对电容率为 r的电介质球壳，球壳的内、外半径分别为R1和R2 。求空间各点的电感

17、应强度D、电场强度E以及电介质球壳表面的极化电荷密度 。,解：以球心为中心、以大于R的任意长r为半径作球形高斯面，由高斯定理可求得,高斯面,在R R2的区域，不存在电介质， r = 1，有,在R1 r R2 的区域，存在电介质， 所以,电介质的极化强度P 只存在于极化了的电介质球壳中，并且P 的方向与E 相同。P 的大小为,也可以根据公式D = 0E + P 来求P，得,极化电荷出现在电介质球壳的内、外表面上。在内表面， r =R1 ，n指向球心，所以,在外表面，r = R2 ， n沿径向向外，所以,电介质整体是电中性的，所以电介质球壳内、外表面上的负、正极化电荷量必相定等 , 在内表面上的负

18、极化电荷总量为,在外表面上的正极化电荷的总量为,例2：平行板电容器充满两层厚度 为 d1 和 d2 的电介质(d=d1+d2 )， 相对电容率分别为e r1 和e r2 。 求：1.电介质中的电场 ；2.电容量。,解：设两介质中的电感应强度为D1 和 D2 ，由高斯定理知：,介质中的场强：,同理得到,板间电势差：,以上两个例题的求解，都是绕过了极化电荷的影响，通过电感应强度矢量D进行的，使问题大为简化了。,电容器的电容：,解: 过P点作高斯面得,电势,六、边界条件(不作要求,自学),在两种不同的电介质分界面两侧，D和E一般要发生突变，但必须遵循一定的边界条件。,在两种相对电容率分别为 r1和

19、r2的 电介质分界面处，作一扁平的柱状 高斯面, 使其上、下底面 (S ) 分别处于两种介质中， 并与界面平行，柱面的高很小, 运用高斯定理，得,即 或 D1n = D2n,上式表示，从一种介质过渡到另一种介质，电感应强度的法向分量不变。,在上述两种介质分界面处作一矩形回路ABCDA，使两长边(长度为l )分别处于两种介质中，并与界面平行，短边很小，取界面的切向单位矢量 t 的方向沿界面向上。由静电场的环路定理得,上式表示，从一种介质过渡到另一种介质，电场强度的切向分量不变。,即 或 E1t = E2 t,开关倒向a,电容器充电。,开关倒向b,电容器放电。,灯泡发光,电容器释放能量,电源提供,

20、下面计算电容器带有电量Q，相应电势差为U时所具有的能量。,一、带电系统的能量,10-8 静电场的能量,在电容器充电过程中,设某时刻两极板间的电压为UAB , 在外力作用下持续地将 dq 电量从负极板移到正极板时，外力因克服静电场力作的功为：,所以在电容器中储存的能量为：,二、电场能量,1、对平行板电容器,因为电容器中的电量、场强和电压分别为 Q = S = E S , E=E/er=s / e,UAB = Ed,上式表明: 电容器储有的能量与电场的存在相联系。,大量实验证明:,电容器能量的携带者是电场, 对静电场,也可认为能量携带者是电荷,两者等价。但对于变化的电磁场, 只能说能量的携带 者是电场和磁场。凡是电场所在的空间,就有电场能量的分布。,其中：,V 静电场占据的空间体积；,E 静电场场强；, 电介质的电容率。,电场具有能量, 正是电场物质性的表现之一。,电场能量体密度描述电场中能量分布状况,对