汽车CAD技术第3章_图形的几何变换.ppt

1、第三章图形的几何变换，3.1图形变换方法，3.2 2D变换，3.3三维图形的几何变换，主题准备，图形变换：变换图形的几何信息后，有两种方法生成新的图形变换：1 .固定坐标系，改变图形2。固定图形，改变坐标系，3.1图形变换方法，3.1.1图形的基本元素和表示方法3.1.2点的变换，3.1.1图形的基本元素和表示方法，点，线和面是图形的最基本元素，点的表示：二维空间和三维空间，用点的集合来表示物体，无论是二维空间中的线和面还是三维空间中的物体。3.1.2点变换，提出了一个问题：如果我想变换图形，我应该做什么？回答：只要转换点。问题：如何转换点？解答：点的矩阵运算，3.2 2D变换，3.2.1 2

2、D基本变换，3.2.2 2D组合变换，3.2.3 2D组合变换序列，3 . 2 . 1 2D基本变换概述，变换矩阵，变换前点坐标，变换后点坐标。当A、B、C和D有不同的值时，它们可以是不同的尺度变换矩阵：新点的坐标：3.2.1二维基本变换的尺度变换，等尺度放大，等尺度缩小，3.2.1二维基本变换的尺度变换，恒等式变换，3.2.1二维基本变换的尺度变换，失真，新点坐标：3.2.1二维基本变换的对称变换，Y轴对称，对称变换矩阵，3.2.1二维基本变换的对称变换，对称变换矩阵到原点，对称变换二维新点的基本变换，y=x对称，Y=x对称，对称变换矩阵：新点坐标：3.2.1二维基本变换的旋转变换，绕原点逆

3、时针旋转一定角度，旋转变换矩阵：新点坐标：3.2.1二维基本变换的交错变换， 沿x方向交错(以点a为例):即沿x方向交错，沿x方向交错，交错变换矩阵：新点坐标：二维基本变换的交错变换，二维基本变换的交错变换，沿y方向交错(以点B为例):即沿y方向交错表示点的x坐标不变，y坐标产生增量bx。沿Y方向交错，交错变换矩阵：新点坐标：3.2.1二维基本变换交错变换，二维基本变换平移变换，平移变换后新点坐标：通过变换矩阵获得新点坐标：沿X方向平移L个单位，沿Y方向平移M个单位，平移变换矩阵扩展，尺度变换矩阵：对称变换矩阵：旋转变换矩阵：交错变换矩阵：平移变换矩阵：二维组合变换概述， 由各种基本变换组合而

4、成的变换称为组合变换，相应的变换矩阵称为组合变换矩阵。 3.2.2旋转变换围绕2D组合变换中的任意点，平面图形围绕任意点逆时针旋转(让该点位于第一象限)，步骤如下：将旋转中心平移到原点，变换矩阵为：3.2.2旋转变换围绕2D组合变换中的任意点，图形围绕坐标系原点逆时针旋转一定角度，变换矩阵为：3.2.2旋转2D组合变换。将旋转中心平移回原始位置，变换矩阵为：3.2.2围绕二维组合变换任意点的旋转变换。综上所述，平面图形绕任意点的旋转变换矩阵为：例1:如图所示，请将某个法兰图形上的小六边形绕法兰中心逆时针旋转，找到旋转变换矩阵。原始绘图，旋转，第二次平移，第一次平移，第一次平移：将法兰中心平移到

5、坐标原点，基本上转化为：旋转：绕坐标原点逆时针旋转小六边形，基本上转化为：第二次平移：将法兰中心平移到原始位置，基本上转化为：最后，将转化为：让任意一条直线的方程为：如图所示直线与轴线的夹角为： 任意直线的对称变换是通过以下步骤完成的：3.2.2任意直线的二维组合变换的对称变换，直线平移(直线沿轴平移到原点)，使其通过原点，变换矩阵为：绕原点逆时针旋转，使直线与某一坐标轴重合(假设坐标轴)，变换矩阵为：坐标轴的对称变换(。围绕原点顺时针旋转，使直线与轴成一定角度返回到原始位置。转换矩阵为：将直线平移回其原始位置，转换矩阵为：通过以上五个步骤，可以实现图形到任意直线的对称变换。组合变换矩阵为：例

6、2:曲线上三个点的坐标值为：在这三个点围绕该点逆时针旋转后，找到抛物线插值表达式。分析：得到三点抛物线插值公式，所用的三点是组合变换后得到的新点。关键是获得组合变换矩阵和3.2.3二维组合变换序列。总之，复杂变换是由基本变换组合而成的。由于矩阵乘法不适合交换定律，组合序列一般不能颠倒，如果顺序不同，变换结果也会不同。作业：让直线方程为：axbyc0，如图所示。直线与y轴的夹角为，请写出二维图形到任意直线的对称变换的组合变换矩阵；(注意：前提是平移时沿Y轴平移。)通过将获得的结果与前一个示例的结果进行比较(即平移时沿着X轴)，可以得出什么结论。解：直线在Y轴上的截面力矩为-c/b，其值为正。那么

7、组合变换的矩阵是：它是通过将上面计算的结果与前面例子中的结果进行比较而获得的。在组合变换中，如果沿X轴平移，则组合变换的矩阵为：而在组合变换中，如果沿Y轴平移，则通过不合理的组合变换矩阵可以得到相同的组合变换结果。组合变换矩阵的最低一列专门负责翻译；同样，我们可以把一个展开的矩阵分成以下几个函数：(1)我们可以实现图形的基本变换，如缩放、对称、错切和旋转；可以实现图形的平移变换；它可以实现图形的透视变换(一般用于三维图形的几何变换)；可以实现图形的全尺寸转换。三维图形的几何变换是二维图形变换的简单扩展。变换的原理是通过变换矩阵将齐次坐标点(x，y，z，1)变换成新的齐次坐标点(x，y，z，1)

8、，即t是三维基本(齐次)变换矩阵。在公式中，a、e和j分别是x、y和z方向上的比例因子，2，对称变换，相对于xoy平面的对称变换矩阵是，T xoy=，相对于yoz平面的对称变换矩阵是，b和I是图沿Y方向的交叉系数；c和f是沿z方向的交叉系数，变换矩阵T=，4，平移变换；(1)对应于绕x轴逆时针旋转角度的变换矩阵为，5，旋转变换；(1)当变换空间中的实体围绕x轴旋转时，实体上每个点的x坐标不变，(2)对应于绕Y轴逆时针旋转角度的变换矩阵是(2)绕Y轴旋转。此时，Y坐标不变，X坐标和Z坐标也相应改变。X=sin ()=x * cos z * sin y=y z=cos ()=X=cos ()=x

9、* cos-y * sin y=sin ()=，解：设开为单位长度，方向余弦为：是开轴与各坐标轴的夹角。转换过程如下：1)围绕Z轴旋转开轴，使其位于同相轴平面上。其中，因此，2)让XOZ平面上的ON绕y轴旋转，使其与z轴重合。因此，旋转变换围绕任何轴，3)p点围绕ON轴(即z轴)逆时针旋转，4)ON轴围绕y轴旋转，5)ON轴围绕z轴旋转，因此b)围绕任何轴的旋转变换可以如下获得：1)首先，通过两次旋转，ON轴与z轴重合；2)然后围绕Z轴旋转该点；3)最后，通过以与1)相反的方向旋转，接通轴返回到其原始位置。假设绕Z轴的旋转-2矩阵是T1绕Y轴的旋转-1矩阵T2绕Z轴的旋转是T3绕Y轴的旋转1矩

10、阵是T4绕Z轴的旋转2矩阵是T5，那么整个变换矩阵是T=T1 T2 T3 T4 T5。从上面的推导可以看出，只要能找到1和2的值，就可以通过上面的公式得到围绕on轴的变换矩阵。向量(0 0 1)绕y轴旋转1，然后绕z轴旋转2，与ON轴重合。也就是说，l m n 1=sin1cos2，sin1sin2，cos1，1 l=sin 1 cos 2 m=sin 1 sin 2 n=cos 1，因此1和2的值可以通过上述公式获得。问题：当任意轴的端点不在原点时，如何计算变换矩阵？(5) 3D组合变换。像2D组合变换一样，3D对象的复杂变换可以通过组合3D基本变换矩阵来实现。如果坐标P从T1，T2，TN变

11、换为P * n次，则变换结果为P *=T1，T2，Tn=PT与2D相同。组合变换时，也要注意乘法的顺序。绕任意轴旋转变换是一种组合变换，变换过程复杂。首先，对象围绕轴平移和旋转，使得围绕它的轴与标准坐标轴重合。然后，围绕标准坐标轴以所需角度旋转。最后，通过逆变换将轴恢复到其原始位置。这个过程必须通过七个基本转换的级联来完成。假设任意旋转轴是由P1 (x1，y1，Z1)和p2 (x2，y2，z2)定义的单位向量(a，b，c)。旋转角度为(图(a)。这七个基本转变如下：1 .平移T(x1，y1，z1)使p1点与原点重合(图(b)；)；2Rx()，使得轴p1p2落在平面xoz内(图(c)；)；3Ry

12、()，使p1p2与z轴重合(图(d)；4Rz()，绕p1p2轴进行角旋转(图(e)；)；5Ry()，逆变换T3-1，共3个；6Rx()，逆变换T2-1/2；7T(x1，y1，z1)是1的逆变换T1-1。注：其组合变换矩阵是：T T1 T2 T3 T4 T3-1 T2 T1-1，例如：简单几何的图形变换，其中：T是要进行的图形变换矩阵，假设一个六面体ABCDEFGH的每个点的坐标是(x 1，y 1，z 1)，(x 8，y 8，y 8，y 8，y 8，y 8，y 8，y 8，y 8，y 8，y，y，y)根据视点的距离，投影可以分为平行投影和透视投影。当投影中心(观测点)与投影平面之间的距离为无穷大

13、时，为平行投影，否则为透视投影。图形的透视投影与用眼睛观察景物的原理和效果是一致的，所以经常用来显示图形的真实效果。由于直线之间的平行关系在平行投影后不会改变，所以通常用于与三维图形交互和生成工程图视图。在投影变换分类：中，平行投影是将物体上的所有点沿着一组平行线投影到投影平面，而透视投影是将所有点沿着一组线投影到称为投影中心的位置。这两种方法如图所示。，1当投影方向垂直于投影平面时，称为正平行投影。(1)正交变换使三维坐标系OXZ中的三个坐标平面在工程上分别为H平面(XOY平面)、V平面(XOZ平面)和W平面(YOZ平面)。如图所示。所谓正投影，是指三维图形上的每个点与一个坐标平面垂直，其垂

14、直脚称为三维点的投影点。根据原始三维图形中各点之间的对应关系，将所有投影点连接起来，得到一个平面图形，称为三维图形在平面上的正投影。如图所示。V平面上的投影图称为正视图，H平面上的投影图称为俯视图，W平面上的投影图称为侧视图。正面投影(V平面)主视图变换正面投影是物体在XOZ平面上的投影，使其Y坐标等于零，而其X和Z坐标保持不变。它的变换矩阵是：水平投影俯视图变换水平投影是一个物体在XOY平面上的投影，因此它的Z坐标等于零，而它的X和Y坐标保持不变。侧视投影侧视变换侧视投影是物体在YOZ平面上的投影，这样物体的X坐标都等于零，而Y和Z坐标不变。它的变换矩阵是投影在三个视图顶部的三平面投影图像仍在空间中。根据工程的需要，在V面、H面和W面上得到的三个正交投影必须以一定的方式在同一平面上展平，才能得到传统上放在V面上的三个视图。为了在V平面上形成三个视图，保持V平面上的投影不变，并使H平面上的前向投影围绕X轴相对V平面向前旋转90，为了防止与V平面上的原始投影拥挤，让它在Z轴的负方向平移距离n。以同样的方式，在W平面上的正向投影绕着Z轴旋转90度，然后在轴向上移动距离L。以上面的立方体为例，在V平面上的投影保持不变，然后向X轴的负方向移动一段距离l。变换矩阵为：可以得到三个