第七章：期权定价.ppt

1、股票价格的二叉树模型,多期的二叉树模型,二叉树模型中的参数,三个参数 u-股价上升幅度 d-股价下降幅度 P-股价上升概率 两个条件（在一个周期 ） 预期收益率为： 方差为： 参数的选择方法（非唯一选择）：,简答的二叉树期权定价,简单的二叉树期权定价（cont.）,二叉树期权定价,假设 某股票现价为20，一个月后价格可能是22或18。 该股票的欧式看涨期权一个月后到期，执行价为21。 无风险利率为12%（连续复利） 期权到期价值： 若到期时股价为22，则看涨期权价值为1 若到期时股价为18，则看涨期权价值为0 构建组合：（组合包含a股股票和1个看涨期权的空头） 当到期时股价为22时，组合价值为

2、22a-1 当到期时股价为18时，组合价值为18a,例：二叉树期权定价（cont.）,求解： 令：22a-1=18a 得： a=0.25 22a-1=18 a=4.5 期初该组合的价值应为： 20a-c=20*0.25-c=4.5*EXP(-0.01)=4.45522 得到：c=0.54478,风险中性假设,可以利用股票和股票期权头寸构造一个无风险组合，该组合的期望收益率为无风险利率： Vt=a*S-c=EXP(-r(T-t)*VT 组合的到期价值表示为某种期望值的形式：VT=E(VT)=E(a*ST-cT)=aE(ST)-E(cT) 可以得到： Vt=a*S-c=EXP(-r(T-t)*aE

3、(ST)-E(cT) 从上式，我们似乎可以得出这样的结论： 若股价的期望收益率为无风险利率： E(ST)=S*EXP(r(T-t),则期权价值可由期权到期价值的期望值按无风险利率贴现得到，即：c=EXP(-r(T-t)*E(cT),风险中性假设（cont.）,现实世界 股价的期望收益率高于无风险利率 假设一个风险中性世界 所有的投资者既不是风险厌恶的，也不是风险喜好的，对它们来说，投资有风险的资产和投资无风险资产是无所谓的，它们只考虑预期收益率 在风险中性的世界中，所有资产的期望收益率与无风险资产的期望收益率，即无风险利率相同。 在风险中性世界中对期权定价 期权价值由期权到期价值的期望值按无风

4、险利率贴现得到 所得结果（期权价）放回现实世界仍成立。,风险中性世界中的二叉树模型,例：二叉树期权定价（风险中性）,假设条件同上例 q=(e0.01-0.9)/(1.1-0.9)=0.55025 E(cT)=0.550251=0.55025 c=0.55025 e-0.01=0.54477,多期二叉期权定价,多期二叉树期权定价1,多期二叉树期权定价2,方法二：利用风险中性假设 计算风险中性概率 计算达到末期每一个节点的概率 计算末期期权价值的期望值 按无风险利率折现,n期二叉树 计算n+1个节点的概率 无须倒退，直接折现,例：多期二叉树期权定价,设某股票价格变化服从如下二叉树模型，每期为一个月

5、，无风险利率为6%，求以该股票为标的，有效期2个月，执行价为20的欧式看涨期权的价格。,例：多期二叉树期权定价1,例：多期二叉树期权定价2,看跌期权定价,直接用二叉树法 利用平价关系,美式期权定价,利用二叉树法逐步倒退 （在风险中性世界中）构造二叉树 逐步倒推 在每一个节点检查是否要提前执行 不付红利股票的看涨期权同欧式期权 看跌期权没有平价关系可用 直接利用二叉树法逐步倒推,例：美式看跌期权,考虑一不付红利的美式看跌期权，参数如下： S=50；K=50；r=10%; =40% T=5 months=0.4167 t = 1 month = 0.0833 在风险中性世界中构造二叉树，参数如下：

6、 u = 1.1224 d = 0.8909 q = 0.5076,例：美式看跌期权（cont.）,股票价格的行为模式一、随机过程,1、随机过程 如果某变量的值以某种不确定的方式随时间变化，则称该变量遵循某种随机过程(stochastic process)。,2、分类 随机过程分为离散时间(discrete time)和连续时间(continuous time)两类。 一个离散时间随机过程是指标的变量值只能在某些确定的时间点上变化的过程 一个连续时间随机过程是指标的变量值的变化可以在任何时刻发生的过程。,随机过程也可分为连续变量(continuous variable)和离散变量(discre

7、te variable)两种过程。 在连续变量过程中，标的变量在某一范围内可取任意值， 在离散变量过程中，标的变量只可能取某些离散值。,二、弱式效率市场假说与马尔可夫过程,1、效率市场假说 1965年，法玛(Fama)提出了著名的效率市场假说。该假说认为： 投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬； 证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息； 市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的。,2、效率市场分类 效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。 弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格

8、未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益。,半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。,强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能获得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息(包括“内幕信息”)对挑选证券都没有用处。 效率市场假说提出后，许多学者运用各种数据对此进行了实证分析。结果发现，发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。,3、马尔可夫过程 弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程(Markov Stochastic Proce

9、ss)来表述。 马尔科夫过程(Markov process)是一种特殊类型的随机过程。 这个过程说明只有变量的当前值与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式则与未来的预测不相关。,股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性(the weak form of market efficiency)相一致： 一种股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去的价格记录。 如果弱型市场有效性正确的话，技术分析师可通过分析股价的过去历史数据图表获得高于平均收益率的收益是不可能的。 是市场竞争保证了弱型市场有效性成立。,三、维纳过程,布朗运动起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中的小粒子运动

10、的描述，以发现这种现象的英国植物学家Robert Brown命名。 描述布朗运动的随机过程的定义是维纳(wiener)给出的，因此布朗运动又称维纳过程 股价行为模型通常用布朗运动来描述。 布朗运动是马尔科夫随机过程的一种特殊形式。,（一）普通布朗运动,变量z是一个随机变量，设一个小的时间间隔长度为t，定义z为在t时间内z的变化。要使z遵循维纳过程，z必须满足两个基本性质：,性质1：z与t的关系满足方程式 z= 其中为服从标准正态分布(即均值为0、标准差为1.0的正态分布)中抽的一个随机值。 性质2：对于任何两个不同时间间隔t，z的值相互独立。,从性质1，我们得到z本身具有正态分布， z的均值=

11、0 z的标准差= z的方差=t 性质2则隐含z遵循马尔科夫过程。,在一段相对长的时间T中z值的增加表示为z(T)-z(0)。这可被看作是在N个长度为t的小时间间隔中z的变化的总量，这里,其中i（i=1，2，N）是从标准正态分布的随机抽样值。,从性质2中可知,i是相互独立的，从上式可得z(T)z(0)是正态分布的，其中 z(T)z(0)的均值=0 z(T)z(0)的方差=Nt=T z(T)z(0)的标准差=,例： 假设一个遵循维纳过程的变量z的最初值为25，以年为单位计时。在第一年末，变量值服从均值为25；标准差为1.0的正态分布；第二年末，服从均值为25、标准差为2或1.414的正态分布。,维

12、纳过程,维纳过程 有时也称为布朗运动 最简单的随机过程 定义： 若随机变量z满足以下性质，则称其服从维纳过程： 性质一： z=(t)1/2 N(0,1) 其中，z是z在一个小的时间间隔t内的变化 性质二： 对任何两个不同的时间间隔t，z的值相互独立。 当t 0时，表示为： dz= (dt)1/2,一般化维纳过程,定义： 若一个随机变量x可表示为： dx=adt+bdz 则称其服从一般化维纳过程： 其中，a, b为常数，dz服从上面我们定义的标准维纳过程。 adt表示变量x的期望值随时间线性变化，a称为漂移率。,其中第一项adt为确定项，adt项说明了x变量单位时间的漂移率期望值为a。如果缺省b

13、dz项，方程变为: dx=adtdx/dt=a x=x0+at 其中x0为x在零时刻的值。经过长度为T的时间段后，x增加的值为aT。 第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音或波动率。这些噪声或波动率的值为维纳过程的b倍。,类似的，可得任意时间T后x值的变化具有正态分布，且：,方程：dx=adt+bdz 给出了普通布朗运动，其漂移率(即单位时间平均漂移)的期望值为a，方差率(即单位时间的方差)的期望值为b2。如图：,伊藤过程 (ITO Process),定义： 若一个随机变量x可表示为： dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz 则称其服从ITO过程： ITO过程也是一个一般化维纳

14、过程，但是其中的参数a和b是随机变量本身x和时间t的函数，而不再是常数。 变量x的漂移率为a，方差率为b。 即Ito过程的期望漂移率和方差率都随时间变化而变化。,股票价格过程,考虑不付红利股票的价格遵循的随机过程 维纳过程 dS=dz= (dt)1/2 一般化维纳过程? dS=adt+bdz 伊藤过程? dS=Sdt+Sdz 上式是描述股票价格行为的最广泛使用的一种模型 形式简单，比较容易处理，对实际情况的合理近似 称为股票价格波动率 称为预期收益率,这种假定表明股票价格运动具有不变的期望漂移率和方差率。 以S代表股票价格, t时间段股价的变化为S，那么在t时间段，S的均值为at,方差为b2t

15、。此时at/S代表股票的期望收益率。 这表明承担相同风险的情况下，股价高的获得的收益率低，股价低的获得的收益率高。 这与投资者要求来自股票的期望收益率与股票价格无关的现实不一致。,1、假定股票价格遵循普通布朗运动的不合理性,2、假定股票价格变化率遵循普通布朗运动的合理性 假设股价变化比率遵循布朗运动。设S遵循期望漂移率为S（为常数）的布朗运动。因此，在短时间间隔t后，S的增长期望值为St,参数是股票的期望收益率，以小数的形式表示。 即，假定S/S的变化遵循普通布朗运动，其期望漂移率为一恒定参数。在短时间间隔t后，S/S的期望值（股票的期望收益率）为。,（1）若股票价格的方差率恒为0，这个模型即

16、为：,其中So是零时刻的股票价格。以上方程说明了当方差率为0时，股票价格以单位时间为的连续复利方式增长。,（2）股票价格的方差率不为0,当然，实际上股票价格确实存在着波动率。 一个合理假设是：无论股票价格如何，短时间t后的百分比收益率的方差保持不变。 即，不管股票价格为$50还是$10，投资者认为他或她的收益率的不确定性是相同的。,定义2为股票价格比例变化的方差率， 即2t是t时间后股票价格比例变化(proportional change)的方差， 2S2t是经过t后股票价格的实际变化(actual change)的方差。 因此，S的瞬态方差率(instantaneous variance r

17、ate)为2S2。,3、股票价格行为的几何布朗运动,（1）从以上阐述可以得出结论：S可以用瞬态期望漂移率(instantaneous expected drift rate)为S和瞬态方差率为2S2的Ito过程（几何布朗运动）来表达，表示为：,几何布朗运动是描述股票价格行为最广泛使用的一种模型。 变量通常被称为股票价格波动率(stock price volatility)。即是股票收益率单位时间的标准差。2表示股票收益率单位时间的方差。 变量为股票在单位时间内以连续复利表示的股票价格的预期收益率(expected rate of return)。 这两个参数假设为常数。 dz表示标准布朗运动。

18、,（2）从几何布朗运动可知，在短时间t后，证券价格比率的变化值S/S为： S/S=t+ 方程的左边是短时间t后股票的收益率。 t项是这一收益率的期望值， 项是收益率的随机部分。随机部分的方差(也是整个收益的方差)为2t。,可见，S/S也具有正态分布特征，其均值为t，标准差为 ，方差为2t。,其中(m，s)表示均值为m，标准差为s的正态分布。,短时间t后股票价格比例变化的标准差为 。 作一粗略的近似，在相对长一段时间T后股票价格比例变化的标准差为 。 这就是说，作为近似，波动率可被解释为一年内股票价格变化的标准差。 注意：在一段较长时间T后的股票价格比例变化的标准差并不精确地为 。这是因为比例变

19、化不具有可加性,4、参数的讨论,（1）参数时间： 在几何布朗运动中，我们涉及两个符号：和，其大小取决于时间计量单位。 若无特别申明，通常以年为时间的计量单位。,（2） 根据资本资产定价原理，值取决于： 该证券的系统性风险， 无风险利率水平(利率水平越高，投资者要求任一种股票的预期收益率就越高)， 市场的风险收益偏好(多数投资者认为，如果承担更大的风险，将要求获得更高的预期收益率。所以值应当取决于股票收益的风险)。,由于后者涉及主观因素，因此的决定本身就较复杂。 然而幸运的是衍生证券的定价与标的资产的预期收益率()是无关的。 因为依附于某种股票的衍生证券的价值一般是独立于的。,（3） 证券价格的

20、波动率对于衍生证券的定价则是相当重要的。 证券价格的波动率可理解为证券价格的“脾气”，我们可以通过历史数据来观察各种证券“脾气”的大小，然后通过几何布朗运动来确定其未来价格的概率分布。 注意，几何布朗运动把当作常数，实际上，证券价格的脾气是会变的。会随时间变化而变化。,5、例,设一种不付红利股票遵循几何布朗运动，其波动率为每年18，预期收益率以连续复利计为每年20，其目前的市价为100元，求一周后该股票价格变化值的概率分布。,解：=0.20,=0.18，其股价过程为： dS/S0.20dt十0.18dz 在随后短时间间隔后的股价变化为: S/S=0.20t+0.18 由于1 周等于0.0192

21、年，因此 S=100(0.00384+00249) =0.384+2.49 上式表示一周后股价的增加值是均值为0.384元，标准差为2.49元的正态分布的随机抽样值。,ITO定理,定理： 设变量x遵循ITO过程 dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz 则x和t的函数G(x,t)遵循如下过程： 其中，dz是与上述过程中同样的维纳过程。 G实际上也遵循一个ITO过程。,ITO定理应用于股票价格,ITO定理应用于股票价格(cont.),Black-Scholes定价公式,考虑一个基于不付红利股票的欧式看涨期权， 在到期日期权价值为max(ST-K,0) 其期望值为 Emax(ST-K,0) 则该期

22、权的价值，也就是其现值应为 c=exp-r0(T-t)*Emax(ST-K,0) 其中，r0为一贴现率，待定。,Black-Scholes定价公式(cont.),按照风险中性假设，当我们希望以无风险利率r来贴现期权的价值时，即r0=r，股票的期望收益率也应该为无风险利率，即=r，于是我们得到 我们有了lnST的概率分布，就可以得到ST的概率分布，即其密度函数，有了ST的密度函数，Emax(ST-K,0)就是一个积分过程，通过积分我们就可以得到结果，即著名的-公式,Black-Scholes定价公式(cont.),Black-Scholes定价公式(cont.),利用欧式看涨看跌期权的平价关系，我们可以得到看跌期权的定价公式 注：Black-Scholes期权定价公式的基本形式适用于不付红利股票的欧式期权,例:B-S公式,B-S公式中参数的确定,影响股票期权价格的个因素： 股价：股票市场上直接可以观测到 执行价K：期权合约规定 到期期限T-