专题3：实验建模ch4.ppt

1、第四章 实验建模(一),一.引言 什么情况下需要建立经验模型？ 二.如何基于数据建立实验模型？ 寻找简单的模型数学表达式的变换 变换的目的：寻找简单的模型 （变换后同一数据集合在图形上的差异） 常用的变换（p104 表4-2 变换阶梯） 例1 收获蓝鱼 例2 收获蓝蟹（4.1节p105-108） 例1（4.2节p113） 选择较好的模型多项式阶的确定 均差 例2，3（4.3节p122） 插值 三.小结（p135-137）（仔细阅读）,一.引言,什么情况下需要建立经验模型？ 在拟合一条曲线时，理想的情况是：建模者利用一些假定来选择一个特定的模型，以解释观测值反映的状况.如果收集到的数据证实了这些

2、假定的合理性，建模者的任务就是根据某些准则（例如最小二乘）为选定的曲线选取最佳的参数.从而建立解释已知状况的模型. 但是在许多情况下，建模者不能构造一个满意的解释已知状况的易于处理的模型形式.这时，就可以进行实验（或收集更多的数据），在某一区域中选择独立变量的值研究相依变量的状况.在此意义上，建模者是基于收集的数据构造一个经验模型，而不是基于某些假定选择一个模型. 在这种情况下，建模者要收集数据，细心分析数据的影响，搜寻一条曲线，追踪数据的倾向，在数据点做出预测.,二.如何基于数据建立实验模型？,（一）寻找简单的模型数学表达式的变换 1.变换的目的：寻找简单的模型 对于同一个数据集合，采用不同

3、的变量形式，所拟合的模型是不一样.合适的变量形式可以使数据间呈现简单的关系（例如线形关系） 例如：,x=0 1 2.1 2.5 3.1 4 5.2 6 9.1 10; y= 0 0.55 2.205 3.12 4.805 8 13.52 18 41.405 49.5;,x=0 1 2.1 2.5 3.1 4 5.2 6 9.1 10; y= 0 0.55 2.205 3.12 4.805 8 13.52 18 41.405 49.5; hold on scatter(x,y,d),plot(x,y) scatter(x.2,y,rs),plot(x.2,y,r) axis(0 10 0 50)

4、,观察变换后同一数据集合在图形上的差异：将自变量看做x和看做x2所建立的模型是不一样的. 画出y关于x的图像和y关于x2的图像，观察它们的差异. Matlab代码如下：,变换后同一数据集合在图形上的差异,结论：对于个同一数据集合： y与x之间是非线形的，模型比较复杂 y与x2之间是线形的，对应的模型是简单的线形模型 这就是说，对于同一个数据集合，我们要寻找合适的变量形式，以便使数据间呈现简单的关系.即通过变换变量的形式寻找建模的模型. 2.常用的变换（见p104 表4-2） 在上例上，是将x变换为x2.实际上有更多的变化阶梯.,： z3 z2 z z1/2 logz -1/ z1/2 -1/

5、z -1/ z2 ：,变化阶梯，将z变成其他性似乎， 白色部分为常用的变换阶梯,例1 收获蓝鱼 （4.1节p105-108）,原始数据： 基底年 蓝鱼（104磅）,画出y关于x的散点图，观察趋势,x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,y 1.5 15 25 27.5 27 28 29 65 120 155 275,分析：这副图所反应的x和y的关系非常不直观，我们不能选择一个线形的模型或二次多项式模型来解释它. 实验：下面将试着对x或y按照变换阶梯所提供的模式进行变化，看看变换后的两个量之间是否存在某个已知的容易处理的模型？ 我们先变换x：先把x变x3， x2， x1/2，等，并画出

6、y关于变换后的x的图像，看它们之间是否存在某个简单的关系？ 如果没有的话，在对y进行同样的变换 还是不行的话，对x和y同时进行这些变换，指导找到我们满意的结果. 注：可见通过实验建模是比较烦琐的，因此要有足够的耐心。杨老师,下面是对x进行阶梯的变化,%对x进行各种变换，并将y关于变化后的x的图像画在一个坐标系中 x=0+eps:10; y=1.5 15 25 27.5 27 28 29 65 12 155 275; subplot(3,2,1), scatter(x.3,y) subplot(3,2,2), scatter(x.2,y) subplot(3,2,3), scatter(x.(1

7、/2),y) subplot(3,2,4), scatter(log10(x),y) subplot(3,2,5), scatter(-1./sqrt(x),y) subplot(3,2,6), scatter(-1./x.(-1),y),图形显示，对x的变换没有产生线形图形,下面第y进行这些变换变化,%对y进行阶梯变化，并绘图 x=0+eps:10; y=1.5 15 25 27.5 27 28 29 65 12 155 275; subplot(3,2,1), scatter(x,y.3) subplot(3,2,2), scatter(x,y.2) subplot(3,2,3), sca

8、tter(x,y.(1/2), r) subplot(3,2,4), scatter(x,log10(y), r) subplot(3,2,5), scatter(x,-1./sqrt(y) subplot(3,2,6), scatter(x,-1./y.-1),结果显示，y（1/2）和log10（y）对x的图形比变换x得到的图形更接近直线.,我们看到，用y（1/2）和log10（y）对x的图形比变换x得到的图形更接近直线.选取log10（y）对x的模型.x是基底年,y单位是104旁 假设模型为 log10(y)mxb由matlab的polyfit 函数求得参数m和b，, x=0:10; y=

9、1.5 15 25 27.5 27 28 29 65 12 155 275; xishu=polyfit(x,log10(y),1),xishu = 0.1381 0.7686 %重新计算得到的m和b,与书中给出的0.1654 0.7231,误%差分别为 -0.0273 和 0.0455,可接受,新的模型为,logy 0.1381x+ 0.7686,x=0:10; y=1.5 15 25 27.5 27 28 29 65 12 155 275; xx=0:0.01:10; yy=10.( 0.1381.*xx+ 0.7686); plot(x,y,*, xx,yy),绘图比较,y10( 0.1

10、381x+ 0.7686),模型评价:原始数据和拟合曲线拟合的较好,但也可以看出误差较大,但为了建立一个简单的模型,我们得接受一些误差.,例2 收获蓝蟹（4.1节p105-108）,原始数据,基底年 蓝鱼（104磅 x y,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,10 85 133 250 300 370 440 466 480 442 500,下面是对x进行阶梯的变化,%对x进行各种变换，并将y关于变化后的x的图像画在一个坐标系中 x=0+eps:10; y=10 85 133 250 300 370 440 466 480 442 500; subplot(3,2,1), scatt

11、er(x.3,y) subplot(3,2,2), scatter(x.2,y) subplot(3,2,3), scatter(x.(1/2),y) subplot(3,2,4), scatter(log10(x),y) subplot(3,2,5), scatter(-1./sqrt(x),y) subplot(3,2,6), scatter(-1./x.-1,y),如图,用x(1/2)代替x可以得到较好的线形图形,假设 y=kx1/2+b,确定系数:, x=0+eps:10; y=10 85 133 250 300 370 440 466 480 442 500; xishu=polyf

12、it(sqrt(x),y,1) xishu = 176.6729 -44.8669,模型为:y=176.6729x1/2-44.8669,画出图形原数据图与拟合后所得数据图,对比拟合度,x=0:10; y=10 85 133 250 300 370 440 466 480 442 500; xx=0:0.01:10; yy=176.6729.*sqrt(xx)-44.8669; plot(x,y, *, xx,yy),这条曲线拟合了有关的数据,是我们期望的简单的单项数据,小结: 通过实验的方法寻求数据间简单的模型,关键在于细心的不厌其烦的通过阶梯变换来寻求满意的图形.然后假设出简单的模型,确定

13、系数后,再进行验证,如果数据和拟合曲线的拟合度较好,就可以建立这个单项模型了. 但是由于固有的简单性,单项模型不可能拟合全部数据集,还需要其他的方法.我们将在后面继续讨论!,第四章 实验建模(二),一.引言 什么情况下需要建立经验模型？ 二.如何基于数据建立实验模型？ 寻找简单的模型数学表达式的变换 变换的目的：寻找简单的模型 （变换后同一数据集合在图形上的差异） 常用的变换（p104 表4-2 变换阶梯） 例1 收获蓝鱼 例2 收获蓝蟹（4.1节p105-108） 例1（4.2节p113） 选择较好的模型多项式阶的确定 均差 例2，3（4.3节p122） 插值 三.小结（p135-137）（

14、仔细阅读） 附.matlab解方程的问题,例1带式录音机的播放时间（4.2节p113） 收集一个特定的录音机的数据和相应的录音机的播放时间.建立播放时间模型.,录音带运动,录影机工作原理,假设我们不可能构造一个明确的模型.但我们仍然有兴趣预测可能出现的情况.如何解决这一困难?作为一个例子,我们构造一个经验模型.将录音机的播放时间作为计数器读数的函数.预测其总数.令ci表示计数器读数,ti(秒)表示对应的播放时间.考虑下列数据 不妨构造一个通过数据每一点的多项式型的经验模型.我们有八个数据点,应期望构造一个最高阶为7的唯一多项式,记此多项式为 p7(c)=a0+a1c+a2c2+a3c3+a4c

15、4+a5c5+a6c6+a7c7 pi(c)是计数器ci的函数,表示录音机的播放时间. ai是多项式的各阶系数.,ci 100 200 300 400 500 600 700 800 ti 205 430 677 945 1233 1542 1872 2224,将八个数据点带入多项式得到一个线形方程组(为了简化方程,给计数器ci除以100),205=a0+a11+a212+a313+a414+a515+a616+a717 430=a0+a12+a222+a323+a424+a525+a626+a727 677=a0+a13+a232+a333+a434+a535+a636+a737 945=a

16、0+a14+a242+a343+a444+a545+a646+a747 1233=a0+a15+a252+a353+a454+a555+a656+a757 1542=a0+a16+a262+a363+a464+a565+a666+a767 1872=a0+a17+a272+a373+a474+a575+a676+a777 2224=a0+a18+a282+a383+a484+a585+a686+a787,解这个方程组得(请大家自己用matlab解):,a0=-13.9999923 a1=232.9119031 a2=-29.08333188 a3=19.78472156 a4=-5.35416

17、6491 a5=0.8013888621 a6=-0.0624999978 a7=0.0019841269,带入得,模型 p7(c)= -13.9999923 +232.9119031c- 29.08333188 c2 +19.78472156c3- 5.354166491 c4+0.8013888621c5 - 0.0624999978 c6+0.0019841269c7,验证:(见p114) (1)预测值四舍五入后与观测值完全一致,产生零绝对偏差. (2)新模型p7(c)=a0+a1c+a2c2+a3c3+a4c4+a5c5+a6c6+a7c7 也非常好的追踪了数据的趋势. 疑问:我们真的

18、能够认为这一模型比其他模型好吗? -4.3节.p119例1 p122例2给出了否定的答案. p2(c)=a0+a1c+a2c2 这个模型更好. 阅读:p115 高阶多项式的优缺点 和p118 低阶多项式模型第一,二段.,(二)选择较好的模型多项式阶的确定,问题 应该用多项式吗?如果应该,几阶的多项式是合适的? 答:若这个多项式的n阶均差为0,则阶取n-1是合适的. 均差 定义:,数据 均差 xi yi 2 3 4 x1 y1 x2 y2 ( y2-y1)/(x2-x1) x3 y3 ( y3-y2)/(x2-x1) 12-11/(x3-x1) x4 y4 ( y4-y3)/(x2-x1) 13

19、-13/(x3-x1) 22-21/(x4-x1) x5 y5 ( y5-y1)/(x2-x1) 14-13/(x3-x1) 23-22/(x4-x1) 331-32/(x5-x1),实例: 对模型p(x)=a+bx+cx2 一个设想的收集到的数据,数据的差分表,数据 差分 xi yi 2 3 4 0 0 2 4 4 4 16 12 8 6 36 20 8 0 8 64 28 8 0 0,xi 0 2 4 6 8 yi 0 4 16 36 64,均差表,数据 均差 xi yi 2 3 0 0 2 4 4/2=2 4 16 12/2=6 4/4 =1 6 36 20/2=10 4/4=1 0/6

20、=0 8 64 28/2=14 4/4=1 0/6=0,我们发现对于这样的数据,其三阶均差为0了,所以,在拟合多项式时取阶为2.,例2.再次(第三次)讨论带式录音机的播放时间 从计算均差入手,确定多p119例1 确定的模型p2(c)=a0+a1c+a2c2 的阶为2的合理性. 由表 4-18(p122)知,三阶均差为0,故取阶为2. 联合对比,p8例1酵母培养物的增长和p124再论酵母培养物的增长两例,体会如何确定多项式的阶? 在p8例1酵母培养物的增长 中通过构造的办法确定了一个2阶多项式模型. 在p124再论酵母培养物的增长 中我们通过计算均差来确定一个2阶多项式模型.相对前面的办法,这个办法更有效.,附.matlab解方程的问题,问题一:WOER版教程11.2.1 一般方程式中,用solve(eq4,eq5,eq6) 解三个联立方程式没有结果.,原解: eq4 = 3*x+2*y-z=10; eq5 = -x+3*y+2*z=5; eq6 = x-y-z=-1; solve(eq4,eq5,eq6) ans = x: 1x1 sym y: 1x1 sym z: 1x1 sym,解释: ans = x: 1x1 sym y: 1x1 sym z: 1x1 sym 含义是：结果保存在缺省的变量ans中，ans是一