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文档简介

1、一、线性方程,二、伯努利方程,12.4 一阶线性微分方程,一、线性方程,形如yP(x)yQ(x)的方程称为一阶线性微分方程 并且当Q(x)恒为零时称为齐次线性方程 Q(x)不恒为零时称为非齐次线性方程,一阶线性微分方程,考察下列方程是否是(或能否化为)线性方程？,一、线性方程,形如yP(x)yQ(x)的方程称为一阶线性微分方程 并且当Q(x)恒为零时称为齐次线性方程 Q(x)不恒为零时称为非齐次线性方程,一阶线性微分方程,齐次线性方程的通解,齐次线性方程yP(x)y0是变量可分离方程 其通解为,提示,齐次线性方程的通解,例,1,求方程,的通解,.,解,原方程可变为,这是齐次线性方程,由通解公式

2、得原方程的通解为,即 yC(x2),提示:,这里所用的方法称为常数变易法 这种方法就是把齐次线性方程的通解中的任意常数C换成末知函数u(x) 然后代入非齐次线性方程并确定出函数u(x),提示:,代入后得到,非齐次线性方程的通解,代入非齐次线性方程求得,齐次线性方程的通解,设非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为,于是非齐次线性方程的通解为,非齐次线性方程的通解,代入非齐次线性方程求得,齐次线性方程的通解,设非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为,积分得,注,非齐次线性方程的通解也可为,上式表明 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和,非齐次线性方程

3、的通解,齐次线性方程的通解,非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为,:,这,里,.,解,由通解公式得,非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为,例,2,求方程,的通解,.,即,.,将初始条件,代入通解,得,.,.,例3 有一个电路如图所示, 其中电源电动势为E=Emsinwt (Em、w都是常数), 电阻R和电感L都是常量. 求电流i(t).,根据电学原理, 得微分方程 ,解,由通解公式, 得,初始条件为i|t00.,因此,二、伯努利方程,伯努利方程,形如yP(x)yQ(x)yn(n0 1)的方程叫做伯努利方程,考察下列方程是否是(或能否化为)伯努利方程？,二、伯努利方程,伯努利方程,形如yP(x)yQ(x)yn(n0 1)的方程叫做伯努利方程,伯努利方程yP(x)yQ(x)yn可化为线性方程,伯努利方程的解法,解,例,4,求方程,的通解,.,原方程可化为,或,由非齐次线性方程的通解公式 得,即原方程的通解为,.,说明,所给方程可变形为一阶线性方程,虽然按一阶线性方程的解法可求得通解 但这里用变量代换来解所给方程,经过变量代换 某些方程可以化为变量可分离的方程 或化为已知其求解方法的方程,例,5,解方程,.,解,令xyu, 则原方程化为,即,.,以uxy代入上式, 得原方程的通解,解,经过变量代换 某些方程可以化为变量可分离的方程 或化为已知其求解方法的

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