4-2方差相关系数和矩---final.ppt

1、4.2 方 差,引例: 甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出:,试问哪一个人的射击水平更高呢？,一 方差,定义: 设X是一个随机变量,若EXE(X)2 存在,则称EXE(X)2为X的方差,记为D(X)或Var(X),称 为随机变量X的标准差或根方差,记为(X),即 D(X)= EXE(X)2,方差的定义,a. 离散型：,b. 连续型：,数学期望反映了随机变量的平均值,方差衡量随机变量的平均偏离程度,利用数学期望的性质： D(X)= EXE(X)2,公式： D(X)= E(X2)E2(X),常见分布的方差:,1.两点分布XB(1, p) :,E(X)=p,E(X2)=02(1p)+12p,=

2、p,则由D(X)=E(X2)E2(X)得:,D(X)=pp2,=p(1p),2. 二项分布XB(n, p) :,令X=X1+X2+Xn 其中Xi (i=1,2,n)相互独立,均服 从参数为p的两点分布,则有: D(Xi)=p(1p),故,=np(1p),E(X)=np,3. 泊松分布:,令i=k1,得:,=(+1),则有: D(X)=E(X2)E2(X)=,4. 均匀分布 XUa,b:,则有: D(X)=E(X2)E2(X),=,5. 指数分布,则有: D(X)=E(X2)E2(X),=,6. 正态分布 XN( ,2) :,E(X)=,令,得:,E(X2)=2+2,则有: D(X)=E(X2)

3、E2(X),=2,方差的性质,(1)D(c)=0,D(c)=E(c-Ec)2,=E(c-c)2,=0,（5）若,随机变量的标准化,对于随机变量x ，若数学期望和方差都存在，且D(x )0，有时要考虑标准化了的随机变量,(1) 方差越小，事件|X-EX|e的概率越小,(2) 可得不等式 表示x落在(EX-dDX,EX+dDX)内的概率不小于 11/d2,二 Chebyshev不等式,DX,D(X)=E(X2)E2(X),例 设随机变量X的分布律PX=k=pqk1求D(X,例 设X为取值于(a,b)内的连续型随机变 量,证明不等式: aE(X)b,证,=a,=b,aE(X)b,E(Xc)2,=E(

4、X2)2cE(X)+c2,=E(X2)+cE(X)2E2(X),=cE(X)2+D(X),当c=E(X)时, E(Xc)2取最小值D(X),D(X)=EXE(X)2,三 相关系数,(一)、协方差,定义：设(X,Y)是二维随机变量，若 EXE(X)YE(Y) 存在，则把它称为X与Y 的协方差,记为Cov(X,Y),即,Cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y),Cov(X,Y),连续型:,Cov(X,Y),离散型:,显然：Cov(X,X)=D(X); Cov(Y,Y)=D(Y). Cov(X,Y)=Cov(Y,X).,Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y),可见，若X与Y独立， Cov(

5、X,Y)= 0 .,由协方差的定义及期望的性质，可得,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),即,公式: Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).,D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y),随机变量和的方差与协方差的关系,n维情形,定义：设X=(X1,X2,Xn)是n维随机变量，称n阶方阵B=cov(Xi,Xj)为X的协方差矩阵，简记做DX B为n阶非负定矩阵，且detB0。,二、相关系数,定义: 设Cov(X,Y)存在，且D(X),D(Y)不为零，则称,为X,

6、Y的相关系数或标准协方差,记为XY (或 ) 即,以后定义常数与任何随机变量的相关系数为0。,下面讨论相关系数的性质,随机变量X与Y，它们的相关系数为r 首先给出柯西-施瓦兹不等式 定理4.2.1 对任意随机变量X与Y有 等式成立当且仅当 PY=t0X=1 这里t0是某一常数,证明：要证,对任意实数t，考察,把定理应用到,定义4.2.4 若随机变量X与Y的相关系数 r = 0，则称X与Y不相关。,回顾下面两个公式,Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y)+ 2Cov(X,Y),性质2. 对随机变量X与Y,下列事实是等价的,性质3. 若X与

7、Y独立，则X与Y不相关。,(2)若X1,X2, ,Xn两两独立,，则,结论:(1)若X与Y独立，则D(X+Y)=DX+DY,D(X+Y )= D(X ) + D(Y ) + 2Cov(X,Y ),回顾随机变量和的方差与协方差的关系,证明:,例 设(X,Y)服从单位圆域x2+y21上的均匀分布,证明: XY =0。, Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,同样得E(Y )=0,可易得 DX0,DY0.,XY = 0, 故 X与Y不相关.,注意到:在例题中X与Y是不独立的,容易验证,性质4. 对于二元正态分布，不相关和独立是等价的。,二元正态分布的协方差矩阵是,四 矩,定义4.2.5 对正整数k，称 为k阶原点矩。 数学期望为一阶原点矩。,定义4.2.6 对