3随机信号分析.ppt

1、随机信号分析,随机过程的基本概念 平稳随机过程 高斯随机过程 窄带随机过程 正弦波加窄带高斯过程 随机过程通过线性系统,随机过程的基本概念,随机过程的定义 分布函数和概率密度 随机过程的数字特征,随机过程的基本概念,随机信号和噪声统称为随机过程，它们具有不可预测性 对通信系统而言，随机信号的不可预测性体现了其携带信息的能力 噪声的不可预测性表现为对有用信号的干扰。,随机过程的定义,设随机试验E的可能结果为（t） 试验的样本空间S为x1（t）， x2（t）， xi（t）， ，xi（t）为第i个样本函数 每次试验之后， （t）取空间S中的某个样本函数，称此（t）为随机函数。 当t代表时间量时，称此

2、（t）为随机过程。,分布函数和概率密度,设（t）表示一个随机过程，则在任意一个时刻t1上（t1）是一个随机变量 这个随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数去描述 称F1（x1，t1）=P（t1）x1为随机过程（t）的一维分布函数。 如果存在：,则称,为（t）的一维概率密度函数。,分布函数和概率密度,为尽可能准确地描述随机过程及其统计特性，需要在尽量多的时刻上考虑随机过程的多维分布函数和多维概率密度函数。 （t）的n维分布函数为： F1（ x1， x2， xn；t1， t2 ， tn ）=P（t1）x1， （t2）x2， （tn）xn。如果存在：,则称f为（t）的n维概率密度函数。,随机

3、过程的数字特征,分布函数或概率密度函数虽然能较全面地描述随机过程的统计特性，但实际中有时不容易或不必求出分布函数和概率密度，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更加简单和直观。 数学期望（均值）,它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心,随机过程的数字特征,方差,表示随机过程在时刻t对于均值a（t）的偏离程度。 均值和方差仅与随机过程的一维概率密度函数有关，因而他们仅刻划了随机过程在各个孤立时刻的特征，为描述随机过程在两个不同时刻的随机变量之间的关联程度，引入了协方差函数和相关函数。,随机过程的数字特征,协方差函数,相关函数,两者关系：,平稳随机过程,1狭义平稳 对任意的n和h，

4、随机过程（t）的n维概率密度函数满足： fn（x1，x2，xn；t1，t2， ， tn）= fn（x1，x2，xn；t1+h，t2+h， ， tn+h） 则称（t）是狭义平稳。 含义：狭义平稳是指随机过程（t）的统计特性不随时间的推移而变化，即当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数不变。且有： 一维分布与时间t无关：f1（x1，t1）= f1（x1）； 二维分布只与有关： f2（x1， x2； t1 ，t2 ）= f2（x1， x2； ）。,平稳随机过程,2 广义平稳 若随机过程（t）的数学期望与时间无关，而其相关函数仅与时间间隔 有关，即 a（t）=a R（t1，t1+

5、 ）=R（ ） 则称（t）是广义平稳。 狭义平稳一定是广义平稳的，反之不一定成立。通信系统中的信号和噪声大多数可视为平稳过程。,平稳随机过程,3 各态历经性 设x（t）是平稳随机过程（t）的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别为： 如果平稳过程（t）以概率1使下式成立 则称（t）具有各态历经性。,平稳随机过程,3 各态历经性 其含义是：随机过程中的任意一实现都经历了随机过程的所有可能状态。 因此，可用一个实现的统计特性来了解整个过程的统计特性，使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。 具各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，反之，不一定成立。 通信系统中的信号

6、和噪声一般满足各态历经条件。,平稳随机过程,4 相关函数的性质 设（t）为平稳随机过程，则其自相关函数 R（ ） =E（t） （t + ） 具有以下性质： R（ 0） =E2（t）=S （平均功率） R（） =E 2（t） （直流功率） R（ 0）- R（） =2 （交流功率） R（ ）= R（ - ） （ 的偶函数） | R（ ） | R（ 0 ） （ R（ ）的上界）,平稳随机过程,5 频谱特性 随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。 平稳随机过程的功率谱密度P（ ）和自相关函数R（ ）是一对傅立叶变换关系： R（ ） P（ ），即 当 =0时，有： 表示随机过程的总平均功率。根据

7、以上关系式及自相关函数R（ ）的性质可得功率谱密度P（ ）的如下性质： （1）P（ ）0，即非负性；（2） P（ ）= P（- ），偶函数。,设一个随机相位的正弦波为 其中，A和c均为常数；是在(0, 2)内均匀分布的随机变量。(t)是否具有各态历经性？ 【解】(1)先求(t)的统计平均值： 数学期望,平稳随机过程,自相关函数 令t2 t1 = ，得到 (t)的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关，只与时间间隔 有关，所以(t)是广义平稳过程。,平稳随机过程,(2) 求(t)的时间平均值 比较统计平均与时间平均，有 因此，随机相位余弦波是各态历经的。,平稳随机过程,求随机相位余弦波(t) =

8、 Acos(ct + )的功率谱密度。 【解】随机相位余弦波是一个平稳过程，其相关函数为 相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换 平均功率为,平稳随机过程,高斯随机过程,1 高斯过程 高斯过程，也称为正态随机过程，是通信系统中最重要的一种过程。通信信道中的噪声通常就是一种高斯过程。 定义：若随机过程（t）的任意n维分布都服从正态分布，则称它为高斯过程。 2 重要性质 若高斯过程是广义平稳的，则也是狭义平稳的； 若高斯过程中的随机变量之间互不相关，则它们也是统计独立的； 若干个高斯过程的代数和的过程仍是高斯型； 高斯过程经过线性变换后的过程仍然是高斯型。,高斯随机过程,0,高斯随机过程,4 误差函

9、数和互补误差函数 正态分布函数是概率密度函数的积分，它表示高斯随机变量小于或等于任意取值x的概率P（ x），即： 可用误差函数或互补误差函数来表述F（x）： 误差函数：,它是自变量的递增函数：erf（0）=0，erf（）=1，且erf（-x）=-erf（x）。 互补误差函数：,它是自变量的递减函数：erfc（0）=1，erfc（）=0，且erfc（-x）=2-erfc（x）。,高斯随机过程,4 误差函数和互补误差函数 对于互补误差函数，当x1时，有：,对F（x）式进行变量代换，则分布函数F（x）可表示为：,高斯随机过程,5 高斯白噪声 白噪声：功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。其功率谱密度

10、表示为（双边功率谱密度） P （）=n0/2（W/Hz） 式中，n0为常数。 单边功率谱密度：,高斯随机过程,5 高斯白噪声 白噪声相应的自相关函数为： R（ ）=n0 （）/2 自相关函数R（ ）仅在 =0处有值，其它位置上均为0，说明白噪声只有在 =0（即同一时刻）才相关，其它任意两个时刻上的随机变量都不相关。 白噪声的带宽无限，其平均功率为,真正白的噪声是不存在的，它只是构造的一种理想化的噪声形式,高斯随机过程,5 高斯白噪声 实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声 高斯白噪声：白噪声是高斯分布的情况。 高斯白噪声在任意两个不同时刻

11、上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。,高斯随机过程,5 低通白噪声 白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道，则输出的噪声称为低通白噪声 白噪声的功率谱密度被限制在| f | fH内，通常把这样的噪声也称为带限白噪声 自相关函数,白噪声与带限白噪声的相关函数与谱密度,带限白噪声只有在 上得到的随机变量才不相关,带限白噪声的相关函数与谱密度,带通白噪声 白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则其输出的噪声称为带通白噪声 理想带通滤波器的传输特性为（ fc 中心频率，B 通带宽度） 功率谱密度,带通白噪声 自相关函数 功率谱密度,带通白噪声的功率谱和自相关函数曲线,随机

12、过程通过线性系统,随机过程通过线性网络后的输出情况 设线性系统的冲激响应为h（t） H（），输入随机过程为 i，输出随机过程为 o，有：,考虑输入有界且系统是物理可实现的，则有：,随机过程通过线性系统,（3）若线性系统的输入 I是高斯随机过程，则输出 o也是高斯随机过程；,利用以上关系可证明以下结论： （1）若线性系统的输入 I是平稳随机过程，则输出 o也是平稳随机过程； （2）输出功率谱密度是输入功率谱密度与系统功率传输函数的乘积；,窄带随机过程,窄带过程：随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出过程。 窄带系统：指通带宽度ffc，且fc0的系统。,窄带随机过程,窄带过程（t）的表达式：

13、,a和分别是窄带过程（t）的随机包络和相位 c及s分别称为（t）的同相分量和正交分量 他们的变化相对于载波cosct的变化要缓慢很多，属于低通型过程。,窄带随机过程,窄带过程（t）的两个重要统计特性： （1）一个均值为零，方差为2的平稳高斯窄带过程 他的同相分量c和正交分量s同样是平稳高斯过程,而且均值都为零，方差也相同。 此外，在同一时刻上得到的c及s是互不相关的或统计独立的。,窄带随机过程,窄带过程（t）的两个重要统计特性： （2）一个均值为零，方差为2的平稳高斯窄带过程 其包络a的一维分布是瑞利分布 相位的一维分布是均匀分布 并且就一维分布而言， a和是统计独立的。,正弦波加窄带高斯过程

14、,正弦波加窄带高斯噪声是通信系统中最常见的一类情况 设合成信号为：,n为窄带高斯噪声，其均值为零；正弦波的振幅A和频率c均为常数，在（0，2）内均匀分布，则,正弦波加窄带高斯过程,正弦波的振幅A和频率c均为常数，在（0，2）内均匀分布，则,正弦波加窄带高斯过程,可以证明z服从广义瑞利分布（RICE分布），其概率密度函数为：,I0（x）是零阶修正贝塞尔函数 当信号很小时，即A 0时，上式Az/2很小， I0 (Az/2) 1，上式的莱斯分布退化为瑞利分布。,正弦波加窄带高斯过程,RICE分布：,当(Az/2)很大时，有 上式近似为高斯分布,正弦波加窄带高斯过程,RICE分布：,正弦波加窄带高斯噪

15、声的包络分布与信噪比A2/22有关。小信噪比时为瑞利分布，大信噪比时为高斯分布。,正弦波加窄带高斯过程,包络概率密度函数 f (z)曲线：,概率分布：分布函数，概率分布函数 统计特性 均值 数字特征 方差 自相关函数 协方差函数 （2）平稳随机过程 1狭义：随机过程 的n维分布函数或n维概率 密度函数与时间起点无关,小结,小结,2广义：数学期望、方差与t无关，自相关函数 只与时间 间隔有关 3性质：各态历经性，时间平均代替统计平均,小结,4因为 可表述随机过程的几乎所有数字特征，还揭示了随机过程的频谱特性 的平均功率 的直流功率 的交流功率 是偶函数 的上界 与,小结,（3）高斯过程（正态随机过程） 性质：a.是广义平稳的，则一定是狭义平稳的 b.随机变量之间互不相关，也是统计独立 c.若干个高斯过程之和组成的随机过程仍是高斯 过程 d.高斯过程经过线性系统后的过程仍是高斯过程 统计特性：,小结,标准正态： 误差函数： 互补误差函数： （4）白噪声 1理想白噪声：功率谱密度在整个频域内都是均匀分布,小结,（5）窄带过程：频带宽度 f远远小于其中心频率 包络： 一维瑞利分布 均匀分布,小结,（6）正弦波加窄带高斯过程,小结,3.随机过程通过线性系统 传输函数H(w)，冲击响应h(t)，输入 ，输出 高斯过程经过线性变换后仍为高斯过程,例题,1.随机过程 ,