第十五章_结构的稳定计算

1、第十五章 结构的稳定计算,15-1 两类稳定问题概述,15-2 两类稳定问题,15-3有限自由度体系的稳定 静力法和能量法,14-1 两类稳定问题概述,强度验算,刚度验算,稳定验算,某些时候是必须的,高强材料结构 （如钢结构）,主要受压的结构等,而稳定验算是在结构产生大变形后的几何形状和位置上进行计算 的，其方法已经属于几何非线性范畴，叠加原理不再适用。,强度验算与刚度验算是在结构静力平衡的状态下、采用未变形的 结构的计算简图来分析的；,一、结构平衡状态的分类,15-1 两类稳定问题概述,不 稳 定 平 衡,稳 定 平 衡,微小扰动就使小球远离原来的平衡位置,微小扰动使小球离开原来的平衡位置，

2、但扰动撤销后小球可恢复到原来的平衡位置,随遇平衡状态,结构平衡状态的分类根据结构受任意微小外界干扰后 ，能否恢复到原始平衡状态，将平衡状态分为如下三类：,稳定平衡状态若外界干扰消除后结构能完全恢复到原 始平衡位置，则原始平衡状态是稳定的。,不稳定平衡状态若外界干扰消除后结构不能恢复到原 始平衡位置，则原始平衡状态是不稳定的。,随遇平衡状态经抽象简化，可能出现结构受干扰后在 任何位置保持平衡的现象，此现象称为“随 遇平衡状态”。,15-1 两类稳定问题概述,15-1 两类稳定问题概述,定义： 完善体系受压杆件均为理想受压杆的结构体系；,非完善体系如结构中受压杆有初曲率，或荷载有 初偏心，则这类结

3、构体系称非完善体系。,二、失稳的概念及分类,15-1 两类稳定问题概述,失稳： 结构在荷载作用下其原始平衡状态可能由 稳定平衡状 态过渡到不稳定平衡状态，称原始平衡状态丧失稳定 性、简称“失稳”。,结构失稳的分类：根据结构失稳前后变形性质是否改变， 可将失稳问题分为：,分支点失稳失稳前后平衡状态所对应的变形性质发 生改变。在分支点处，既可在初始位置处平衡，亦可在 偏离后新的位置平衡，即平衡具有二重性。,极值点失稳失稳前后变形性质没有发生变化，力 位移关系曲线存在极值点，达到极值点的荷载使变形迅 速增长，导致结构压溃。,PPcr,1.分支点失稳,15-1 两类稳定问题概述,柱单纯受压、 无弯曲变

4、形,失稳前后平衡状态的变形性质发生变化,PPcr,P=Pcr,柱可在偏离原始平衡位置附近的任一位置上保持平衡。,柱的压弯变形继续增大直至破坏。,15-1 两类稳定问题概述,稳定平衡,不稳定平衡,小挠度理论,大挠度理论,分支点失稳的P-曲线,以分支点为界，原始平衡状态可分为稳定平衡状态和不稳定平衡状态。,分支点上存在平衡形式的两重性,2.极值点失稳,15-1 两类稳定问题概述,失稳前后变形性质没有发生变化,15-1 两类稳定问题概述,稳定平衡,不稳定平衡,小挠度理论,大挠度理论,极值点失稳的P-曲线,以极值点为界，原始平衡状态可分为稳定平衡状态和不稳定平衡状态。,极值点上不存在平衡形式的两重性,

5、一般而言，非完善体系的失稳形式是极值点失稳。,三、稳定自由度,1个自由度,2个自由度,无限自由度,15-1 两类稳定问题概述,稳定自由度体系产生弹性变形时，确定其变形状态所需的 独立几何参数的数目。,15-2 有限自由度体系的稳定静力法和能量法,完善体系分支点失稳分析有静力法和能量法。,静力法是从分支点上具有平衡的二重性出发，对新的平衡状态建立静力平衡条件，从而求得临界荷载。,能量法是对新的平衡状态建立以能量形式表示的平衡条件，依据临界点系统总势能为驻值，进而求得临界荷载。,稳定计算的中心问题是确定临界荷载。,一、静力法,15-2 有限自由度体系的稳定静力法和能量法,例14.1 求失稳时的临界

6、荷载。,小挠度、小位移情况下：,-稳定方程(特征方程),-临界荷载,解：,15-2 有限自由度体系的稳定静力法和能量法,讨论：,2.大挠度理论计算：,临界荷载与是一一对应的,15-2 有限自由度体系的稳定静力法和能量法,例14.2 求失稳时的临界荷载。,解：,研究体系整体：,研究AB ：,整理得 ：,为使y1、y2 不同时为零，令：,-稳定方程,-临界荷载,-失稳形式,15-2 有限自由度体系的稳定静力法和能量法,例14.3 求失稳时的临界荷载。已知：k1=k, k2=3k。,P,P,取BC为隔离体，,解：,由整体平衡MA=0，得：,y1、y2不能全为零，故：,稳定方程,失稳形态,15-2 有

7、限自由度体系的稳定静力法和能量法,15-2 有限自由度体系的稳定静力法和能量法,静力法求临界荷载分析步骤： 1、设定一种满足约束条件的可能的失稳变形状态（新的平衡 状态）； 2、由分支点上平衡的两重性出发，对新的平衡状态建立静力 平衡方程，由位移为非零解得“特征方程”，也称“稳定方 程”； 3、解特征方程，从而求得临界荷载。,二、能量法,15-2 有限自由度体系的稳定静力法和能量法,刚性小球的 稳定能量准则,能量取极大值,不稳定平衡状态,随遇平衡状态,能量取驻值,稳定平衡状态,能量取极小值,15-2 有限自由度体系的稳定静力法和能量法,与材料力学压杆稳定问题一样，结构分支点失稳问题临界状态的能

8、量特征为：体系总势能EP取驻值。,定义：体系应变能U 加外力势能UP称为“体系总势能” ，记作EP 。,弹性结构的稳定能量准则,定义：从变形位置退回无变形位置过程中，外荷载所做的功，称 为“外力势能” ，记作UP 。,解：,体系应变能：,15-2 有限自由度体系的稳定静力法和能量法,例14.4 能量法求结构失稳时的临界荷载。,外力势能：,体系总势能：,由势能驻值原理：,故临界荷载：,能量形式的平衡方程,15-2 有限自由度体系的稳定静力法和能量法,例14.5 能量法求例14.2的临界荷载。,解：,体系应变能：,外力势能：,体系总势能：,15-2 有限自由度体系的稳定静力法和能量法,由势能驻值原

9、理：,为使y1、y2 不同时为零，令：,-稳定方程,-临界荷载,15-2 有限自由度体系的稳定静力法和能量法,1. 设定一种满足约束条件的可能的失稳变形状态（新的平 衡状态）；,2. 计算体系本身的应变能U、荷载势能UP，从而获得体系的 总势能EP=U+UP；,3. 由总势能的驻值条件建立以能量形式表示的平衡方程；,4. 由位移为非零解得“特征方程”，也称“稳定方程”；,5. 解特征方程，从而求得临界荷载。,能量法求临界荷载分析步骤：,三、结构失稳问题转化为具有弹性支座压杆的失稳问题,15-2 有限自由度体系的稳定静力法和能量法,例14.6 求体系的临界荷载Pcr 。,解：,15-3 无限自由

10、度体系的稳定静力法,例14.7 求体系的临界荷载Pcr 。,解：,规定：M正向与杆件纤维凸起方向一致。,挠曲线近似微分方程：,曲率 的正号规定： 若曲率中心位于所设定的y轴正向的一侧，则 为正；反之为负。,挠曲线近似微分方程中的“ ”规定： 若所设定的弯矩正向引起正值的曲率 ，则公式中取“+”； 反之取“”。,15-3 无限自由度体系的稳定静力法,通解为：,由边界条件：,稳定方程,为使B、HA不全为零(即y(x)不恒为零)：,15-3 无限自由度体系的稳定静力法,稳定方程,经试算：,15-3 无限自由度体系的稳定静力法,例14.8 求体系的临界荷载Pcr 。,解：转化为有弹性支座的单根压杆。,

11、抗转弹簧刚度系数：,在新的平衡状态，,抗转弹簧的约束反力矩：,挠曲线近似微分方程：,15-3 无限自由度体系的稳定静力法,通解为：,边界条件：,稳定方程,15-3 无限自由度体系的稳定静力法,稳定方程,将 代回方程，由试算法可 得 ，再由 ，可得 临界荷载。,讨论,Pcr,如何转换成弹性支承中心受压柱？ k1=？,简单结构中心受压杆Pcr的分析方法,边界条件是什么？,根据形常数,15-3 无限自由度体系的稳定静力法,Pcr,如何转换成弹性支承中心受压柱？ k=？,边界条件是什么？,15-3 无限自由度体系的稳定静力法,对称体系的失稳问题,例14.9 求图示刚架的临界荷载。,解：,正对称 失稳,反对称 失稳,正对称失稳时：,15-3 无限自由度体系的稳定静力法,正对称失稳时,15-3 无限自由度体系的稳定静力法,反对称失稳时：,故原结构的临界荷载为：,15-4 无限自由度体系的稳定能量法,体系应变能：,外力势能