复习-数值分析

1、内 容：解线性方程组的消元法（Gauss、Jordan、列主元），三 对角方程组的追赶法； 解线性方程组的三角分解法（Doolittle、Crout分解）；,第一章 解线性方程组的直接法,要 求：掌握Gauss 、Jordan及列主元消元法，追赶法，矩阵三 角分解法和它们可以进行的条件。,1、分别用Gauss消去法解方程组,2、用Doolittle分解直接三角分解A=LU法,解方程组：,解为,内 容：解线性方程组的迭代法（Jacobi、Gauss-Seidel）；,向量、矩阵的范数，方程组的条件数与病态概念。 迭代法的收敛性。,要 求：掌握向量和矩阵的范数的相关概念；掌握Jacobi、Gaus

2、s- Seidel迭代法、其矩阵形式，以及迭代法收敛的条件。,第二章 解线性方程组的迭代法,1、分别用Jacobi，Gauss-Seidel迭代法解方程组AX=b，要求误差不超过0.001，其中,复习题,2、讨论用高斯赛德尔(Gauss-Seidel) 迭代法求解线性方程组,的收敛性；若收敛，求其解的近似值；若发散，通过合适的变换 使高斯赛德尔(Gauss-Seidel) 迭代法收敛，写出迭代格式的矩阵形式，并求其解的近似值，要求误差不超过0.05(结果保留4位小数)。,G的谱半径=99.51961，迭代法发散,内 容：二分法、迭代法、Aitken迭代法、牛顿法和弦截法；,第三章非线性方程数值

3、解,要 求： 熟练掌握求解方程的二分法、迭代法、加速迭代 法和牛顿法，掌握迭代法收敛的条件，会控制求 解过程的误差.,复习题,2.试设计一个不使用开方运算求,的近似值的算法，,并用这种算法计算,的近似值（要求误差不超过0.001）.,1.证明方程 x-e-x 0在区间0.5, 1上有唯一解，分别用迭代法和Newton切线法求根，要求误差不超过e=0.05。,x1=0.606531 ,|x1-x0|=0.106531 x2=0.545239 ,|x2-x1|=0.061291 x3=0.579703 ,|x3-x2|=0.034464,第四章 矩阵特征值特征向量计算,内 容：求矩阵特征值和特征向

4、量的乘幂法和反幂法，Jacobi方法,要 求：熟练掌握求按模最大的矩阵特征值及其特征向量的乘幂法和求按模最小的矩阵特征值及其特征向量的反幂法，理解求矩阵特征值和特征向量的Jacobi方法，了解Jacobi旋转法 。,1、用乘幂法求A按模最大的特征值与其对应的特征向量, 要求误差不超过0.05.,复习题,r1=3.000000 |v(1)=( 0.333333 , 0.333333 , 1.000000 ,) |r1-r0|= 3.000000 r2=3.666667 |v(2)=( 0.363636 , 0.363636 , 1.000000 ,) |r2-r1|= 0.666667 r3=3

5、.727273 |v(3)=( 0.365854 , 0.365854 , 1.000000 ,) |r3-r2|= 0.060606 r4=3.731707 |v(4)=( 0.366013 , 0.366013 , 1.000000 ,) |r4-r3|= 0.004435 r5=3.732026 |v(5)=( 0.366025 , 0.366025 , 1.000000 ,) |r5-r4|= 0.000319 r6=3.732049 |v(6)=( 0.366025 , 0.366025 , 1.000000 ,) |r6-r5|= 0.000023,1),2),1),2、用反幂法求

6、矩阵A的按模最小的特征值及其相应的特征向量，要求误差不超过e=0.5，其中,内 容：拉格朗日插值，插商与牛顿插值没，分段插值，Hermite插值，三次样条插值。,要 求：熟练掌握拉格朗日、牛顿插值公式，分段插值法，了解它们的余项公式；了解Hermite插值，了解三次样条插值。,第五章 代数插值,复习题,现有一组测量数据如下表,1）用线性插值多项式求x为1.4时的y= f (1.4)的近似值 ； 2）用二次插值多项式求x为1.4时的y= f (1.4)的近似值 ; 3) 写出f (x)的三次牛顿(Newton)插值多项式 .,第六章 函数逼近,内 容：正交多项式，最佳平方逼近与最佳一致逼近，曲线

7、拟合 的最小二乘法。,要 求：理解正交多项式概念、了解几个常用的正交多项式的形式，知道最佳平方逼近与最佳一致逼近的概念，掌握曲线拟合的最小二乘法，会进行曲线拟合。,复习题,1、 现有一组测量数据如下表：,用曲线拟合的最小二乘法求形如y=beax的经验公式，并用该公式估计x1.4时的y= f (1.4)的近似值.,2、现有一组实验数据如右表，,已知变量之间有形如y=ke-at的关系式,试用最小二乘法确定参数k与a的值.,3、求函数f(x)=ex在区间0，1上的线性最佳一致逼近多项式。,内 容：求积公式（梯形、辛普生、龙贝格、高斯公式）。 复合的及变步长的求积公式和误差，代数精确度 的概念。,要

8、求：熟练掌握梯形、辛普生、龙贝格求积公式、高斯公式、复 合的和变步长的梯形积公式；掌握求积公式的代数精确度的方法。,第七章 数值积分,2)取n4，用复合梯形求积公式计算近似值；,4)用龙贝格求积公式计算定积分的近似值(直到计算出R1为止).,3)用变步长的梯形求积公式计算近似值，要求误差0.005；,求下列积分的近似值,1)用梯形求积公式计算近似值；,1,2,Xi F(xi),0 1.0,1.0 0.841471,0.5 0.958851,0.25 0.989616,0.25 0.0.989616,0.125 0.997398,0.375 0.976727,0.625 0.936156,0.8755 0.877193,T1=0.9207354784,T2=0.9397932887,S1=0.9461458921,T4=0.9445135593,S2=0.9460870028,C1=0.9460830688,T8=0.9456908703,S4=0.9460833073,C2=0.9460830688,R1=0.9460830688,内 容：常微分方程初值问题的数值解的概念，Euler方法和 改进的Euler方法，Runge-Kutta方法。,要 求：理解常微分方程初值问题的数值解的概念，掌握Euler方 法和改进的Euler方法，Runge-Kutta方法，理解误差 和精读的概念