第2章 间接效用函数与支出函数.ppt

1、第二章 间接效用函数与支出函数,间接效用函数,1.基本概念,效用最大化问题,所得到的最大值函数v(p,y)就是间接效用函数，它是收入和价格的函数,求解最大化效用问题所得到的需求函数x(p,y)被称为马歇尔需求函数,1.间接效用函数,2.间接效用函数的性质,（1）在价格和收入上 是连续的。,当价格和收入有微小变化时，最大化的效用也会有微小的变化。因为如果u（x）是连续的，则最大化（一阶导数）的值一定也是连续的。,（2）它对于价格和收入是零次齐次的，即价格和收入的同比例变化并不影响效用水平。,需要证明，对于所有的t0，都有：,证明：,（3）在收入上y是严格递增的，而在价格p上则是严格递减的。,we

2、 have the first order condition as follows,According to envelope theorem, we have,由于，,因此，,（4）满足罗尔恒等式。,如果间接效用函数 在点上 是可导的， 且,两式相除，就可以得到罗尔恒等式。,3.间接效用函数的应用:政府税收对效用的影响,设效用函数为:,最大化问题为:,因此，可得到:,p1=0.25， p2=1，y=2,若政府征收0.5元的所得税，消费者收入降为1.5元，间接效用也从2降为1.5。,现考虑政府对X1征收商品税0.25元，此时,p1会从0.25涨到0.5元。,问题1：商品税能使政府征到0.5元

3、的税收吗? 问题2：商品税对消费者的间接效用的影响有 多大？,（1）,p1从0.25涨到0.5元后， 。说明政府开征商品税后，消费者仍会购买2单位的商品X1，政府的税收也是0.5元。,可见，开征商品税对消费者的间接效用的负面作用大于开征所得税。 原因：一是价格提高减少了消费者的实际购买力；二是改变了商品的相对价格。开征所得税只产生第一方面的影响。,2.支出函数,一、支出函数的定义,支出最小化问题,用e(p,u)表示在价格为p时为满足特定效用水平u所必需的最低花费：,支出最小化问题的求解,求出的最小解称为希克斯需求函数。记为：,代入支出px得最小支出函数。记为：,最小化支出问题,u,O,二、希克

4、斯需求函数,希克斯的需求函一般记为： 即为达到既定的效用水平u，选择的最小支出时消费者对x的需求。,希克斯的需求函数又称补偿性需求函数。 一是某商品价格下降，效用增加，可假定把消费者收入减少（负的补偿），使其效用水平与以前一样。 二是某商品价格上升，效用减少，此时增加消费者的收入，使其效用水平也不变。 这两种情况下，消费者的选择会发生何种变化？,B,C,A,o,o,A,价格变动的替代效应,希克斯需求曲线,如果u()是连续且严格递增的，则当p0时，支出函数 在点 对于p可微，且,三、谢泼特引理,含义：已知支出函数，可通过该函数对价格求偏导，推导出希克斯需求函数。,证明：,运用包络定理，可得到：,例：,这即是x2和x1的希克斯需求函数（只取决于p和u）。,将x2和x1代入支出函数问题的目标函数，可得：,求上式对于p1的偏导，可直接验证谢泼特引理。,如果收入为y，消费的商品数量和价格分别为：,四、预算份额,则称：,为购买xi的收入（预算）份额。,如果i=1,2，则,例子：Cobb-Douglas 函数,Cobb-Dougl