第一讲--容斥原理.ppt

1、第一讲 容斥原理,在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算， 人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的 情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时 重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数 的方法称为容斥原理。,如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数既是A类又是B类的元素个数。 （AB = A+B - AB) 例1一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分， 并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？ 分

2、析 依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”， “语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”， “至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。 答案 15+12-4=23 试一试 电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过 8频道，其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？ 100-（62+34-11）=15,组一,1.某班有30人参加长跑和乒乓球比赛，其中参加乒乓球比赛的有16人， 参加长跑的有23人，问两种比赛都参加的有几人？,解析：基本公式A类B类元素个数总和=属于A

3、类元素个数 + 属于B类元素个数既是A类又是B类的元素个数。 则有： 既是A类又是B类的元素个数=属于A类元素个数+ 属于B类元素个数 - A类B类元素个数总和 16+23-30=9人,2.某班级共有40名学生，其中对数学有兴趣的有17名，对音乐有兴趣的 有13名，两样都有兴趣的有8名，问两样都没有兴趣的有多少名？,解析： 40-（17+13-8）， =40-22， =18（人）； 答：两样都没有兴趣的有18人,3某班级有学生42名，他们都参加数学兴趣小组或音乐兴趣小组，其中 参加数学兴趣小组的有32名，参加音乐兴趣小组的有27名，问只参加音乐 兴趣小组的学生有多少名？,解析：只参加音乐=参加

4、音乐-（参加数学+参加音乐-学生总数） 27-（32+27-42）=10名,4.某学校五年级共有100名学生，其中爱好数学的有72名，爱好音乐的 有53名，问：两样都爱好的学生至少有多少名？最多有多少名？,解析： （1）72+53-100=25（人）； （2）如果爱好音乐的人全部都爱好数学，爱好音乐的人数即两者的 交叉人数即最多53人； 答：这两样都爱好的至少有25人最多有53人,5：五年级一班一共有45名学生，其中少先队员有35人，男生有20人，有 4名女生不是少先队员，问：男生中有多少人是少先队员？,解析：两种思路： 一：女生有45-20=25人，女少先队员有25-4=21人 少先队员总人

5、数-女少先队员=男少先队员 35-21=14名 男生中有多少人是少先队员 二：不是少先队员的有45-35=10人 不是少先队男生占10-4=6人 男生人数-不是少先队男生=是少先队男生 20-6=14名,6：某班级共有48名同学，其中27人会游泳，33人会骑车，40人会打 乒乓球，那么，在这个班学生中，3项运动都会的至少有多少名？,解析： 不会游泳的人数：48-27=21人 不会骑车的人数：48-33=15人 不会乒乓球的人数：48-40=8人 48-（21+15+8）=44人 则三项都会的人数是48-44=4人 答：这个班至少有4名学生这三项运动都会.,7：在一个刻有容积刻度的瓶子里装300

6、毫升水，把瓶子倒放后，瓶子 中水的平面正好在250毫升刻度线处，问这个瓶子的容积是多少毫升？,解析： 由图中右瓶知，瓶中空气为250毫升， 由图中左瓶可知，瓶中水为300毫升， 瓶的容积=水的体积+空气的体积=300+250=550（毫升） 答：这瓶子的容积是550毫升,8.某班学生手中分别拿着红黄蓝三种颜色的小旗，（如下图），已知手中 拿着红旗的有34人，拿着黄旗的有26人，拿着蓝旗的有18人，其中， 手中有红黄蓝3种的有6人，只有红黄两种的有9人，只有蓝黄的有4人， 只有红蓝的有3人，那么，这个班一共有多少人？,解析：34+26+18-9-4-3-6-6=50人,9.五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项如下图所示， 其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文 兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时 又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人， 语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人。求这个班的学生人数。,解析：