矩阵运算与数组运算.ppt

1、矩阵运算与数组运算,第1章,第1章 矩阵运算与数组运算,1.1 变量和数据 1.2 矩阵和数组 1.3 稀疏矩阵 1.5元胞数组和结构数组,矩阵是MATLAB最基本、最重要的数据对象，其大部分运算均是基于矩阵的运算。 一般情况下，要求矩阵的每个元素必须具有相同的数据类型。 和其他计算机语言相似，其数据类型是可以进行转换的。,1.1 变量和数据,MATLAB7.3定义了15种基本的数据类型 ，包括整型、浮点型、字符型和逻辑型等 。,1.1.1 数据类型,1.1.2 数据,1. 数值的表达方式 数值采用十进制表示，可以用带小数点的形式直接表示，也可以用科学计数法，数值的表示范围是10-308103

2、08 。 例如： -2, 5.67, 2.56e-56(表示2.5610-56), 4.68e204(表示4.6810204),2. 矩阵和数组的概念,标量（Scalar）：是指11的矩阵，即只含一个数的矩阵。 向量（Vector）：是指1n或n1的矩阵，即只有一行或者一列的矩阵。 矩阵（Matrix）：是一个矩形的数组，即二维数组，其中向量和标量都是矩阵的特例，00矩阵为空矩阵()。 数组（Array）：是指n维的数组，为矩阵的延伸，其中矩阵和向量都是数组的特例。,3.复数（Complex）,复数由实部和虚部组成，MATLAB用特殊变量“i”和“j”表示虚数的单位。 z=a+b*i或z=a+

3、b*j z=a+bi或z=a+bj(当b为常量时) z=r*exp(i*theta) 得出一个复数的实部、虚部、幅值和相角。 a=real(z) %计算实部 b=imag(z) %计算虚部 r=abs(z) %计算幅值 t=angle(z) %计算相角,1.1.3 变量(Variables),变量名区分字母的大小写。 变量名不能超过63个字符，第63个字符后的字符被忽略。 变量名必须以字母开头，变量名的组成可以是任意字母、数字或者下划线，但不能含有空格和标点符号(如，。%等)。 关键字(如if、while等)不能作为变量名。,1. 变量的命名规则,2. 特殊变量,i=j=,变量=表达式 表达式

4、 第一种形式：和C语言类似，先计算右边表达式的值，然后将其赋给左边的变量。 第二种形式：将表达式值赋给MATLAB预定义变量ans。 语句后可加分号，也可不加分号 表达式的书写规则同C语言 以“%”开头，其后内容为注释内容,3. 赋值语句,1.2 矩阵和数组,MATLAB最基本、最重要的功能就是进行实数或复数矩阵的运算。,1.2.1 矩阵输入,(1) 矩阵元素应用方括号()括住； (2) 每行内的元素间用逗号或空格隔开； (3) 行与行之间用分号或回车键隔开； (4) 元素可以是数值或表达式。,矩阵表示应遵循以下基本常规：,例如： c=1 2;3 4;5 3*2 表示构成矩阵,分号分隔行,空格

5、分隔元素,1. 通过显式元素列表输入矩阵,使用from:step:to方式生成向量from、step和to分别表示开始值、步长和结束值。当step省略时则默认为step=1。,2. 通过语句生成矩阵,当step省略时则默认为step=1； 当step省略或step0而fromto时为空矩阵，当 step0而fromto时也为空矩阵。,x1=2:5 x1 = 2 3 4 5 x2=2:0.5:4 x2 = 2.0000 2.5000 3.0000 3.5000 4.0000 x4=2:-1:3%空矩阵 x4 = Empty matrix: 1-by-0 x5=2:-1:0.5 x5 = 2 1

6、x6=1:2:5;1:3:7%两行向量构成矩阵 x6 = 1 3 5 1 4 7,使用linspace和logspace函数 linspace(a,b,n) a、b、n分别表示开始值、结束值和元素个数，n如果省略则默认值为100 生成从a到b之间线性分布的n个元素的行向量 logspace(a,b,n) a、b、n分别表示开始值10a 、结束值10b和数据个数n,如果省略则默认值为50 生成对数等分向量,EX: x1=linspace(0,2*pi,5) %从0到2*pi等分成5个点 x1 = 0 1.5708 3.1416 4.7124 6.2832 x2=logspace(0,2,3) %

7、从1到100对数等分成3个点 x2 = 1 10 100,3. 由矩阵生成函数产生特殊矩阵,X1=eye(2,3) X1 = 1 0 0 0 1 0 X2=eye(3,2) X2 = 1 0 0 1 0 0,EX:,全下标方式 一个mn的a矩阵的第i行第j列的元素表示为a(i,j)。 单下标方式 以mn的矩阵a为例，若元素a(i,j)则对应的“单下标”为s= (j-1)mi。,1.2.2 矩阵元素,1. 矩阵的下标(Subscript),MATLAB利用矩阵下标可以产生子矩阵,2. 子矩阵块的产生(Multiple elements),有一个矩阵A：,矩阵的一个元素。,如果i,j是向量时， a

8、(i,j)表示,如果i,j是标量时， 则a(i,j)表示,矩阵的一个子矩阵块。,A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12,Example:,A=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12;,A(1 2,3 4),A(1:3,2:3),ans = 2 3 6 7 10 11,ans = 3 4 7 8,A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12,Example:,A=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12;,A(:,2:3 ),A(1:3,end),ans = 2 3 6 7 10 11,ans = 4 8 12,A = 1 2 3

9、4 5 6 7 8 9 10 11 12,Example:,A(1 3;2 6),ans = 1 9 5 10,取单下标1,3,2,6,A(1 3:4 6),ans = 1 9 2 10,子矩阵也可以利用逻辑矩阵（logical matrix）来标识。,逻辑矩阵是大小和对应矩阵相同的，而元素值为0或1的矩阵，用a(l1,l2)来表示，其中l1,l2为逻辑向量，当l1,l2元素为0则不取该位置元素，反之，取该位置的元素。,Example:,A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12,l1=logical(1 0 1),l2=logical(1 1 0),A(l1, l2),an

10、s = 1 2 9 10,取出1,3行且1,2列的元素,3. 矩阵的赋值,矩阵的赋值有：全下标方式、单下标方式和全元素方式。,全下标方式：a(i,j)=b，给a矩阵的部分元素赋值则b矩阵的行列数必须等于a矩阵的行列数。 clear a a(1:2,1:3)=1 1 1;1 1 1 %给第一、二行元素赋值为全1 a = 1 1 1 1 1 1,单下标方式：a(s)=b，b为向量，元素个数必须等于a矩阵的元素个数。 a(5:6)=2 3 %给第5、6元素赋值 a = 1 1 2 1 1 3,全元素方式：a(:)=b，给a矩阵的所有元素赋值则b矩阵的元素总数必须等于a矩阵的元素总数，但行列数不一定相

11、等。,a=1 2;3 4;5 6 a = 1 2 3 4 5 6 b=1 2 3;4 5 6 b = 1 2 3 4 5 6 a(:)=b %按单下标方式给a赋值 a = 1 5 4 3 2 6,EX:a=1 2 0;3 4 0;5 6 9 a = 1 2 0 3 4 0 5 6 9,a(:,3)= %删除一列元素 a = 1 2 3 4 5 6,a(1)= %删除一个元素，则矩阵变为行向量 a = 3 5 2 4 6,a= %删除所有元素为空矩阵 a = ,4. 矩阵元素的删除 可以对矩阵的单个元素、子矩阵块和所有元素赋值为空矩阵进行删除操作 ,就是简单地将其赋值为空矩阵(用表示)。,5.

12、生成大矩阵(Concatenating Matrices) 可以通过方括号“”实现将小矩阵生成一个较大的矩阵。 注:a;a 与a,a的区别,EX:a=1 2 0;3 4 0;5 6 9 a = 1 2 0 3 4 0 5 6 9,a;a %联接成63的矩阵 ans = 1 2 0 3 4 0 5 6 9 1 2 0 3 4 0 5 6 9,a(1:2,1:2) 10*a(1:2,2:3) %计算并联接 ans = 1 2 20 0 3 4 40 0,a a %联接成36的矩阵 ans = 1 2 0 1 2 0 3 4 0 3 4 0 5 6 9 5 6 9,可以通过矩阵翻转函数对矩阵进行翻转

13、。,a = 1 2 0 3 4 0 5 6 9,6. 矩阵的翻转,a = 1 2 0 3 4 0 5 6 9,a = 1 2 0 3 4 0 5 6 9,a = 1 2 0 3 4 0 5 6 9,1.2.3矩阵和数组运算,1. 矩阵运算的函数,det(X)：计算方阵行列式 rank(X)：求矩阵的秩。 inv(X)：求矩阵的逆阵。 inv(X)=X-1 v,d=eig(X)：计算矩阵特征值和特征向量 diag(X)：产生X矩阵的对角阵,a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9,2. 矩阵和数组的算术运算,矩阵和数组的加(addition)、减运算(subtraction) 矩阵加、减运算表

14、达式分别为”A+B”、”A-B”。 矩阵和数组的乘法运算(muliplication) 矩阵的乘法运算表达式为”A*B” 。矩阵A的列数必须等于矩阵B的行数，除非其中有一个是标量。 数组的乘法运算表达式为”A.*B” ，表示数组A和B中的对应元素相乘。A和B数组必须大小相同，除非其中有一个是标量。,矩阵和数组的除法(division),矩阵的除法运算表达式有两种： ” AB”和” A/B”, 分别表示左除和右除。 X=AB是方程A*X=B的解，AB=A-1*B。 X=B/A是X*A=B的解，B/A=B*A-1。,数组的除法运算表达式有两种:” A.B”和”A./B”，表示数组相应元素左除和右除

15、。 注:A和B数组必须大小相同，除非其中有一个是标量。,【例】已知方程组， 用矩阵除法来解线性方程组。, X=AB X = 2 -1 0,将该方程变换成AX=B的形式。 A=2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1 B=5;5;9 X=AB,矩阵和数组的乘方(power) 矩阵乘方的运算表达式为”AB”，其中A可以是矩阵或标量。 数组乘方的运算表达式”A.B ” 。,矩阵的转置运算表示为A 如果矩阵A是复数矩阵，则为共轭转置 数组的转置运算表示为A. 如果数组A是复数数组，则不是共轭转置。,3. 矩阵和数组的转置(transpose),【例】矩阵和数组的除法和乘方运算。,x1=1 2;3 4;

16、 x2=eye(2) x2 = 1 0 0 1 x1/x2 %矩阵右除 ans = 1 2 3 4 inv(x1) %求逆矩阵 ans = -2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000,x1x2 %矩阵左除 ans = -2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000 x1./x2 %数组右除 Warning: Divide by zero. (Type warning off MATLAB:divideByZero to suppress this warning.) ans = 1 Inf Inf 4,x1.x2 %数组左除 ans = 1.0000 0 0 0.2

17、500 x12 %矩阵乘方 ans = 7 10 15 22 x1-1 %矩阵乘方，指数为-1与inv相同 ans = -2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000,2.x1 %数组乘方 ans = 2 4 8 16,x1.x2 %数组乘方 ans = 1 1 1 4,【例】矩阵和数组的转置运算。,A=1 2;3 4; A ans = 1 3 2 4,A %矩阵转置 ans = 1.0000 2.0000 3.0000 - 4.0000i 4.0000,A. %数组转置 ans = 1.0000 2.0000 3.0000 + 4.0000i 4.0000,A=1 2 3+4*i

18、 4;,MATLAB中exp、sqrt、sin、cos等数学函数可以直接使用在数组上，这些运算是分别对数组的每个元素进行运算。 expm、sqrtm、logm等数学函数用于矩阵运算。,4. 矩阵和数组的数学函数,5. 关系操作和逻辑操作,关系运算（relational operators),关系运算规则： 如果两个标量，则结果为真(1)或假(0)。 如果比较的两个数组变量，则必须大小相同，数组的元素为0或1。 如果比较一个数组和一个标量，则把数组的每个元素分别与标量比较。 、=仅对变量的实部进行比较，而= = 和 = 则同时对实部和虚部进行比较。,关系操作符有：、=、 =(等于)、 =(不等于

19、)。,逻辑运算(Logical Operators),逻辑操作符有： y=sin(t) %计算正弦曲线y = Columns 1 through 6 0 0.8660 0.8660 0.0000 -0.8660 -0.8660 Columns 7 through 10 -0.0000 0.8660 0.8660 0.0000 t1=(t2*pi) t1 = 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1,【例】数组的关系与逻辑运算,y1=t1.*y %得出0和23的半波整流y1 = Columns 1 through 6 0 0.8660 0.8660 0 0 0 Columns 7 through

20、10 0 0.8660 0.8660 0.0000,6. 运算符优先级,在MATLAB中各种运算符的优先级如下： (矩阵转置)、(矩阵幂)和.(数组转置)、.(数组幂) (逻辑非) *(乘)、/(左除)、(右除)和.*(点乘)、./(点左除)、.(点右除) +、-(加减) : (冒号) 、=、= 3 4 a(:,:,1)= 0 0 0 0 a(:,:,2)= 1 2 3 4,b=1 1;2 2 b= 1 1 2 2 b(:,:,2)=5 b(:,:,1)= 1 1 2 2 b(:,:,2)= 5 5 5 5,通过“全下标”元素赋值方式创建,由函数ones、zeros、rand和randn直接创

21、建,EX: 用函数rand直接创建三维随机数组 rand(2,4,3) ans(:,:,1)= 0.0274 0.8276 0.1682 0.1301 0.9601 0.4917 0.9761 0.2748 ans(:,:,2)= 0.1479 0.5472 0.1007 0.3846 0.3808 0.9298 0.9494 0.2671 ans(:,:,3)= 0.5781 0.6993 0.7838 0.6935 0.5919 0.1170 0.9728 0.3387,1.3稀疏矩阵（补充）,1.3.1稀疏矩阵的建立,目的:稀疏矩阵大部分的元素都是0，因此只需储存非零元素的下标和元素值，

22、这种特殊的存储方式可节省大量的存储空间和不必要的运算。,建立方法: 使用sparse函数产生稀疏矩阵 用spdiags函数创建稀疏矩阵 用spconvert函数从外部文件输入稀疏矩阵,sparse函数用于创建稀疏矩阵，或将一个全元素矩阵直接转换成稀疏矩阵。 例：A=1 0 0 0;0 5 0 0;1 0 0 0 A1=sparse(A),1.使用sparse函数产生稀疏矩阵,A = 1 0 0 0 0 5 0 0 1 0 0 0,A1 = (1,1) 1 (3,1) 1 (2,2) 5,在MATLAB中，稀疏的相关函数： sparse(m,n)：生成一个mn的所有元素都是0的稀疏矩阵。 spa

23、rse(u,v,S) ：u,v,S是3个等长的向量。S是要建立的稀疏矩阵的非0元素，u(i)、v(i)分别是S(i)的行和列下标，该函数建立一个max(u)行、max(v)列并以S为稀疏元素的稀疏矩阵。 u,v,S=find(A)：返回矩阵A中非0元素的下标和元素。这里产生的u,v,S可作为sparse(u,v,S)的参数。 full(A)：返回和稀疏存储矩阵A对应的完全存储方式矩阵。,EX1: u=2 3 5; v=1 6 2; S=1 1 1; A=sparse(u,v,S),A = (2,1) 1 (5,2) 1 (3,6) 1,ans = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

24、 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0,EX2: u,v,S=find(A),EX3: full(A),对于1个只包含实数mn的稀疏矩阵，含有nnz个非零元素，MATLAB使用3个内部数组来存储此稀疏矩阵的信息： 第1个数组：以double方式储存了nnz个非零元素，使用空间为8nnz （Byte） 。 第2个数组：以整数方式储存了nnz个非零元素，每个元素的行下标使用空间为4nnz（Byte） 第3个数组：以整数方式储存了n个列每个列的起始指针，使用的空间为4n （Byte）。 第4个数组：复数稀疏矩阵要以double方式储存nnz个非零元素的虚数部分。 整

25、个稀疏矩阵占用的空间为8nnz4nnz4n4 （Byte）。,1.3.2稀疏矩阵的存储空间,EX:, a=1 0 0 0;2 0 1 0;0 0 0 3;0 5 0 0; b=sparse(a); whos Name Size Bytes Class a 4x4 128 double b 4x4 80 double,1.4元胞数组和结构数组,元胞数组中的基本组成是元胞，每一个元胞可以看成是一个单元(Cell)，用来存放各种不同类型的数据，如矩阵、多维数组、字符串、元胞数组以及结构数组。,1.4.1元胞数组(Cell Array),1、元胞数组的创建,直接使用创建。,EX:,A=This is

26、the first Cell.,1 2;3 4;eye(3),Tom,Jane A= 1x23 char 2x2 double 3x3 double 1x2 cell whos Name Size Bytes Class Attributes A 2x2 716 cell,1、元胞数组的创建,由各元胞创建。, B(1,1)=This is the second cell. B = This is the second cell. B(1,2)=5+3*i B = 1x24 char 5.0000 + 3.0000i B(1,3)=1 2;3 4;5 6 B = 1x24 char 5.0000

27、 + 3.0000i 3x2 double,EX:,2、元胞数组的内容显示,使用celldisp命令显示元胞数组的内容, celldisp(B) B1 = This is the second cell. B2 = 5.0000 + 3.0000i B3 = 1 2 3 4 5 6,3、元胞数组的内容获取,(1) 取元胞数组的元素内容,EX:,取出A(1,2)元胞元素的内容以及矩阵中的元素内容, x1=A1,2 x1 = 1 2 3 4 x2=A1,2(2,2) x2 = 4,A=This is the first Cell.,1 2;3 4;eye(3),Tom,Jane,3、元胞数组的内容获取,(2) 取元胞